¿Por qué ⟨xfr⟩=0⟨xfr⟩=0\langle xf_r\rangle=0 pero ⟨x˙fr⟩≠0⟨x˙fr⟩≠0\langle\dot{x}f_r\rangle\ne 0?

Todos ⟨ ⟩ en esta pregunta es el teorema del valor medio sobre un gran número de experimentos.

Considere una partícula browniana que se mueve en un líquido con la viscosidad m . La ecuación de movimiento en el X eje es:

metro d 2 X d t 2 = − m d X d t + F r

dónde F r es una fuerza aleatoria que representa la colisión con las pequeñas moléculas en el líquido.

Multiplica la ecuación por X tenemos

metro d 2 d t 2 ( X 2 2 ) − metro X ˙ 2 = − m d d t ( X 2 2 ) + X F r

Tomando el valor medio y si suponemos que: ( 1 ) ⟨ X F r ⟩ = 0 y ( 2 ) ⟨ metro X ˙ 2 2 ⟩ = k T 2 tenemos:

metro d 2 d t 2 ⟨ X 2 ⟩ = − m d d t ⟨ X 2 ⟩ + 2 k T m

Esta es una ecuación simple para ⟨ X 2 ⟩ y cuando t es lo suficientemente grande que tenemos ⟨ X 2 ⟩ = 2 k T m t .

Si multiplicamos la ecuación de movimiento por X ˙ y tomamos el valor medio, veremos que ⟨ X ˙ F r ⟩ ≠ 0 . De hecho, este es el trabajo medio por tiempo realizado por la fuerza aleatoria para ganar la fuerza viscosa.

¿Cómo puedo explicar intuitiva y simplemente por qué ⟨ X F r ⟩ = 0 pero ⟨ X ˙ F r ⟩ ≠ 0 ? La fuerza aleatoria parece no estar relacionada con X o X ˙ ...

Respuestas (2)

Aquí está la explicación intuitiva:

Cuando una partícula se está moviendo, "chocará con" las cosas. Por lo tanto, la "fuerza aleatoria" de impactar otra partícula no es completamente aleatoria: está en parte correlacionada con el movimiento de la partícula antes de la colisión : es más probable que la fuerza del impacto sea en una dirección opuesta al movimiento actual que cualquier otra dirección. Y es esta correlación parcial lo que significa que la expectativa de ⟨ X ˙ F r ⟩ no será cero.

Por otro lado, no hay correlación entre la posición actual de la partícula y la dirección de la fuerza del próximo impacto, razón por la cual la expectativa de ⟨ X F r ⟩ es cero

Creo que la fuerza opuesta al movimiento es la fuerza total. La fuerza aleatoria no tiene nada que ver con la velocidad...
El movimiento que sigue a la fuerza aleatoria tiene un componente alineado con esa fuerza.
Luego, usando el mismo argumento, puede haber algo correlacionado entre X y F r . ¿Por qué la correlación desaparece repentinamente de X ˙ a X ?
Cuando me muevo en cierta dirección, es más probable que me golpeen por delante que por detrás... Porque mi propio impulso juega un papel en el impacto. Por lo tanto, la fuerza "aleatoria" tiene un componente no aleatorio, correlacionado con mi velocidad.
Si se golpea de frente, la fuerza debe ser opuesta a la velocidad, por lo que ⟨ X ˙ F r ⟩ debería ser negativo, mientras que de hecho puedes calcular y ver que ⟨ X ˙ F r ⟩ en este caso es positivo

En el movimiento browniano (usando la ecuación de Langevin ), el desplazamiento promedio (neto) es cero ⟨ X ⟩ = 0 y como la fuerza aleatoria F r (generalmente ruido blanco) no está correlacionado con el desplazamiento (y también tiene una media cero) el promedio conjunto ⟨ X F r ⟩ = 0 es cero también.

La correlación de la velocidad (término de viscosidad friccional que depende de la velocidad) y la fuerza aleatoria se describe en el teorema de fluctuación-disipación como tal ( referencia ):

La fuerza aleatoria (la fluctuación ) es la fuente y la fuerza impulsora de la partícula browniana, por lo que también es la fuente del término secundario de la fricción (la fricción, dependiendo de la velocidad, la disipación ), por lo que estos dos términos deben estar correlacionados .

La expresion ⟨ X ˙ F r ⟩ ≠ 0 define exactamente esta correlación entre estas dos facetas del mismo efecto ( fluctuación-disipación ).

¿Por qué ⟨xfr⟩=0⟨xfr⟩=0\langle xf_r\rangle=0 pero ⟨x˙fr⟩≠0⟨x˙fr⟩≠0\langle\dot{x}f_r\rangle\ne 0?
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