Teoría de Smoluchowski del movimiento browniano

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Teoría de Smoluchowski del movimiento browniano

usuario502940

Estoy estudiando el movimiento browniano, en particular estoy leyendo el libro "Movimiento browniano, fluctuación, dinámica y aplicación" de Mazo. Ahora estoy tratando con la teoría de Smoluchowski, pero tengo algunas dificultades.

El trabajo de Smoluchowski se basa en que podemos considerar el sistema formado por esferas duras en colisión (ligeras con masa $m$ y uno pesado con masa $M$ ). Llamemos entonces $C$ y $c$ la velocidad cuadrática media de las partículas pesadas y ligeras respectivamente; usando el teorema de equipartición obtenemos $c/C = (M/m)^{1/2}$ . Ahora vamos a indicar $\mathbf{v}$ y $\mathbf{V}$ las velocidades de las partículas ligeras y duras; la velocidad será imprimada si indican las velocidades antes de la colisión y primada si indican las posteriores a la colisión. por supuesto que tenemos eso $c^2=\langle \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \rangle$ , y una relación similar para la velocidad de la partícula pesada. Ahora deja $\mathbf{g}=\mathbf{v}-\mathbf{V}$ ; la cinemática de la colisión de esferas duras dice que:

V^{'} = V - 2 \frac{metro}{METRO + metro} (gramo \cdot k) k

$\begin{equation} \mathbf{V'}=\mathbf{V}-2\frac{m}{M+m}(\mathbf{g}\cdot\mathbf{k})\mathbf{k} \end{equation}$ dónde

k

$\mathbf{k}$ es el vector unitario normal a la tangente común. Y ahora tengo una duda: he intentado averiguar de dónde venían estas relaciones y en el libro "Teoría cinética" de Liboff se dice que esta relación es cierta cuando las esferas tienen la misma masa, que en este caso no es cierta . ¿Es esto justo y una aproximación o cómo puedo justificar el uso de esta relación?

Luego, en el libro está escrito que la ecuación anterior muestra que $C=C' + O((m/M)^2)$ en promedio, por lo que es posible despreciar los efectos de orden $(m/M)^2$ . Mi pregunta ahora es por qué la relación de masa está al cuadrado: de la ecuación anterior solo puedo ver $m/M$ .

De todos modos, despreciando los efectos como está escrito, obtenemos que $C=C'$ por lo que la velocidad de la partícula pesada solo cambia de dirección. El libro dice que el ángulo $\epsilon$ , entre $\mathbf{V}$ y $\mathbf{V'}$ , es dado por $\sin \epsilon = (3/4)(m/M)(c/C)$ (en la huella el autor dice que reproduciendo el cálculo obtiene factores numéricos similares como $0.708$ o $\pi/4$ ). ¿Tiene alguna sugerencia sobre cómo puedo obtener esta aproximación o sobre el camino que debo hacer para obtener el valor de $\sin \epsilon$ . Traté de calcular $\cos \epsilon = \frac{\langle \mathbf{V} \cdot \mathbf{V'}\rangle}{|\mathbf{V}||\mathbf{V'}|}$ pero esto se volvió muy complejo y me rindo.

Espero haber explicado claramente mis dudas. Si alguien tiene algunas sugerencias, estaré muy feliz de leerlas. ¡¡Gracias de antemano!!

j thomas

No soy un experto en este tema. Para mí, tiene sentido que, considerando los enlaces de hidrógeno, el movimiento browniano en el agua podría no encajar correctamente en el modelo de colisión de esferas duras. Podría describirse mejor como una especie de esferas pegajosas.

j thomas

Hace mucho tiempo leí que a escala bacteriana, el agua se comporta como un líquido con un número de reynolds gigantesco. Para ellos es más viscoso que la melaza para nosotros. La afirmación era que las fuerzas de cizallamiento actuaban como planos de fractura gigantes. Las bacterias y sus flagelos deben resistir esas fuerzas. Los flagelos funcionan rotando; Nunca he visto una descripción de cuánto rota la célula bacteriana, o una descripción de cómo la rotación hace avanzar a la bacteria, pero obviamente lo hace.

usuario502940

Muchas gracias por tu respuesta, muy interesante, también estudiaré este aspecto del movimiento browniano y del comportamiento del agua. De todos modos, el objetivo de mi pregunta es solo comprender la teoría de Smolichowski, luego, por supuesto, profundizaré en el tema sobre el que escribió

usuario197851

@AlessandroPecile Hoy vi un comentario tuyo sobre mi respuesta en el que pedías los detalles que conducen a tu primera ecuación, pero a la mitad de la preparación, el comentario parece haber desaparecido nuevamente. ¿Le gustaría que inserte estas pocas líneas de álgebra, o está feliz ahora?

usuario502940

De hecho, pude encontrarlos yo mismo. Lamento mucho este malentendido. En realidad ahora estoy bien con este capítulo. Muchas gracias, su ayuda fue muy muy importante.

usuario197851

Está bien, me alegro de que lo hayas solucionado tú mismo.

