Potencial escalar y vectorial

El vector potencial tiene una divergencia de cero; podemos obtener alguna intuición considerando la geometría requerida por el teorema de la divergencia : la integral de volumen de la divergencia del vector potencial es cero para cualquier volumen, por lo tanto, el flujo neto total a través de cualquier superficie es cero.

Entonces, dadas sus condiciones específicas, puede imaginar límites geométricos y aplicar esta regla de flujo. Esto, junto con las otras condiciones, proporciona una idea de la situación.

El siguiente paso es considerar cómo el rotacional del potencial vectorial se convierte en el campo magnético.

En primer lugar, nos interesa fundamentalmente E & B . Pero esencialmente, todo se reduce al hecho de que solo E y B son medibles físicamente y, por lo tanto,$\phi$y A se consideran principalmente como construcciones matemáticas, pero esto no siempre es cierto: se pueden conceptualizar.

Me disculpo por no poder darle una idea física inmediata, pero solo puedo explicar primero a través de las matemáticas y luego mostrar lo que significa.

Por el teorema de Helmholtz, que en realidad es una construcción matemática en lugar de una idea física, muestra que podemos reescribir E & B como una combinación de un potencial vectorial y un potencial escalar.

El teorema dice que cualquier campo vectorial (que son E y B) se puede escribir como:

Entonces podemos reescribir E y B como

Pero sabemos que en situaciones electrostáticas la curvatura del campo E es cero. En este caso el campo eléctrico es conservativo y sólo está determinado por el gradiente de potencial. Entonces,

El hecho de que B =$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}$es un poco más complicado. Sabemos que no existen monopolos magnéticos, por lo que no puede haber sumideros ni fuentes, por lo que

También hay una segunda parte del teorema de Helmoltz que da que

y

Ahora podemos ver que$\phi(\mathbf{r})$debe ser cero. Lo que significa que

al trabajar con$\phi$y A puede simplificar en gran medida nuestras construcciones matemáticas y facilitarnos el cálculo de los campos E y B. No puedo convencerte de esto de inmediato, pero espero que puedas ver cómo las expresiones anteriores parecen más simples que la ley de Biot Savart, por ejemplo.

El signo menos en nuestra expresión para E refleja el hecho de que las cargas positivas se mueven de un potencial alto a un potencial bajo, es decir, en la dirección opuesta al aumento más pronunciado de la función de potencial. Esto es puramente convencional. Además, sabemos que el campo E es conservativo. Puede tomar cualquier ruta de a a b y el valor de la siguiente integral es el mismo:

con O como el lugar donde decimos que el potencial se toma como 0. Esto podría generar cierta confusión ya que no definimos una ruta, pero, debido a que el campo E es conservador, no importará. Podemos colocar el punto cero donde queramos, incluso podemos agregar una constante, porque solo nos interesa la derivada porque el campo E es lo único físicamente medible.

En la mayoría de las situaciones electrostáticas, será más fácil calcular el potencial eléctrico que el campo E directamente. Tenga en cuenta que si tenemos carga en movimiento, tendremos un campo B de la ley de Maxwell-Amperes. Esto significa que el rotacional del campo E ya no es cero.

No confundas potencial eléctrico con energía potencial. El potencial eléctrico tiene un valor particular en cada punto del espacio, independientemente de la carga que coloques allí, y su gradiente te da el campo eléctrico (que es la fuerza por unidad de carga, también independiente de la cantidad real de carga colocada en ese lugar). punto). Para determinar la energía potencial (derivación no dada) U=q$\phi$

Entonces, ahora a su interpretación física para A . Sabemos que podemos tener una interpretación física para el potencial escalar, pero ¿ A es algo especial?

Para la mayoría de los propósitos, está bien pensar en el vector potencial como una herramienta matemática conveniente sin ningún significado físico, pero tiene una interpretación física. Por inspección, podemos ver que A tiene unidades de momento por carga, y podemos pensar en A como el "momento por unidad de carga" que se almacena en el campo electromagnético. Esto es análogo a la energía potencial, pero es un impulso potencial.

Además, el potencial vectorial es una cantidad importante en muchas áreas de la física moderna (superconductividad, efecto Aharonov-Bohm, uniones de Josephson, SQUIDS, etc.). Para los estudiantes de mecánica lagrangiana, el momento canónico de una partícula cargada en un campo electromagnético viene dado por p = m v + q A . En la formulación relativista de la electrodinámica, A puede escribirse como un cuadrivector. Como 4 vectores, ambas cantidades se transforman entre marcos de referencia inerciales de acuerdo con las transformaciones de Lorentz. Hasta que te encuentres con estas situaciones, probablemente esté bien pensar que no es más que una conveniencia matemática.

El${\bf E}$y${\bf B}$los campos son como un campo de fuerza${\bf F}({\bf x})$- Empujan físicamente partículas cargadas. Los potenciales son como la función de energía potencial.$V({\bf x})$que obtienes al integrar el campo de fuerza con respecto a la posición. Así como puedes calcular${\bf F}({\bf x})$tomando el gradiente (negativo) de$V({\bf x})$, puedes calcular${\bf E}$y${\bf B}$tomando (un poco más complicado) las primeras derivadas parciales con respecto al espacio y al tiempo. Así como cambiando$V({\bf x})$por una constante general no cambia nada físicamente importante, porque la constante desaparece cuando toma la derivada, por lo que los potenciales E&M contienen "piezas" matemáticas (un poco más complicadas) que se cancelan cuando toma las derivadas parciales, por lo que puede cambiar libremente esas partes sin afectar lo físicamente importante${\bf E}$y${\bf B}$campos.