¿Por qué verdadero y falso son los únicos valores de verdad utilizados en matemáticas?

¿Por qué usamos sólo verdadero y falso? Es posible tener muchos estados intermedios en la lógica difusa y otras lógicas de muchos valores.

Si asignamos números a verdadero y falso, como 1 y 0 respectivamente, ¿cuál sería la interpretación lógica de -1, i, j o ​​k (con i, j, k como se define para los cuaterniones )? ¿Hay alguna razón para esta dicotomía? ¿Qué tipo de enunciado tendría estos valores de verdad si existiera tal enunciado?

Bienvenido a Filosofía SE. Esta pregunta no está completamente clara en lo que está preguntando y podría beneficiarse de alguna aclaración. La respuesta simple es que verdadero y falso tienen significados específicos en ciertos contextos que no admitirían otros conceptos; recuerde que las matemáticas y la filosofía añaden valor al pensamiento humano principalmente a través de lo que impiden , no de lo que permiten. El orden es, en efecto, la contención del pensamiento en conceptos específicos considerados válidos como modelo dentro del universo que también parece restringir los eventos a un conjunto válido dado que interpretamos como orden.
Tal vez no; ver Lógica de tres valores y Lógica de muchos valores .
El idus de que hay afirmación VERDADERA está muy arraigado en nuestro lenguaje, y también la bivalencia, es decir, el hecho de que lo que no es VERDADERO es FALSO. Pero, al mismo tiempo, el fenómeno de la Vaguedad está muy presente en nuestra lengua y en la vida cotidiana, y esto no encaja bien con la bivalencia.
0 y 1 en lógica no son números sino valores booleanos .
La pregunta es algo así como preguntar "¿Por qué hay solo 10 dígitos?". Bueno, en el sistema decimal hay 10, porque eso es lo que lo define como un sistema decimal !. Pero en otros, hay más o menos dígitos. Respuesta tan corta: la pregunta es defectuosa, no hay nada solo "verdadero" y "falso"; cuántos valores hay depende completamente del sistema que utilice. Si no está satisfecho con el uso de sistemas que son binarios verdadero/falso, utilice uno que no sea binario.
Supongo que la respuesta de tipo más "filósofo" (ya que lo está preguntando en Philosophy Stack Exchange) es que si "verdad" se toma como el intervalo [0, 1] y "verdad cero" significa "falsedad total" y "1 verdad" significa "verdad total" para tener un valor de verdad "menor que 0" (es decir, "-1 verdad") significaría que de alguna manera tendría que ser "incluso más falso que absolutamente/completamente falso". ¿significar? Es un poco como preguntar "¿qué hay al norte del Polo Norte?". o "¿qué significa moverse más lentamente que sentarse absolutamente quieto?"
También existe sin sentido e indecidible, dando cuatro valores posibles.
@TimBII Creo que la pregunta es clara, la pregunta es por qué las matemáticas han elegido un sistema lógico de dos valores y si los sistemas lógicos de 'otros valores' podrían ser útiles.
@Discretelizard si ese es el caso, entonces respondió su propia pregunta al mencionar muchas lógicas valiosas relacionadas. No toda la lógica ES bivalente (aunque es cierto que la mayoría lo es) y ¿por qué traer números imaginarios? Parece un montón de paja en el camino de lo que podría ser una pregunta clara.
@TimBII ¿Cómo responde esta pregunta a la pregunta de por qué se usa la lógica de dos valores? Quiero decir, hay razones válidas para preferir lógicas que no sean de dos valores para ciertos casos, la lógica difusa ha tenido usos prácticos, por ejemplo.
@Discretelizard En realidad, no estoy en desacuerdo con usted acerca de que, en muchos casos, es preferible tener una lógica bivalente; lo que estaba diciendo arriba es que el título se refiere a que solo hay verdadero y falso, y luego el cuerpo de la pregunta no solo muestra que ese no es el caso, sino que luego quiere saber por qué el primero es el caso nuevamente, mientras pregunta si esto último puede ser una buena idea. La pregunta es realmente buena, pero está escrita (en mi humilde opinión) de manera confusa. Su respuesta refleja una buena comprensión de la intención, pero eso no significa que la redacción de la pregunta no se pueda mejorar.
@TimBII Ah, ya veo lo que quieres decir. Bueno, entonces veamos si la edición ayuda.
Ellos no son. La división por cero es un ejemplo del valor '2' = Indeterminado.

Respuestas (5)

La pregunta de si podríamos tener un sistema lógico que se pueda representar con números complejos plantea un punto interesante: ¿Son útiles los sistemas lógicos donde las dimensiones múltiples son útiles?

La respuesta resulta ser sí. Considere la lógica multidimensional de Carlos Gershenson.