Respuestas (1)

Teoría de Smoluchowski del movimiento browniano

No soy un experto en este tema. Para mí, tiene sentido que, considerando los enlaces de hidrógeno, el movimiento browniano en el agua podría no encajar correctamente en el modelo de colisión de esferas duras. Podría describirse mejor como una especie de esferas pegajosas.
Hace mucho tiempo leí que a escala bacteriana, el agua se comporta como un líquido con un número de reynolds gigantesco. Para ellos es más viscoso que la melaza para nosotros. La afirmación era que las fuerzas de cizallamiento actuaban como planos de fractura gigantes. Las bacterias y sus flagelos deben resistir esas fuerzas. Los flagelos funcionan rotando; Nunca he visto una descripción de cuánto rota la célula bacteriana, o una descripción de cómo la rotación hace avanzar a la bacteria, pero obviamente lo hace.
Muchas gracias por tu respuesta, muy interesante, también estudiaré este aspecto del movimiento browniano y del comportamiento del agua. De todos modos, el objetivo de mi pregunta es solo comprender la teoría de Smolichowski, luego, por supuesto, profundizaré en el tema sobre el que escribió
@AlessandroPecile Hoy vi un comentario tuyo sobre mi respuesta en el que pedías los detalles que conducen a tu primera ecuación, pero a la mitad de la preparación, el comentario parece haber desaparecido nuevamente. ¿Le gustaría que inserte estas pocas líneas de álgebra, o está feliz ahora?
De hecho, pude encontrarlos yo mismo. Lamento mucho este malentendido. En realidad ahora estoy bien con este capítulo. Muchas gracias, su ayuda fue muy muy importante.
Está bien, me alegro de que lo hayas solucionado tú mismo.

usuario197851 · Answer 1

Has hecho varias preguntas; Solo puedo dar una respuesta clara a la primera, y algunos comentarios sobre las demás.

Por lo que sé, la expresión del cambio de velocidad de la partícula pesada es correcta. En este tipo de dinámica de colisión, uno expresa los cambios de velocidad de ambas partículas en términos del impulso de colisión $\Delta \mathbf{P}$ :

V^{'} = V + Δ PAG / METRO, v^{'} = v - Δ PAG / metro

$\mathbf{V}' = \mathbf{V} + \Delta\mathbf{P}/M, \qquad \mathbf{v}' = \mathbf{v} - \Delta\mathbf{P}/m$ que garantiza la conservación de la cantidad de movimiento. Entonces se impone el hecho de que

Δ P

$\Delta \mathbf{P}$ debe estar a lo largo de la línea de centros

k

$\mathbf{k}$ al contacto (esferas lisas y duras) por lo que solo requerimos calcular su magnitud. Esto se puede encontrar al requerir la conservación de la energía cinética total que se puede escribir.

METRO ({V^{'}}^{2} - V^{2}) + metro ({v^{'}}^{2} - v^{2}) = 0

$M({V'}^2-V^2) + m({v'}^2-v^2) = 0$ El problema se puede simplificar reconociendo que las componentes de velocidad perpendiculares a

k

$\mathbf{k}$ no cambian, por lo que sus contribuciones al cambio en la energía cinética se pueden eliminar. Podemos resolver todo en el

k

$\mathbf{k}$ dirección y solo necesitamos resolver una ecuación escalar que involucre los componentes a lo largo

k

$\mathbf{k}$ , no uno vectorial. De todos modos, parece que puedo satisfacer la ecuación de conservación de energía con la expresión dada para

Δ P / M

$\Delta \mathbf{P}/M$ que aparece en la ecuación de

V^{'}

$\mathbf{V}'$ . Es posible que desee verificar esto usted mismo, son solo unas pocas líneas de álgebra.

Sobre la cuestión del orden de magnitud del cambio en $C$ , estoy tan desconcertado como tú. Claramente, en promedio, el signo de la diferencia $C'-C$ debe ser cero, porque las colisiones deben dejar sin cambios, en promedio, las distribuciones de velocidad de ambas partículas. $C'$ , como $C$ , está determinada por la masa $M$ y la temperatura El argumento se relaciona claramente con la magnitud del cambio típico en la velocidad de la partícula pesada. Es pequeño, y puedo creer que es $\mathcal{O}(m/M)$ , pero no he encontrado una manera de mostrar que es $\mathcal{O}(m^2/M^2)$ .

La forma general de la fórmula de $\sin\epsilon$ parece que proviene de estimar la magnitud de $\Delta \mathbf{P}/M$ : el prefactor de masa te da $m/M$ y la dependencia de $\mathbf{g}$ te da una proporcionalidad a $c$ . ( $\mathbf{g}$ es una diferencia de velocidades $\mathbf{v}-\mathbf{V}$ , pero la contribución de $\mathbf{V}$ es insignificante en comparación con $\mathbf{v}$ , que es de magnitud típica $c$ .) Agregar un vector de magnitud $(m/M)c$ a un vector $\mathbf{V}$ , que es de magnitud aproximada $C$ , lo rotará en un ángulo típico $\sim (m/M)(c/C)$ con el que nos identificamos $\epsilon$ , o $\sin\epsilon$ . Sin embargo, incluso Mazo, en su nota al pie, dijo que tenía dificultades para reproducir el prefactor numérico. ¡No creo que sea razonable esperar que un lector típico de StackExchange asuma esta derivación! Ciertamente no lo intentaré.

Buena suerte con el resto de ese capítulo, que me parece bastante pesado.

Teoría de Smoluchowski del movimiento browniano

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j thomas

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