¿Por qué se corta la expansión de Taylor del potencial gravitacional después del primer término?

Porque es una excelente aproximación. El potencial gravitatorio de una masa esférica.$M$de radio$R$es, a segundo orden

$$\begin{align} U(r) & = -\frac{GM}{r} \\ & = U(R)+\frac{dU}{dr}(r-R)+\frac12\frac{d^2U}{dr^2}(r-R)^2 +O\left(\left(\frac{r-R}{R}\right)^3\right) \\ & = -\frac{GM}{R}+\frac{GM}{R^2}(r-R)-\frac{GM}{R^3}(r-R)^2 +O\left(\left(\frac{r-R}{R}\right)^3\right) \\ & = -\frac{GM}{R}+\frac{GM}{R^2}(r-R)\left[1-\frac{r-R}{R}\right] +O\left(\left(\frac{r-R}{R}\right)^3\right). \end{align}$$ Para puntos cercanos a la superficie de la Tierra en $R=6300\:\mathrm{km}$, con $h=r-R$en el orden de, digamos $|h|\lesssim 1\:\mathrm{km}$(¡irrazonablemente alto!), el término cuadrático es aproximadamente $$\frac{h}{R}\lesssim10^{-4}.$$ Cada término adicional de la serie escala en importancia con respecto al anterior por ese mismo factor.

En la práctica, la variación angular del potencial - el cambio en$g$de un lugar a otro causado por la distribución local de rocas y otras masas - es del orden del 1%, por lo que supera completamente la variación vertical, incluso para grandes cambios de altura.