Aquí, cada variable lógica es un par del 'cuadrado' [0,1] x [0,1]. La razón por la que se elige una representación bidimensional es tal que podemos asignar un valor de verdad incluso a declaraciones paradójicas como "Esta frase es falsa". La idea básica es que si para el par (x,y) tenemos x+y=1, entonces esto se considera un valor no paradójico dentro de la lógica difusa 1 . De lo contrario, el valor de verdad es paradójico, pero aún puede representarse y calcularse. (para más información, consulte el enlace proporcionado)

Pero déjame responder a tu pregunta real. Una de las principales razones por las que la mayor parte de las matemáticas utiliza un sistema lógico de dos valores es que la mayor parte de las matemáticas se ocupa de demostrar que algo es verdadero o falso. Nada más. Por lo tanto, como los matemáticos solo desean hablar de dos valores lógicos para sus declaraciones, un sistema lógico de dos valores es el sistema más simple que les permite hacer eso.

1: Aquí vemos un paralelo con los 'números imaginarios', fueron introducidos en la fórmula de Cardano como un 'truco algebraico' para tener alguna 'tontería' en medio de una derivación, pero un resultado correcto al final)

En realidad, en algunas lógicas, específicamente en la teoría de modelos continuos, podemos considerar el intervalo [0,1] en lugar del conjunto habitual de proposiciones {0,1} y tomar 0 como indicador del valor de verdad y 1 como valor falso porque sup[0 ,1]=1 e inf[0,1]=0. Además, si bien hay muchos valores de números complejos, solo hay un número cuyo cuadrado es -1, y ese es i.

La razón de esta dicotomía es que la lógica normalmente se considera algebraicamente en lugar de geométricamente, lo que nos obliga a considerar cómo construir sistemas de valores de verdad.

En cuanto a qué tipo de declaración tendría un valor de verdad de i y uno negativo, definitivamente tendría que ser formalizaciones matemáticas de algún tipo de lógica dialéctica que se basa en gran medida en idempotentes (objetos matemáticos cuyas iteraciones son iguales) para construir su valor de verdad sistema. No conozco los detalles, ya que aún no se sabe/no se ha demostrado que exista tal sistema.

¿Cuál es el cuadrado de -i?
(-i)^2=(-1*i)^2=(-1)^2*(i)^2=1*(i)^2=i^2=-1. El cuadrado de -i también es -1.

El dominio de la estocástica se basa en la generalización de los dos valores de verdad discretos 0 y 1 al intervalo continuo [0,1] de probabilidades, es decir, todos los números reales entre 0 y 1 son probabilidades posibles. Elegir "0" y "1" como dos valores de verdad distinguidos es una convención adecuada: recuerde el sistema dual en computación. Las probabilidades tienen que satisfacer ciertos axiomas, por ejemplo, para conjuntos disjuntos A y B de eventos

p(A unión B)= p(A) + p(B)

Por lo tanto, uno no puede elegir números bastante arbitrarios para las probabilidades y los valores de verdad.

No estoy seguro de si el estocástico es tan relevante aquí. Incluso en el estocástico, cada evento ocurre o no ocurre. Todavía hay sólo 2 valores de verdad. Lo único que está en un intervalo es nuestra incertidumbre del evento. Además, tu axioma es incorrecto. Los eventos no solo deben ser inconexos, sino que también deben ser independientes .
Gracias por señalar el axioma equivocado. - Considero probabilidad una generalización de los dos valores de verdad discretos. La probabilidad no solo captura nuestra incertidumbre del evento. En la mecánica cuántica, la probabilidad suele capturar una propiedad inherente al evento, independiente de nuestro conocimiento.
"La probabilidad no solo captura nuestra incertidumbre del evento". Sin embargo, solo hay 2 valores de verdad en el estocástico convencional. No creo que la opinión de nadie sobre lo que debería ser el estocástico importe. Por lo tanto, creo que esta respuesta es engañosa en el mejor de los casos.
¿Qué tiene de malo, en su opinión, considerar la probabilidad como una generalización (!) de los dos valores de verdad discretos?
1) Esto contradice la(s) interpretación(es) del estocástico convencional. 2) El concepto de una medida (de probabilidad) es un objeto matemático muy diferente a una variable lógica u operaciones sobre tales variables. 3) La generalización principal que desea se conoce como 'lógica difusa', consulte aquí las diferencias entre esto y la probabilidad.
plato.stanford.edu/entries/logic-probability La semántica probabilística reemplaza así las valoraciones v : L→{0,1} de la lógica proposicional clásica por funciones de probabilidad P : L→ ℝ, que toman valores en el intervalo unitario real [0, 1]. Los valores de verdad clásicos de verdadero (1) y falso (0) pueden considerarse como los extremos del intervalo unitario [0,1] y, del mismo modo, las valoraciones v : L→{0,1} pueden considerarse como probabilidad degenerada funciones P : L→ [0,1]. En este sentido, la lógica clásica es un caso especial de lógica de probabilidad, ....
Sí, por supuesto que puedes hacer eso. Esta definición, sin embargo, contradice el estocástico moderno. En el estocástico moderno, las medidas de probabilidad P son funciones de un álgebra sigma S de eventos medibles al intervalo unitario. No hay ninguna función sobre un 'lenguaje proposicional'. Que aparentemente haya otra definición de 'probabilidad' (¡hay muchas!) dentro de la lógica no implica que la estocástica, un campo dentro de las matemáticas, deba ser consistente con esta interpretación. ¡Todavía no entiendo por qué pareces estar afirmando que tus propios pensamientos deben ser aceptados desde dentro del estocástico!

