¿Por qué usar una regularización particular para ∫∞0dxeipx∫0∞dxeipx\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{ipx}?

Question

¿Por qué usar una regularización particular para ∫∞0dxeipx∫0∞dxeipx\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{ipx}?

Física
rotación de mecha
regularización
física-matemática
teoría cuántica de campos

Pedro

Hay muchas integrales mal definidas en física. Quiero discutir uno de ellos que veo muy a menudo.

\int_{0}^{\infty} d X {mi}^{i pag X}

$\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}$ He visto esta integral en muchos problemas físicos. Muchas personas parecen pensar que es una integral bien definida y se calcula de la siguiente manera:

Usaremos la regularización (introducimos un pequeño parámetro real $\varepsilon$ y después del conjunto de cálculo $\varepsilon = 0$ .

I_{0} = \int_{0}^{\infty} d X {mi}^{i pag X} {mi}^{- ε X} = \frac{1}{ε - i pag} = \frac{i}{pag}

$I_0=\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}e^{ -\varepsilon x}=\frac{1}{\varepsilon-i p}=\frac{i}{p}$

¡Pero puedo obtener un valor arbitrario para esta integral! También usaré la regularización, pero usaré otra parametrización:

I (α) = \int_{0}^{\infty} d X {mi}^{i pag X} = \int_{0}^{\infty} d X (1 + α \frac{ε pecado pag X}{pag}) {mi}^{i pag X} {mi}^{- ε X}

$I(\alpha)=\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}=\int_0^\infty dx \left(1+\alpha\frac{\varepsilon \sin px}{p}\right)e^{i p x}e^{ -\varepsilon x}$ dónde

ε

$\varepsilon$ es un parámetro de regularización y

α

$\alpha$ es un valor arbitrario usando

\int_{0}^{\infty} d x \sin (α x) e^{- β x} = \frac{α}{α^{2} + β^{2}}

$\int_0^\infty \mathrm{d}x\,\sin{(\alpha x)} e^{ -\beta x}=\frac{\alpha}{\alpha^2+\beta^2}$

Después de un cálculo no tan difícil, obtengo que $I(\alpha)=\frac{i}{p}\left(1+\frac{\alpha}{2}\right)$ .

Esta integral la he visto a menudo en cálculos intermedios. Pero normalmente la gente no tiene en cuenta este problema y simplemente usa $I_0$ . no entiendo porque?

Solo conozco un ejemplo cuando puedo explicar por qué deberíamos usar $I_0$ . En la teoría de campos cuando calculamos $U(-\infty,0)$ , dónde $U$ es un operador de evolución, es proporcional a $\int^0_{-\infty} \mathrm{d}t\,e^{ -iE t}$ . Es necesario para la aproximación de Weizsaecker-Williams en QED, o la ecuación DGLAP en QCD, porque en QFT axiomático establecemos $T\to \infty(1-i\varepsilon)$ .

Mi pregunta es: ¿Por qué, en el cálculo de la integral $\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x}$ , la gente usa $I_0$ ? ¿Por qué la gente usa $e^{ -\varepsilon x}$ función de regularización? Bajo mi punto de vista esta regularización no es mejor ni peor que otra.

usuario65081

Has descubierto la diferencia entre la física y las matemáticas.

I_{0}

$I_0$ simplemente funciona mejor.

arturo suvorov

Muchas personas inteligentes han trabajado para tratar de formalizar la técnica de regularización de manera consistente. Sin embargo, eventualmente, para dar sentido a cualquier cosa en física, debe comparar con el experimento. El ejemplo famoso aquí es el cálculo de la fuerza de Casimir mediante el uso de funciones Zeta. Entonces se debe elegir una parametrización específica para obtener una respuesta que esté de acuerdo. En cuanto a tu

I_{0}

$I_{0}$ específicamente, no sabría decir. Nunca he estado muy satisfecho con las técnicas de 'eliminación de divergencia' tampoco.

una mente curiosa

Sorprendentemente, no importa cómo se regularice, siempre y cuando lo haga de manera consistente. La parte finita de la regularización de la serie divergente/integral siempre estará de acuerdo, vea esta publicación de Terry Tao .

yuggib

Espero que esto agregue otra pequeña aclaración. Función de paso:

1_{[0, + \infty)} (x) \in S^{'} (R)

$\mathbb{1}_{[0,+\infty)}(x)\in \mathscr{S}'(\mathbb{R})$ , eso da

1

$1$ si

x \in [0, + \infty)

$x\in[0,+\infty)$ ,

0

$0$ de lo contrario. Mapas transformados de Fourier

S^{'}

$\mathscr{S}'$ en sí mismo La transformada de Fourier de la función escalonada anterior define de manera única su integral, como una distribución en

S^{'}

$\mathscr{S'}$ ; ver aquí para una forma explícita. Las ambigüedades surgen matemáticamente del hecho de que "intercambiar el límite con la integral" no está permitido en este caso.

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/1507474/11127

Respuestas (2)

¿Por qué usar una regularización particular para ∫∞0dxeipx∫0∞dxeipx\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{ipx}?

Has descubierto la diferencia entre la física y las matemáticas. $I_0$ simplemente funciona mejor.
Muchas personas inteligentes han trabajado para tratar de formalizar la técnica de regularización de manera consistente. Sin embargo, eventualmente, para dar sentido a cualquier cosa en física, debe comparar con el experimento. El ejemplo famoso aquí es el cálculo de la fuerza de Casimir mediante el uso de funciones Zeta. Entonces se debe elegir una parametrización específica para obtener una respuesta que esté de acuerdo. En cuanto a tu $I_{0}$ específicamente, no sabría decir. Nunca he estado muy satisfecho con las técnicas de 'eliminación de divergencia' tampoco.
Sorprendentemente, no importa cómo se regularice, siempre y cuando lo haga de manera consistente. La parte finita de la regularización de la serie divergente/integral siempre estará de acuerdo, vea esta publicación de Terry Tao .
Espero que esto agregue otra pequeña aclaración. Función de paso: $\mathbb{1}_{[0,+\infty)}(x)\in \mathscr{S}'(\mathbb{R})$ , eso da $1$ si $x\in[0,+\infty)$ , $0$ de lo contrario. Mapas transformados de Fourier $\mathscr{S}'$ en sí mismo La transformada de Fourier de la función escalonada anterior define de manera única su integral, como una distribución en $\mathscr{S'}$ ; ver aquí para una forma explícita. Las ambigüedades surgen matemáticamente del hecho de que "intercambiar el límite con la integral" no está permitido en este caso.

david z · Answer 1

Cuando introduces una variable auxiliar, como un parámetro de regularización, al final del cálculo tienes que tomar el límite que restablece la expresión a la original. Si introduce múltiples variables auxiliares, debe hacer esto para todas ellas. De lo contrario, solo estás haciendo una integral diferente. En este caso en concreto,

\begin{aligned} I (α) & = \int_{0}^{\infty} d X {mi}^{i pag X} \\ = \underset{α \to 0}{límite} \underset{ε \to 0}{límite} \int_{0}^{\infty} d X (1 + α \frac{ε pecado pag X}{pag}) {mi}^{i pag X} {mi}^{- ε X} \\ = \underset{α \to 0}{límite} I (α) \\ = I (0) = I_{0} \end{aligned}

$\begin{align} I(\alpha) &=\int_0^\infty \mathrm{d}x\,e^{i p x} \\ &=\lim_{\alpha\to 0}\lim_{\varepsilon\to 0}\int_0^\infty dx \left(1+\alpha\frac{\varepsilon \sin px}{p}\right)e^{i p x}e^{ -\varepsilon x} \\ &= \lim_{\alpha\to 0} I(\alpha) \\ &= I(0) = I_0 \end{align}$

Sin el $\lim_{\alpha\to 0}$ , no estás calculando $\int e^{ipx}$ , estás calculando otra cosa.

Claro, si pones el $\varepsilon$ límite dentro de la integral entonces se ve como el valor de $\alpha$ no importa, pero en realidad no puedes llegar a esa conclusión, porque los límites no conmutan con las integrales en general. Y claramente, en este caso, el valor de $\alpha$ importa _

$\alpha$ no es un parámetro de regularización. Es un número arbitrario. Quiero decir que $\left(1+\alpha\frac{\varepsilon \sin px}{p}\right)e^{ -\varepsilon x}$ es una función de regularización para arbitraria $\alpha$
Sí, pero el punto de mi respuesta es que $\bigl(1 + \alpha\frac{\varepsilon\sin px}{p}\bigr)e^{ipx}e^{-\epsilon x}$ no es lo mismo que $e^{ipx}e^{-\epsilon x}$ . Es un integrando diferente e integrarlo te dará un resultado diferente. Esto es cierto ya sea que llames $\alpha$ un parámetro de regularización o no.
Pero no es la respuesta a mi pregunta. No entiendo por qué la gente usa tal regularización. $e^{-\varepsilon x}$ . Desde mi punto de vista, esta regularización no es mejor ni peor desde el punto de vista matemático.
Ah, parecía que estabas preguntando por qué la gente usa $I_0$ En lugar de usar $I(\alpha)$ por alguna arbitraria $\alpha$ . Si pregunta por qué la gente usa la regularización $e^{-\varepsilon x}$ en absoluto, eso es un poco diferente. (Y en ese caso, no veo qué $I(\alpha)$ tiene que ver con la pregunta) ¿Quizás podría editar su pregunta para aclarar?
@DavidZ Creo que el punto de Peter es que ambos integrandos son iguales a $e^{ipx}$ cuando dejas $\varepsilon \rightarrow 0$ .
@Ahsan sí, así es como lo entendí. Mi punto en la respuesta fue que, simplemente porque ambos integrandos son iguales en este límite, no significa que ambas integrales sean iguales cuando tomas el límite después de integrar. Sin embargo, no estoy muy seguro de cuál es la mejor manera de decirlo.
Muy bien, entonces los límites y las integrales no conmutan en general. Pero luego supongo que el OP pregunta cómo se decide qué valor asignar a la integral anterior, ya que hay muchas opciones diferentes no equivalentes, como ha demostrado.
@Ahsan, pero mi punto es precisamente que el OP no ha demostrado que haya muchas opciones diferentes no equivalentes. Sólo la elección donde $\alpha=0$ corresponde a la integral original.
No. Desde el punto de vista matemático, ambas funciones de regularización son normales. Esta integral está mal definida, porque la respuesta depende de la función de regularización.
@DavidZ Agregué una respuesta basada en mi interpretación del punto que estabas señalando. ¿Lo interpreté correctamente?
@ user76284 Creo que su respuesta podría ser un poco diferente (pero definitivamente relacionada y definitivamente un buen punto para hacer). Aunque no estoy seguro en este momento.

usuario76284 · Answer 2

algo que arregla $\frac{i}{p}$ la única es que, independientemente del regulador, es el término constante de la expansión asintótica de

\int_{0}^{b} {mi}^{i pag X} d X = \frac{i - {mi}^{i pag b}}{pag}

$\int_0^b \mathrm{e}^{ipx} \,\mathrm{d}x = \frac{i - \mathrm{e}^{ipb}}{p}$

Además, considere aplicar su regulador con $\alpha \neq 0$ a un caso donde la integral converge , como $p=i$ . ¿Sigue dando la respuesta correcta? Ingenuamente, uno podría pensar que el segundo término en el integrando no importa porque $\varepsilon \rightarrow 0$ entonces $\frac{\varepsilon \sin p x}{p} \rightarrow 0$ . Lo mismo ocurriría en este escenario convergente. Pero claramente importa porque $\alpha \neq 0$ da la respuesta incorrecta. Por lo tanto, debes dejar $\alpha \rightarrow 0$ al final, o su método será inconsistente con las integrales convergentes.

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