¿Cómo entender la definición de vector y tensor?

Hay dos conceptos matemáticos que se llaman vector. El primero, el vector del espacio vectorial lineal es el "objeto multicomponente" básico del que parece hablar principalmente. La segunda noción de vector es la de un miembro del llamado "paquete tangente" de una variedad. La segunda noción es la que se define de manera equivalente con el vector físico.

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El espacio vectorial lineal matemático

El espacio vectorial lineal matemático simplemente se refiere a cualquier objeto que se puede sumar, multiplicar,... pero puede ser más que un mero número (es decir, tener más componentes). Su vector matemático podría ser, por ejemplo, "recolección de frutas" con la base de una manzana y una naranja. Puedes tener dos manzanas y 3 naranjas y media representadas por un vector$(2,3.5)$. Puedes duplicar tu colección de frutas.$2\cdot(2,3.5)=(4,7)$, o puede agregar su colección de frutas a la colección de frutas de un amigo de$A$manzanas y$O$naranjas$(2,3.5)+(A,O) = (2+A,3.5+O)$. Incluso puede entrar en una "deuda de frutas" al pedir prestadas y comer frutas y tener colecciones de frutas negativas. Este es un espacio vectorial lineal matemático perfecto.

Puede descubrir que, por ejemplo, ciertos tipos de funciones abarcan un espacio vectorial lineal de dimensión infinita con los valores de la función actuando como componentes$V_i \to V_x = V(x)$. Una vez más, incluso puede definir un "producto punto" sumando los componentes infinitos$\vec{V}\cdot \vec{W} = \sum_i V_i W_i \to \int V(x) W(x)$. Etcétera. Esto fue solo para mostrar que el espacio vectorial lineal matemático es una etiqueta para objetos muy generales mucho más allá de la extensión de un vector físico en el espacio 3D.

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El vector físico

Hablamos de un vector en el espacio euclidiano sin distinguir dónde "vive". Cuando dibujamos una imagen de la flecha de, digamos, el vector de velocidad en el espacio 3D, ¿queremos decir que la punta de la flecha realmente toca el punto en el espacio donde termina? Seguramente no, esto solo sería cierto para el vector distancia.

Ahora debemos trazar una línea entre los objetos que llamamos vectores en física. Una clase son los vectores de distancia, que no se transforman en vector a menos que apunten desde el origen, y los vectores "polares", los vectores físicos reales. Estos vectores polares incluyen: velocidad, fuerza, aceleración e intensidad eléctrica. (Los productos vectoriales de vectores "axiales" y polares también son vectores polares).

Sabemos cómo se transforman los puntos en el espacio bajo transformaciones de coordenadas y el vector de velocidad es en realidad una tangente a dos puntos infinitamente cercanos en el espacio. A partir de este hecho, podemos deducir cómo se transforma la velocidad: los puntos se transforman según la transformación de coordenadas y el vector de velocidad se transforma según la diferencia de la transformación en puntos infinitamente cercanos: la matriz jacobiana . Se puede demostrar que esto también es cierto para el vector de aceleración.

Ahora queremos formular ecuaciones para velocidades y aceleraciones; es necesario que estas ecuaciones nos den los mismos resultados sin importar cómo elijamos describir la situación. Por lo tanto, requerimos que todos los demás términos en la ecuación se transformen de la misma manera que la velocidad/aceleración bajo las transformaciones de coordenadas. Probablemente ya conozcas esto como el principio de covarianza . Esta es la única motivación de la definición de "el verdadero vector físico".

Sin embargo, cuando consideramos una nueva cantidad física, no podemos simplemente definirla como covariante con la velocidad; debemos mostrar explícitamente que un objeto se transforma constantemente de esta manera debido a argumentos físicos . Esta es la razón por la que los físicos suelen dar una definición técnica realista de un vector por transformación, porque en muchos casos esta es la formulación más práctica para el cálculo real.

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El tensor físico

Los tensores físicos surgen principalmente en el contexto de la mecánica continua. Digamos que no queremos rastrear la evolución de un punto, sino una deformación infinitamente pequeña de un cubo infinitamente pequeño. Para ello, necesitamos tres vectores que muestren la deformación de cada arista del cubo (9 componentes en total) convirtiéndolo en un "vector de vectores".

Es intuitivo que cada uno de estos 3 vectores de deformación que muestran una deformación infinitamente pequeña se transformará con la matriz jacobiana. Sin embargo, estos vectores no son independientes, digamos que el cubo gira en un ángulo, luego los 3 vectores de deformación se mezclan y, para un cubo infinitamente pequeño, esto se ejecuta nuevamente mediante la matriz jacobiana. Es decir, multiplicamos cada vector del "vector de vectores" por el jacobiano y luego también los mezclamos multiplicando todo el "vector de vectores" por el jacobiano.

En general, el concepto de vectores y tensores está ligado a la linealización o localización diferencial de un determinado hecho físico dando lugar siempre a transformaciones vía la matriz jacobiana. Es una afirmación no trivial de la física clásica que nos dice que a través de la descripción de estas linealizaciones, podemos describir el comportamiento del todo.

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Espacios tangentes y vectores que viven en ellos

Las ideas físicas mencionadas se pueden reconciliar directamente con algunas matemáticas. La forma más intuitiva de ver por qué los vectores no viven en el mismo espacio que los puntos físicos es imaginar una superficie curva con una trayectoria en ella. El vector de velocidad de la trayectoria apunta generalmente "fuera" de la superficie. Sin embargo, todos los vectores de velocidad posibles en un punto dado abarcan solo una superficie bidimensional que es tangente a la superficie curva en ese punto.

Los matemáticos toman esta noción y definen una variedad tangente en cada punto de un espacio como el espacio de vectores tangentes a trayectorias en un punto dado (lo hacen con un ingenioso truco que hace que el término "tangente a una trayectoria" esté bien definido). Se puede demostrar que las tangentes a las trayectorias se transforman una vez más con la matriz jacobiana y abarcan un espacio vectorial lineal matemático en cada punto. Cuando tomamos el conjunto completo de "superficies tangentes" o variedades tangentes, obtenemos algo que llamamos paquete tangente.

Entonces, los vectores físicos en realidad viven en estas variedades tangentes unidas a cada punto en el espacio, no en el espacio mismo. Los tensores también se pueden generalizar muy fácilmente como "vectores de vectores" que viven en "variedades tangentes por variedades tangentes".

La estructura coincidente del espacio plano y la variedad plana tangente conduce a una confusión más o menos inofensiva, pero que hay que resolver una vez que nos movemos en un espacio(-tiempo) curvo.

Permítanme comenzar con una tautología: Los vectores son objetos geométricos que viven en un espacio vectorial XD Hasta ahora no dice nada, pero siempre hemos tenido la imagen mental de un vector como una flecha.

Un poco más en la abstracción (todavía con la idea de una flecha que representa un vector), uno puede encontrar un conjunto de transformaciones de vectores que conserva las propiedades de los vectores, por ejemplo, en$\mathbb{R}^3$las rotaciones mantienen las propiedades de los vectores${}^*$, incluyendo su norma. Expresado matemáticamente${}^\dagger$,

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \mathbf{R}\vec{V}.$$

Entonces, un vector se transforma homogéneamente , es decir, hay una transformación para cada vector, pero no hay términos adicionales.

Ahora, imagina que tienes dos copias de espacios vectoriales... y las pones juntas , por ejemplo, empiezas con$\mathbf{V}$y construya la operación conjunta para obtener esta cosa nueva (déjeme llamarlo)$\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$.

Esta construcción se define de tal manera que si quiero rotar los vectores... necesariamente rotaré ambos espacios (porque son réplicas del primero). Entonces, si llamo$\mathbf{T}\in\mathbf{V}\otimes\mathbf{V}$un elemento en este nuevo espacio vectorial, se transformará (bajo las mismas transformaciones del vector) como

$$\mathbf{T}\to \mathbf{T}^\prime = \left(\mathbf{R}\otimes\mathbf{R}\right)\mathbf{T},$$ donde la primera rotación actúa sobre la primera copia de $\mathbf{V}$y lo mismo para el segundo. Moral: $\mathbf{T}$transforma homogéneamente, pero con dos de las transformaciones esperadas de un vector.