Claramente, no lo hay.

Ciertamente hay teorías que admitirían un -1, o el rango de números enteros, o un intervalo de reales, o un espacio vectorial infinito (el espacio de matrices de estado en física cuántica) como representaciones adecuadas de algún estado lógico.

Pero la lógica busca una base para el pensamiento. Está buscando lo que puede ser visto como más básico. Y para la mayoría de los humanos, esa es una comparación binaria.

Dentro de ese contexto booleano, ¿qué comportamiento podría tener? Primero, tendría que decidir cómo se mapean las matemáticas. En Boole, la suma significa 'o' y la multiplicación significa 'y'. Entonces, en ese mundo, -1 = 1. Un valor de verdad de i o -i tendría que ser 'unidades alternativas' en el sentido algebraico, dos cosas que no son ni verdaderas ni falsas por separado, pero cuando ambas se aplican, establecen un verdadero declaración.

Entonces, en lugar de haber exactamente tres de esas cosas, en realidad habría una infinidad de ellas, y es posible que no sean muy útiles. Pero podrían ser divertidos de inventar.

Estoy de acuerdo con la equivalencia. Pero sugiera un mapeo diferente para i; como algo intrínsecamente contradictorio pero dispuesto de manera indeterminada para asumir uno de los otros valores de verdad. Esto es por analogía con en.m.wikipedia.org/wiki/Tachyonic_field Como usted dice, solo artilugios, y esta sugerencia es solo por diversión.
@CriglCragl Pero algo intrínsecamente contradictorio no debería tener un módulo de 1. Porque algo con módulo 1 nunca puede ser cero. Tiene que estar de alguna manera incompleto a menos que esté elevado al cuadrado. Podría seguir Re(i) == 0 y tener verdades ortogonales. Pero alguien más ya comentó sobre interpretaciones multidimensionales, y no me importó.
@CriglCragl Puede estar interesado en la lógica multidimensional a la que me refiero en mi respuesta, ya que asigna un valor lógico a la declaración paradójica. Un valor se considera "no paradójico" solo si la norma (norma L1, no euclidiana) es 1 y, por lo tanto, puede verse como un valor de lógica difusa.

Parece que todas las demás formas de lógica (por ejemplo, con más de 2 valores), en caso de que realmente las necesite, pueden simularse con matemáticas ordinarias basadas en la buena lógica antigua de verdadero o falso.

Esta es una afirmación bastante vaga. No estoy seguro si es completamente cierto. Incluso si se mantiene, el hecho de que podamos 'simular' otras lógicas (lo que sea que eso signifique) no significa que otras lógicas sean inútiles. A veces, otras lógicas son simplemente una forma más fácil de describir o resolver ciertos problemas. Esta es una de las razones por las que la lógica difusa tiene usos en la práctica.
Suponga que desea simular una lógica de 256 valores. Entonces, cada operador "lógico" podría representarse mediante una función binaria en el conjunto de números naturales menores que 256.
Sí, pero ¿por qué lo harías?
@Discretelizard No puedo pensar en ninguna aplicación, pero entiendo que la lógica de 8 valores puede proporcionar algunas eficiencias de procesamiento en chips de computadora. Por supuesto, la misma funcionalidad podría estar disponible utilizando la lógica estándar de 2 valores.
Tal vez debería ser más claro. ¿Por qué simularías una lógica multivaluada con algunos números? ¿Por qué no usar la lógica multivaluada de inmediato?
Con un sistema lógico de dos valores, debería poder manejar todos los demás sistemas lógicos de valores múltiples. Talla única para todos. Realmente solo necesita aprender un sistema.
Eso es como decir que no necesita saber nada sobre matemáticas sino teoría de conjuntos, porque puede 'manejar' análisis complejos, medir teoría, etc. Mi punto es que su visión 'mecanicista' de querer 'construir' un sistema lógico es irrelevante, porque lo que importa es si el sistema facilita que los humanos razonen en cierta situación. A menudo, es más fácil razonar con algún objeto A que con B, incluso en el caso de que A y B sean isomorfos.
A menudo es más fácil razonar sobre algo usando un sistema probado y familiar. Y más fácil de comunicar sus resultados con los demás.
¿Por qué verdadero y falso son los únicos valores de verdad utilizados en matemáticas?
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