Regularización dimensional iterada

Question

Regularización dimensional iterada

José Javier García

Dada una integral divergente de 2 bucles $\int F(q,p)\,\mathrm{d}p\mathrm{d}q$ , se puede resolver iterativamente? quiero decir

integro sobre $p$ acuerdo $q$ constante
Luego integro sobre $q$

En ambas integrales iteradas utilizo regularización dimensional.

¿Se puede resolver iterativamente? Le presenté un artículo a un profesor mío sobre la regularización de integrales usando la regularización Zeta. Me dijo que para integrales unidimensionales (o integrales de un lazo) estaba bien, pero que mi método no podía manejar integrales de múltiples lazos. Le respondo que podría aplicar el método de regularización introduciendo un regulador de la forma

(a + q i)^{- s}

$(a+qi)^{-s}$

Podría hacer la integral de cada variable mediante regularización iterada, es decir, aplicando el algoritmo de forma iterativa.

EDITO: creo que me han engañado :) inventando excusas para no llamarme la atención

por cierto, ¿cómo puedo insertar códigos matemáticos en mis publicaciones? ¿es solo establecer $al principio y al final de la ecuación?

Edición: 19 de julio

gracias :) tu respuesta fue muy útil :)

sin embargo, no puedo insertar un término $(qi+a)^{-s}$ en cada variable y luego aplicar la regularización iterativamente ??

Lo digo porque hice un paper http://vixra.org/abs/1009.0047 para regularizar integrales usando el regulador $(q+1)^{-1}$ e intenté extenderlo a varias variables, sin embargo esa era mi duda, si pudiera aplicar mi esquema de regularización a cada variable :) gracias de nuevo

Me refiero a una integral unidimensional $\int dx (x+a)^{m-s}$ , sé cómo regularizarlo usando la fórmula de suma de Euler-Maclaurin más la función Riemann Zeta $\zeta (s-m)$

Luego, para las integrales de bucles múltiples, pensé que podría introducir el $s$ -reguladores (x+a)^{-s}(y+a)^{-s}... y así sucesivamente en cada variable, y luego aplicar integración iterada... :)

así que este es un resumen de mi método ..

a) sé cómo usar la regularización Zeta para obtener valores finitos para la integral $\int dx(x+a)^{m-s}$ en términos de la función Riemann Zeta $\zeta (s-k)$ con k=-1,0,1,....,m

b) para una integral unidimensional más general $\int dx f(x)(x+a)^{-s}$ sumo resto un polinomio $K(x+a)(x+a)^{-s}$ para obtener una parte finita y luego regularizar las integrales divergentes $dx(x+a)^{m-s}$

c) para una integral de 2 bucles más complicada $\iint dpdq F(q,p)(p+a)^{-s}(q+a)^{-s}$ para obtener una regularización hago el método sema, primero en 'p' considerando 'q' una constante y lo trato como una integral unidimensional sobre 'p' y luego sobre 'q' restando un polinomio $K(q,p+a)(p+a)^{-s}$ y así

wsc

No sé la respuesta, pero realmente no puedo ver por qué no funcionaría. Hm. Buena pregunta.

Jorge

¿Qué haces con los resultados parciales (primero sobre p, luego sobre q?). ¿Agregalos? ¿Multiplicar?

Marek

@wsc: sé que no funciona y también que dos diagramas de bucle (por no mencionar más alto) pueden ser muy complicados (por ejemplo, un amigo mío publicó recientemente un resultado sobre algunas correcciones radiativas de dos bucles para

π^{0} \to e^{+} e^{-}

$\pi^0 \to e^+ e^-$ ). Pero desafortunadamente eso es todo lo que sé ya que este no es mi campo.

Simón

Respuesta a la edición del 19 de julio: por supuesto, puede aplicar su regularización de esa manera. Pero recuerda que no existe una forma canónica de enrutar el impulso a través de un diagrama de Feynman, por lo que tu integral regularizada dependerá de esta elección arbitraria. Esto hace que sea más difícil (pero no imposible) obtener un esquema de renormalización coherente. Es decir, para restar subdivergencias consistentemente para que siempre tenga contratérminos locales. También imagino que su regularización romperá la invariancia de calibre / identidades de Ward, que deberán corregirse con contratérminos finitos.

Simón

(Continuación) De todos modos, intente usar su regularización para producir algo así como resultados de propagador de 2 bucles en QED y vea qué sucede. ¿Siempre puedes obtener contratérminos locales? ¿Qué pasa con las identidades de Ward?

Simón

Tal vez debería echar un vistazo a las diatribas de Bonneau [1 ] [2 ] sobre la regularización. También algunas de las discusiones en los documentos de renormalización implícita ( por ejemplo ).

americo tavares

¿Por qué usas

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{s} = ζ (s)

$\sum_{n=1}^{\infty }n^{s}=\zeta (s)$ en su documento ( vixra.org/pdf/1009.0047v4.pdf ) en lugar de

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} = ζ (s)

$\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\zeta (s)$ ?

Simón

@Américo: Hay algunos errores tipográficos en su artículo.

José Javier García

fue un error,. en cuanto a los contratérminos, no necesito contratérminos ya que TODAS las integrales se pueden regularizar para obtener una respuesta FINITA en el mismo sentido en que puede obtener respuestas finitas al 'efecto Casimir' mediante la regularización zeta

ζ (- 3) = 1 / 120

$\zeta(-3)=1/120$ entonces mi método no necesita contratérminos en el mismo sentido que la eularización zeta para series no necesita contratérminos.

Simón

@Jose: incluso si no tiene contratérminos (y eso no está claro en su artículo), aún debe asegurarse de que las subdivergencias y las divergencias superpuestas se traten adecuadamente. Esta es la razón por la que lo remití a hep-th/9303044, donde este problema se analiza a fondo para la renormalización diferencial, que tampoco tiene contratérminos.

Simón

@Jose: Dicho esto, todavía hay contratérminos, simplemente no son explícitos. Su método intenta modificar el producto de distribuciones mal definido para obtener una distribución bien definida. La diferencia entre los dos es el contratérmino que restaste. Esencialmente, su método es definir un operador R que necesita satisfacer la recursividad de Bogoliubov o la fórmula del bosque de Zimmermann.

José Javier García

pero la regularización zeta ha demostrado respetar toda la física, por ejemplo, en el efecto Casimir, ¿por qué saldría mal ahora? de todos modos obtienes resultados fintos si

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{- 1} = γ

$\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}= \gamma$ y

\sum_{n = 1}^{\infty} n^{s} = ζ (- s)

$\sum_{n=1}^{\infty}n^{s}= \zeta (-s)$ ¿alguien podría ayudarme a publicar mi artículo en alguna revista? no soy famoso asi que rechazan mis papeles asi que necesitaria a alguien que lo publique

Respuestas (1)

Regularización dimensional iterada

No sé la respuesta, pero realmente no puedo ver por qué no funcionaría. Hm. Buena pregunta.
¿Qué haces con los resultados parciales (primero sobre p, luego sobre q?). ¿Agregalos? ¿Multiplicar?
@wsc: sé que no funciona y también que dos diagramas de bucle (por no mencionar más alto) pueden ser muy complicados (por ejemplo, un amigo mío publicó recientemente un resultado sobre algunas correcciones radiativas de dos bucles para $\pi^0 \to e^+ e^-$ ). Pero desafortunadamente eso es todo lo que sé ya que este no es mi campo.
Respuesta a la edición del 19 de julio: por supuesto, puede aplicar su regularización de esa manera. Pero recuerda que no existe una forma canónica de enrutar el impulso a través de un diagrama de Feynman, por lo que tu integral regularizada dependerá de esta elección arbitraria. Esto hace que sea más difícil (pero no imposible) obtener un esquema de renormalización coherente. Es decir, para restar subdivergencias consistentemente para que siempre tenga contratérminos locales. También imagino que su regularización romperá la invariancia de calibre / identidades de Ward, que deberán corregirse con contratérminos finitos.
(Continuación) De todos modos, intente usar su regularización para producir algo así como resultados de propagador de 2 bucles en QED y vea qué sucede. ¿Siempre puedes obtener contratérminos locales? ¿Qué pasa con las identidades de Ward?
Tal vez debería echar un vistazo a las diatribas de Bonneau [1 ] [2 ] sobre la regularización. También algunas de las discusiones en los documentos de renormalización implícita ( por ejemplo ).
¿Por qué usas $\sum_{n=1}^{\infty }n^{s}=\zeta (s)$ en su documento ( vixra.org/pdf/1009.0047v4.pdf ) en lugar de $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}=\zeta (s)$ ?
@Américo: Hay algunos errores tipográficos en su artículo.
fue un error,. en cuanto a los contratérminos, no necesito contratérminos ya que TODAS las integrales se pueden regularizar para obtener una respuesta FINITA en el mismo sentido en que puede obtener respuestas finitas al 'efecto Casimir' mediante la regularización zeta $\zeta(-3)=1/120$ entonces mi método no necesita contratérminos en el mismo sentido que la eularización zeta para series no necesita contratérminos.
@Jose: incluso si no tiene contratérminos (y eso no está claro en su artículo), aún debe asegurarse de que las subdivergencias y las divergencias superpuestas se traten adecuadamente. Esta es la razón por la que lo remití a hep-th/9303044, donde este problema se analiza a fondo para la renormalización diferencial, que tampoco tiene contratérminos.
@Jose: Dicho esto, todavía hay contratérminos, simplemente no son explícitos. Su método intenta modificar el producto de distribuciones mal definido para obtener una distribución bien definida. La diferencia entre los dos es el contratérmino que restaste. Esencialmente, su método es definir un operador R que necesita satisfacer la recursividad de Bogoliubov o la fórmula del bosque de Zimmermann.
pero la regularización zeta ha demostrado respetar toda la física, por ejemplo, en el efecto Casimir, ¿por qué saldría mal ahora? de todos modos obtienes resultados fintos si $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-1}= \gamma$ y $\sum_{n=1}^{\infty}n^{s}= \zeta (-s)$ ¿alguien podría ayudarme a publicar mi artículo en alguna revista? no soy famoso asi que rechazan mis papeles asi que necesitaria a alguien que lo publique

Simón · Answer 1

Simón

Suponiendo que realmente puede hacer las integrales dimensionalmente regularizadas, entonces sí, puede integrar iterativamente. Normalmente, las integrales de dos bucles y bucles superiores son bastante difíciles y se necesitan buenos trucos como convertirlas en ecuaciones diferenciales o usar la parametrización de los propagadores de Mellin-Barnes (o incluso solo las parametrizaciones de Feynman o Schwinger). El nuevo libro estándar sobre la evaluación de integrales de bucles múltiples regularizadas dimensionalmente es Feynman Integral Calculus de Vladimir Smirnov (2006). Vea también las notas de las conferencias Padre e Hijo en Durham hace un par de años.

Las integrales de múltiples bucles no solo son difíciles, sino que el esquema de regularización se vuelve importante una vez que dejas un bucle. Esto se debe a que debe realizar una renormalización / resta consistente de contratérminos. Los esquemas de regularización que modifican los diagramas/integrales y no el Lagrangiano original pueden conducir a un análisis de renormalización desordenado. Los análisis de renormalización más simples están asociados con regularizaciones que cambian el Lagrangiano (o dimensión) combinado con un esquema de resta mínima independiente de la masa.

Insertar términos como $(q^2)^s$ es un tipo de regularización analítica que (como la mayoría de las regularizaciones) es fácil en un bucle, pero complicada en bucles superiores. La regularización analítica fue extensamente examinada por Eugene Speer en los años 60 y 70.

La regularización Zeta solo funciona en un bucle, pero tiene una generalización/extensión llamada Regularización de operadores que fue estudiada por McKeon y sus amigos . De memoria, los cálculos se vuelven un poco complicados, aunque hay un artículo nuevo (más o menos) sobre el uso de la regularización del operador y los diagramas de Feynman que está en mi lista de lectura (el trabajo anterior usó un enfoque funcional más similar al de Schwinger para los cálculos de bucle).

Espero que algo de lo que dije anteriormente sea útil y no esté demasiado mal. ;)

José Javier García

logré obtener resultados finitos para integrales unidimensionales y multidimensionales en mi artículo vixra.org/pdf/1009.0047v4.pdf; sin embargo, rechazan que diga que está INCORRECTO, pero sin dar ninguna prueba, dicen que para un bucle puede ser okey, pero eso no funcionaría en multi-loo`ps, sin embargo, creo que mediante una integral iterada podría aplicar la regularización zeta a múltiples integrales :( pero como no puedo obtener una subvención, no puedo publicar mis trabajos

Simón

@Jose: obtener un resultado finito de una integral divergente es fácil. Hacerlo de manera sensata y obtener resultados físicos consistentes es difícil. Por ejemplo, su método rompe la invariancia de enrutamiento de impulso, no es que eso sea necesariamente fatal. Intente leer Condiciones de consistencia para regularizaciones 4-D y los artículos de Bonneau [1 , 2 ] y la introducción a Breitenlohner, Maison .

Simón

@Jose: Una subvención y un puesto universitario son útiles para publicar artículos, pero no son esenciales. Su trabajo puede contener algunas cosas útiles, pero no es muy claro. Trate de aclarar realmente cuál es su nueva idea y cómo encaja en el ecosistema de otras regularizaciones. ¿Cómo se compara su generalización de la regularización de la función zeta (si es así) con la de McKeon et al? ¿Cómo funciona en los dos bucles?

ϕ^{4}

$\phi^4$ ¿cálculo? ¿Qué hay de la invariancia de calibre?

José Javier García

aquí se explica con algunos ejemplos. No di ninguna renormalización, así que no sé cómo funciona para el

ϕ^{4}

$\phi ^4$ teoría, sin embargo, he comprobado que para integrales finitas los resultados son los mismos ... para bucles múltiples o integrales múltiples podemos hacer una integración iterada sobre una de cada variable para obtener una regularización para ellos, introduciendo el regulador

(q + 1)^{- s}

$(q+1)^{-s}$ podemos hacer la integral convergente

José Javier García

¿Por qué mi método no funcionará? la regularización zeta FUNCIONA bien para series, ¿por qué no para integrales? :(, lo siento, me gustaría saber antes de rendirme, ¿por qué la regularización DImensional funciona pero no la regularización zeta?, ¿por qué no podemos hacer una integración iterada sobre cada variable y luego aplicar mi método de zeta? regularización para integrales?, ¿por qué no se puede aplicar este método para definir el producto de la función delta consigo mismo?, creo que mi método respetaría TODAS las reglas del cálculo y que se puede usar para obtener una corrección finita para las divergencias UV e IR divergencias

Simón

@Jose: Como dije, cualquiera puede obtener un resultado finito de una integral divergente, el truco es hacerlo de una manera bien definida o bien controlada. Así que deja de pensar que tu método funciona y empieza a demostrar que sí. Puede que tengas razón y tu método sea pura genialidad, pero nadie va a creer en tu palabra, tienes que demostrárselo. Reproduzca los resultados básicos de QFT. (En última instancia, sería bueno mostrar que es un esquema de renormalización consistente y satisface la fórmula del bosque de Zimmermann/estructura del álgebra de Hopf).

Simón

@Jose: También normal zeta fn reg del determinante de 1 bucle no introduce parámetros de regularización. Su esquema de múltiples bucles introduce dichos parámetros, y de tal manera que rompe la invariancia de enrutamiento del impulso. Speer consideró regularizaciones analíticas similares : leí su trabajo hace mucho tiempo y de memoria, no es simple hacer un esquema de regularización analítica de múltiples bucles consistente.

Simón

@Jose: En cuanto al producto de delta-fns; toda regularización en QFT es una forma de obtener resultados "sensibles" para productos de distribuciones. El ejemplo clásico de QFT de esto es la renormalización diferencial de Freedman. Vea todas las excelentes referencias en arxiv.org/refs/hep-th/9303044

José Javier García

¿Qué parámetro adicional introduzco? quiero decir que las integrales divergentes se pueden definir en términos de los valores negativos de la función Riemann Zeta

ζ (- k)

$\zeta (-k)$ k=0,1,2,3,.... para el caso de la integral logarítmica usando la expansión de la función Digamma obtengo

\int d x (x + a)^{- 1}

$\int dx (x+a)^{-1}$ = -loga por lo que no se introduce ningún parámetro adicional. Para el caso de integrales múltiples, aplico iterativamente el método que desarrollé para una variable, al final, si todas las integrales son finitas, no sé por qué mi método no funcionará.

Simón

@Jose: Para citar su artículo "Aquí hemos introducido un regulador que depende de un parámetro externo 's'". Con una regularización que usa parámetros, tiene contratérminos que dependen de esos parámetros que deben restarse. Con una regularización/renormalización sin parámetros, debe asegurarse de que el esquema de renormalización trate correctamente los subdiagramas para que se conserven la unitaridad y la localidad.

Simón

@Jose: La renormalización diferencial, como la renormalización de la función zeta, no tiene parámetros de regularización. Cuando se introdujo por primera vez, se demostró que era útil y se reprodujeron los cálculos de bucle antiguos y las funciones beta. En hep-th/9303044 se le dio un terreno más sólido. Lea este documento y comprenda los problemas involucrados. Obtener un resultado finito no es suficiente. Necesitas hacerlo de una manera que preserve la física.

Simón

@Jose: Hasta que haya demostrado que leyó el artículo anterior y que intentó comprender los problemas relacionados con la resta de subdivergencias en los cálculos de bucles múltiples, no responderé a más comentarios. (Por supuesto, su método podría ser el mágico que no necesita preocuparse por tales consideraciones. En cuyo caso, muéstrame reproduciendo un cálculo de dos bucles no trivial)

José Javier García

¿Alguien podría escribirme una integral de 2 bucles para que pueda cargar una regularización para ver cómo funciona mi método y obtiene resultados finitos para integrales divergentes? .. gracias

Simón

@Jose: La integral de dos bucles no trivial más simple es la integral de la puesta del sol del vacío. Debería poder reproducir la ecuación (B.18) en hep-th/0511004 con el

\frac{1}{ϵ^{n}}

$\frac{1}{\epsilon^n}$ términos puestos a cero. También puede establecer todas las masas menos una en cero para facilitarle las cosas. Su resultado debe coincidir con el de ellos hasta un cambio del parámetro de renormalización

\bar{μ}

$\bar\mu$ . También vea el apéndice en mi arXiv:0805.3574 , donde tengo un resultado similar pero sin las subdivergencias restadas (por lo tanto, el

L_{2}

$L_2$ quedan plazos).

José Javier García

tal vez puedo hacer un cambio de variable a COORDENADAS POLARES y luego integrar numéricamente sobre los ángulos, no tengo otra idea :(, si pudiera hacer un cambio a variables polares e integrar sobre los ángulos, entonces todas las integrales dependerían del parámetro 'r' de todos modos gracias por tus comentarios

Simón

@Jose: Tal vez la respuesta (y los documentos) que di en su pregunta sobre el registro zeta sea de más ayuda.

José Javier García

¿Alguien puede ayudarme a publicar mi artículo en una revista respetable D: para que pueda obtener una subvención de una universidad y aplicar mi método de regularización zeta? Gracias