Uno puede pasarse la vida construyendo nuevos espacios vectoriales cada vez más grandes considerando más y más copias de$\mathbf{V}$.

Tensores... ¿Cómo se definen?

Ingredientes:

• Un conjunto de objetos (geométricos).
• Un campo (los números reales o complejos están bien)
• Una operación de "escalado" (multiplicación) entre elementos del campo (números) y nuestros objetos geométricos,$\cdot:\mathbb{K}\times \mathbf{V}\to\mathbf{V}$.
• Un operador de suma entre nuestros objetos geométricos,$+:\mathbf{V}\to\mathbf{V}$.

Hasta ahora, lo anterior define sus vectores (o espacio vectorial). Pero como antes, puede proporcionar un grupo de transformaciones,$G$, que conserva las propiedades deseables de sus vectores,${}^{\dagger\dagger}$y

$$\vec{V}\to \vec{V}^\prime = \Lambda\vec{V},\quad \text{for } \Lambda\in G.$$

Por lo tanto, se dice que nuestros objetos son de hecho vectores bajo el grupo de transformaciones de$G$. Por lo tanto, el grupo de transformación debe incluirse en la lista de ingredientes.

• Un grupo de transformaciones.$G$.

TENSORES

Un tensor (por extensión de la construcción anterior) es un objeto geométrico que bajo el grupo $G$se transforma homogéneamente,

$$\mathbf{T} \to \mathbf{T}^\prime = \Lambda\;\cdots\Lambda \mathbf{T}.$$

El número de elementos de transformación define el rango del tensor.

NOTA 1: ¡Un vector es un tensor de rango uno!

NOTA 2: Dado que los tensores se definen en un grupo de transformaciones, un tensor en un grupo podría no ser un tensor (o al menos no el mismo tipo de tensor) en otro grupo.

¿Necesitamos todos los sistemas de coordenadas y transformaciones posibles para definir un espacio vectorial o solo algunos de ellos?

De todo lo anterior, puede concluir que necesita UN sistema de coordenadas y el grupo de transformaciones. Inmediatamente se considera cualquier otro sistema de coordenadas relacionado con el anterior.

( Tenga en cuenta que no entendí su última duda, ¡así que termino aquí!)

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${}^*$La transformación de coordenadas es otro grupo válido de transformaciones.

${}^\dagger$ $\mathbf{R}$representa la transformación de rotación.

${}^{\dagger\dagger}$El conjunto de transformaciones no es necesariamente una rotación.

Matemáticamente, la idea de un vector es anterior. Podría definir objetos que cumplan con todas las propiedades de un espacio vectorial sin referirse a componentes ni nada.

De la noción de un vector se puede derivar que existe un número máximo de vectores linealmente independientes y cualquier vector en su espacio vectorial se puede representar únicamente por una combinación lineal de estos vectores base . Luego representa el vector como la matriz de coeficientes de esta combinación lineal.

Dado que estos componentes codifican un objeto más abstracto, de hecho tienen que cambiar de acuerdo con algunas reglas si elige un conjunto diferente de vectores base .

En las escuelas y en las clases de física introductoria, por lo general se saltan los pasos más abstractos para llegar a las conclusiones anteriores. Uno simplemente define los vectores como un conjunto de coeficientes en euclidiana$R^3$espacio, que se comportan de una manera específica bajo rotaciones. Esto resulta ser equivalente a una definición más rigurosa en las aplicaciones más sencillas y tiene la ventaja de que es muy identificable: en realidad puedes imaginar el vector y su comportamiento bajo un cambio de base.

Además, este enfoque no requiere mucho pensamiento abstracto y ya puede resolver la mayoría de los problemas de la mecánica clásica con esto. Así, en las escuelas o clases de ingeniería, apenas se necesita un refinamiento del concepto. Los físicos aprenderán la forma más abstracta de trabajar con vectores de todos modos, tan pronto como comiencen a aprender sobre mecánica cuántica.

