Potencial eléctrico en una placa infinita

Sabes que si tienes un punto de carga con carga$Q$, entonces la diferencia de potencial$V$entre el infinito espacial y cualquier punto a una distancia$r$de la carga está dada por

Debido a que el campo eléctrico es uniforme, concluyó correctamente que debe haber una diferencia de potencial infinita entre cualquier punto y el infinito espacial. Te sorprendes porque esto parece estar en desacuerdo con la primera fórmula para$V_\textrm{point}$.

Sin embargo, hay una buena explicación. Si$\dfrac{kQ}{r}$es originalmente para una carga puntual, ¿qué valores de$Q$y$r$debemos enchufar para el caso de una hoja? Bueno, observe que la hoja tiene una cantidad infinita de carga, por lo que tal vez$Q$debe ser infinito. Esto explica por qué podríamos obtener una diferencia de potencial infinita. Sin embargo, se produce un efecto competitivo con$r$. A medida que avanza en la hoja infinita, se aleja cada vez más del punto en el que está tratando de calcular el potencial, por lo que parece que tal vez$r$debería ser muy grande, tal vez infinitamente grande también. Veamos cómo resolver el problema correctamente.

Para hacer el problema correctamente, debes darte cuenta de que cada punto en la hoja infinita actúa como un pequeño punto de carga, por lo que cada punto da su propio$\dfrac{kQ}{r}$contribución. El potencial total, por superposición, es la suma de estas contribuciones. Podemos resumir las contribuciones por integración. Primero escojamos un sistema de coordenadas donde la placa está en el$x$-$y$plano, y el punto donde queremos saber el potencial está en el$z$eje. Podemos cambiar a coordenadas cilíndricas donde$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$. Entonces la distancia$r$entre el punto con coordenada$z$sobre el$z$eje y un punto con coordenada$\rho$es dado por$r = \sqrt{z^2 + \rho^2}$, y así, aplicando el$kQ/r$fórmula, la contribución$dV$al potencial de un poco de carga$dQ$una distancia$\rho$desde el origen está dado por

$\begin{equation} \begin{aligned} V&=\int^\infty_0 \frac{2 \pi k \sigma \rho d \rho}{\sqrt{z^2+\rho^2}} \\ &= \pi k \sigma \int^\infty_0 \frac{du}{\sqrt{z^2+u}}\\ &=2 \pi k \sigma \left( \sqrt{\infty + z^2} - |z| \right). \end{aligned} \end{equation}$

Debido a la infinidad de la raíz cuadrada, el potencial anterior es de hecho infinito, aunque se comenzó con un finito$kQ/r$ley. Este infinito fue posible porque teníamos infinitamente mucho$Q$. Observe que el campo eléctrico aún funciona porque la parte infinita no tiene un gradiente espacial:

debe comprar o descargar "introducción al electromagnetismo por David j. Griffiths". Él habla sobre este problema en el capítulo 2, básicamente su respuesta es que en este problema nuestra convención de tomar el infinito como "potencial cero" se rompe... de su libro de texto, capítulo 2, sección 2.3.1 (comentarios sobre el potencial): -

Evidentemente, el potencial como tal no tiene un significado físico real, ya que en cualquier punto dado podemos ajustar su valor a voluntad mediante una reubicación adecuada de O. En este sentido, es como la altitud: si le pregunto a qué altura está Denver, probablemente dime su altura sobre el nivel del mar, porque ese es un punto de referencia conveniente y tradicional. Pero también podríamos estar de acuerdo en medir la altitud sobre Washington DC, o Greenwich, o donde sea. Eso sumaría (o, más bien, restaría) una cantidad fija de todas nuestras lecturas del nivel del mar, pero no cambiaría nada en el mundo real. La única cantidad de interés intrínseco es la diferencia de altitud entre dos puntos, y eso es lo mismo cualquiera que sea su nivel de referencia. Habiendo dicho esto, sin embargo, hay un "natural" punto a usar para 0 en electrostática, análogo al nivel del mar para la altitud, y ese es un punto infinitamente lejos de la carga. Por lo general, entonces, "establecemos el cero de potencial en el infinito". (Dado que V (0) = 0, elegir un punto de referencia es equivalente a seleccionar un lugar donde V debe ser cero.) Pero debo advertirle que hay una circunstancia especial en la que falla esta convención: cuando la distribución de carga se extiende hasta el infinito. El síntoma del problema, en tales casos, es que el potencial explota. El remedio es simplemente elegir algún otro punto de referencia (en este problema podrías usar el origen). Note que la dificultad ocurre solo en problemas de libros de texto; en la "vida real" no existe una distribución de carga que dure para siempre, y siempre podemos usar el infinito como nuestro punto de referencia. (Dado que V (0) = 0, elegir un punto de referencia es equivalente a seleccionar un lugar donde V debe ser cero.) Pero debo advertirle que hay una circunstancia especial en la que falla esta convención: cuando la distribución de carga se extiende hasta el infinito. El síntoma del problema, en tales casos, es que el potencial explota. El remedio es simplemente elegir algún otro punto de referencia (en este problema podrías usar el origen). Note que la dificultad ocurre solo en problemas de libros de texto; en la "vida real" no existe una distribución de carga que dure para siempre, y siempre podemos usar el infinito como nuestro punto de referencia. (Dado que V (0) = 0, elegir un punto de referencia es equivalente a seleccionar un lugar donde V debe ser cero.) Pero debo advertirle que hay una circunstancia especial en la que falla esta convención: cuando la distribución de carga se extiende hasta el infinito. El síntoma del problema, en tales casos, es que el potencial explota. El remedio es simplemente elegir algún otro punto de referencia (en este problema podrías usar el origen). Note que la dificultad ocurre solo en problemas de libros de texto; en la "vida real" no existe una distribución de carga que dure para siempre, y siempre podemos usar el infinito como nuestro punto de referencia. cuando la distribución de carga en sí misma se extiende hasta el infinito. El síntoma del problema, en tales casos, es que el potencial explota. El remedio es simplemente elegir algún otro punto de referencia (en este problema podrías usar el origen). Note que la dificultad ocurre solo en problemas de libros de texto; en la "vida real" no existe una distribución de carga que dure para siempre, y siempre podemos usar el infinito como nuestro punto de referencia. cuando la distribución de carga en sí misma se extiende hasta el infinito. El síntoma del problema, en tales casos, es que el potencial explota. El remedio es simplemente elegir algún otro punto de referencia (en este problema podrías usar el origen). Note que la dificultad ocurre solo en problemas de libros de texto; en la "vida real" no existe una distribución de carga que dure para siempre, y siempre podemos usar el infinito como nuestro punto de referencia.

Campos eléctricos debidos a una hoja infinita de carga: