Potencial de Coulomb en 2D

La escala de longitud$L$tiene que estar presente en el denominador por razones dimensionales: solo los logaritmos de cantidades adimensionales están realmente "bien definidos" a menos que se desee introducir unidades extrañas como el "logaritmo de un metro".

Por otra parte, la dependencia de$L$es en gran medida trivial y no físico para la mayoría de los propósitos. Reemplazar$L$por$K$y obtendrás

$$V_K(x,y) = -\ln \left( \frac{|\vec x|}{K} \right) = V_L(x,y) +\ln(K/L)$$ que sólo difiere por el desplazamiento aditivo, $\ln(K/L)$del potencial original que mencionaste. Los cambios de potenciales por una constante son en gran medida intrascendentes. En particular, el gradiente de $V$, $\nabla V$, no ha cambiado en absoluto. Para derivar la afirmación simple sobre el cambio anterior, solo usé $\ln(A/B) = \ln(A)-\ln(B)$unas pocas veces.

La transformada de Fourier de su potencial puede derivarse al darse cuenta de cuál es el Laplaciano del potencial. El laplaciano es la función delta bidimensional. En la base de cantidad de movimiento, es equivalente a la identidad

$$(p_x^2+p_y^2) \tilde V(p_x,p_x) = 1$$ que se resuelve fácilmente con $\tilde V =1/(p_x^2+p_y^2)$. Sin embargo, el comportamiento de $\tilde V$no está muy bien definido para el punto $p_x=p_y=0$donde se puede sumar un múltiplo de una función delta. Esto es porque $$(p_x^2+p_y^2) \delta(p_x) \delta (p_y) = 0$$ asi que $\tilde V \to \tilde V + K \delta(p_x)\delta(p_y)$transforma una solución en otra solución. Por supuesto, la función delta bidimensional en el espacio de cantidad de movimiento no es más que la transformada de Fourier del término constante $\ln(K/L)$discutimos en la base de posición por lo que las dos ambigüedades son las mismas.

Ahora, podrías pensar que la forma de base de impulso del potencial,$1/(p_x^2+p_y^2)$, es único porque no tiene escala de longitud ni función delta, mientras que no vemos una forma única correspondiente del potencial de base de posición, porque las expresiones con cualquier escala de longitud son igualmente buenas. Pero esto es realmente una ilusión. Como distribución,$1/(p_x^2+p_y^2)$está mal definido (en el mismo sentido que$\ln(x^2+y^2)$estaría en la base de posición) y debemos especificar cuál es su comportamiento cerca del origen.

Esta ambigüedad es la generalización bidimensional de las sutilezas conectadas con el "valor principal" unidimensional de$1/x$como una distribución.$1/x$multiplicada por una función de prueba está bien definida si aceptamos que la región simétrica$x\in(-\epsilon,+\epsilon)$es removido. Eso es lo que queremos decir con el valor principal.

Por otro lado, si calcula la integral bidimensional de$1/(p_x^2+p_y^2) f(p_x,p_y)$dónde$f$es continua cerca del origen, puede cambiar a las coordenadas polares donde$r$en$r\,dr\,d\phi$es golpeado por$1/r^2=1/(p_x^2+p_y^2)$por lo que todavía tiene una integral divergente que tiene que ser regulada. Una forma de regularlo es cortarlo y sacar el disco.$r<p_{\rm min}$para algunos pequeños$p_{\rm min}$. Dicho límite induce una dependencia de desplazamiento aditiva que es logarítmica en el límite. Por las mismas razones dimensionales que antes, uno tiene que tomar el logarítmico adimensional, así que lo que necesitamos restar (¿o sumar?) para borrar la mayor parte de la dependencia del límite es algo así como

$$f(0) \ln(p_{\rm min} / L_P)$$ dónde $L_P$es la contrapartida de $L$, la escala de longitud con la que comenzaste. Lo siento si omití algunos coeficientes adimensionales. Claramente, el cambio de $L_P$es equivalente a redefinir la distribución por un cambio aditivo por $\delta^{(2)}(\vec p)\times L_P$y $L_P \sim 1/L$juega el mismo papel que la escala que teníamos antes, en la base de posición.

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No puedo ver cuál es el significado físico de esta escala de longitud y, sobre todo, no puedo ver cómo puede surgir esta escala de longitud al derivar el potencial de Coulomb 2D por medio de una transformada de Fourier:

zakk, la constante L en el logaritmo es la constante de integración que está presente para cualquier ecuación diferencial y significa que la ecuación de Poisson utilizada para derivar V tiene infinidad de soluciones. Puede arreglarse prescribiendo el valor del potencial V(r_0) a alguna distancia r_0.

Lo mismo sucede en 3D; ahí tenemos

V = 1/r + C

y elegimos C = 0.

En tu caso no podemos elegir L = 0, pero L = 1 metro está bien.

Si se supone que V es el potencial de la fuerza eléctrica, el valor de L es completamente arbitrario.

El método de la transformada de Fourier solo puede encontrar una solución particular de la ecuación. No puede proporcionar la constante de integración L. Todavía tiene que agregar una constante - ln L a su integral de Fourier para obtener la solución general.

Tu integral para la energía propia no parece correcta. ¿Cuál es tu punto de partida?

No se si lo has solucionado o no, pero mi sugerencia es agregar un factor de convergencia

$$e^{-a\,r}$$ y obtener la integral, y luego dejar $a \to 0$(el mismo truco con el potencial yukawa) Puedes hacer esta integral con la matemática.