Entonces, en resumen, el enfoque matemático es definir vectores de manera abstracta y luego derivar todas las propiedades que conocemos, mientras que el enfoque físico es definir un vector a través de sus propiedades y aprender sobre otras relaciones solo una vez que realmente necesite expandir el marco.

¿Cómo definir el concepto de base y transformación de coordenadas sin completar la noción misma de vector?

No podemos. Las bases son a los vectores como$0$y$1$son a los números naturales (como en los axiomas de Peanos ). podemos empezar con$0$, o$1$, o incluso$376$, pero necesitamos tener algo para empezar.
Sin los vectores base, no podemos definir un espacio vectorial (y, por lo tanto, una transformación de coordenadas) y, por lo tanto, no podemos definir ningún otro vector o tensor. Revisa esta pregunta y responde .

¿Estas (bases) representan marcos de referencia?

Sí, las bases representan marcos de referencia.

¿Necesitamos todos los sistemas de coordenadas y transformaciones posibles para definir un espacio vectorial o solo algunos de ellos?

Para definir y medir un escalar o un vector (o un tensor), necesitamos al menos un sistema de coordenadas, y eso es suficiente.

Un vector/tensor es una asignación de una matriz de números a cada base, y estas matrices se relacionan entre sí mediante transformaciones de coordenadas.

Si bien no es una forma formal de definir vector/tensor, esto es correcto. Un vector o un tensor es una colección (matriz) de bases y, si bien esta colección es diferente en diferentes sistemas de coordenadas, para el mismo vector o tensor, estas colecciones están relacionadas entre sí por transformaciones de coordenadas.

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El siguiente es un intento de aclarar el último punto anterior y la necesidad detrás de las transformaciones de coordenadas , comenzando con el ejemplo de un escalar.

Si mido un$6m$palo largo con mi regla (base) que es$2m$de largo, mi medida será$3$unidades.
Otra opción de base (en otro sistema) puede ser una$1m$regla larga, y entonces la longitud del poste será$6$unidades.

La longitud real del poste, la invariante escalar , sigue siendo la misma, mientras que su medida en diferentes marcos (usando diferentes bases) difiere. Y podemos tener reglas de transformación entre los diferentes marcos, de modo que conociendo la medida en un marco, podemos calcularla en otro sin tener que hacer la medición. También tenga en cuenta que la longitud del poste en cualquier marco es una colección de sus bases (definidas por la suma escalar) .

De manera similar, para los vectores, no tenemos$1$pero$3$bases Y el vector es una colección de estos$3$bases , sin embargo, esta vez, no definidas por escalar sino por suma escalar y vectorial . Y aunque estas bases pueden diferir entre diferentes sistemas de coordenadas, el vector permanece invariable . Tenemos reglas de transformación entre los diferentes sistemas de coordenadas.

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Las tres bases en un espacio vectorial nos dan$3$componentes para cualquier vector. En el caso de los vectores, esta colección de 3 bases se puede visualizar como una sola entidad aplicando la suma de vectores. Pero el$3$Las bases también se pueden combinar entre sí en cualquier número de formas dando más de$3$componentes, con estos componentes que no se adhieren a las reglas de la suma de vectores. Además, podemos tener más de$3$bases Así es como obtenemos los tensores.

Siempre que estemos obligados a combinar bases solo de acuerdo con la suma vectorial o escalar, cualquier número de bases nos dará un vector, de lo contrario, un tensor.

La entidad denotada por la combinación de las bases de diferentes maneras - el tensor - permanece invariante , y esta restricción nos da las reglas de transformación entre diferentes sistemas de coordenadas (que tienen diferentes bases).

Finalmente, cualquier combinación (o colección) de bases que no siga una suma escalar o vectorial no se puede visualizar y, por lo tanto, generalmente no podemos percibir los tensores como una sola entidad física coherente. Pero, tanto desde el punto de vista de la física como de las matemáticas, son una sola entidad tanto como los escalares y los vectores.