¿Es esta una prueba válida del caso del teorema de Shell?

TL: DR: la "prueba" de OP no es válida.

1. Considere un sistema de$N$partículas puntuales con masas$m_i$y puestos${\bf r}_i$, dónde$i\in\{1, \ldots, N\}$. Deja que la única fuerza externa

   $${\bf F}_i~=~m_i{\bf g}({\bf r}_i)$$ sobre el$i$la partícula sea de un campo externo${\bf g}({\bf r})$, que no se considera parte del sistema y que no necesariamente puede ser gravedad newtoniana externa de una fuente puntual externa.

2. Dejar

   $$M~:=~\sum_i m_i$$ Sea la masa total, y $${\bf r}_{CM}~:=~\frac{1}{M}\sum_i m_i{\bf r}_i$$ ser el centro de masa.

3. Entonces es cierto de la segunda ley de Newton que

   $$M\ddot{\bf r}_{CM}~=~ \sum_i{\bf F}_i~=~\sum_im_i{\bf g}({\bf r}_i),$$ donde las fuerzas internas se cancelan por la tercera ley de Newton, pero eso no implica necesariamente que $$\ddot{\bf r}_{CM}~=~{\bf g}({\bf r}_{CM}).\qquad(\longleftarrow\text{In general wrong!})$$

4. Por el contrario, el teorema de la capa de Newton considera el campo gravitatorio newtoniano combinado del$N$partícula puntual organizada esféricamente simétrica.