Transformación pasiva, pseudo vectores y producto vectorial

Question

Transformación pasiva, pseudo vectores y producto vectorial

Cachemira

Consideremos la transformación pasiva, es decir, la inversión solo de los vectores base (ejes de coordenadas) y todos los demás vectores que permanecen iguales y verifiquemos si el producto vectorial es un pseudo vector.

Después de la inversión usando una transformación pasiva un vector $a$ restos $a$ , $b$ restos $b$ , $a \times b$ restos $a \times b$ y cualquier otro vector permanece igual. Entonces en este caso $a \times b$ se comporta como cualquier otro vector, sigue siendo el mismo geométricamente. ¿Dónde está el 'pseudo-vector' en este caso?

¿Tenemos que usar una regla de tornillo para zurdos en el sistema de coordenadas invertidas para encontrar el producto vectorial? ¿Por qué deberíamos cambiar nuestra regla sobre cómo encontrar el producto cruz?

Esto es muy confuso para mí. Alguien puede ayudarme por favor.

Respuestas (3)

Transformación pasiva, pseudo vectores y producto vectorial

j murray · Answer 1

El signo menos adicional que distingue el comportamiento de transformación de un pseudovector del de un vector surge en dos situaciones diferentes: una transformación activa que envía un vector $A\rightarrow -A$ , y una transformación pasiva de inversión de orientación .

El producto cruz de dos vectores $A$ y $B$ generalmente se define por componentes como

\begin{matrix} (⋆) & C_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} A_{j} B_{k} \end{matrix}

$C_i = \sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk} A_j B_k \tag{$\star$}$ En otras palabras, los componentes de

C

$C$ en alguna base deben calcularse a partir de los componentes

A

$A$ y

B

$B$ en esa base a través de

(⋆)

$(\star)$ . Como resultado, si hacemos una transformación pasiva a una nueva base

({\hat{x}}^{'}, {\hat{y}}^{'}, {\hat{z}}^{'})

$(\hat x',\hat y',\hat z')$ , los componentes de

A \times B

$A\times B$ en la nueva base están dadas por

\begin{matrix} (⋆ ⋆) & {\bar{C}}_{i} = \sum_{j, k = 1}^{3} ϵ_{i j k} {\bar{A}}^{i} {\bar{B}}^{j} \end{matrix}

$\overline C_i = \sum_{j,k=1}^3\epsilon_{ijk} \overline A^i \overline B^j\tag{$\star\star$}$

donde la línea denota los componentes en la nueva base. No es difícil demostrar que bajo una transformación $T$ que transforma las componentes de los vectores ordinarios como $A^i\mapsto \overline A^i = T^i_{\ \ j} A^j$ , los componentes de $C$ transformar como $C^i \mapsto \overline C^i =\mathrm{det}(T) T^i_{\ \ j} C^j$ . Este factor adicional de $\mathrm{det}(T)$ significa que $C$ recoge un signo menos adicional en las transformaciones de inversión de orientación.

La verdadera naturaleza de los pseudovectores puede entenderse construyendo el álgebra exterior sobre $\mathbb R^3$ , denotado $\bigwedge(\mathbb R^3)$ . Formalmente, la idea es que tomemos nuestra base $\hat x,\hat y, \hat z$ y definir los llamados bivectores $\hat x \wedge \hat y, \hat y \wedge \hat z$ , y $\hat z \wedge \hat x$ , dónde $\wedge$ se entiende que es antisimétrico, por ejemplo $\hat x \wedge \hat y = - \hat y \wedge \hat x$ y $\hat x \wedge \hat x = 0$ . Además introducimos el trivector $\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$ .

El espacio vectorial de combinaciones lineales de estos objetos es el álgebra exterior $\bigwedge(\mathbb R^3)$ . Incluye:

\begin{matrix} (escalares) & a \end{matrix}

$a\tag{scalars}$

\begin{matrix} (vectores) & a \hat{X} + b \hat{y} + C \hat{z} \end{matrix}

$a\hat x + b \hat y + c \hat z \tag{vectors}$

\begin{matrix} (bivectores) & a (\hat{X} \land \hat{y}) + b (\hat{y} \land \hat{z}) + C (\hat{z} \land \hat{X}) \end{matrix}

$a (\hat x\wedge\hat y) + b(\hat y \wedge \hat z) + c (\hat z \wedge \hat x) \tag{bivectors}$

\begin{matrix} (trivectores) & a (\hat{X} \land \hat{y} \land \hat{z}) \end{matrix}

$a(\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z) \tag{trivectors}$

Para estandarizar el lenguaje y permitir una generalización más sencilla, llamamos a estos objetos $k$ -cuchillas. Los escalares son $0$ -cuchillas, los vectores son $1$ -cuchillas, bivectores son $2$ -cuchillas y trivectores son $3$ -cuchillas.

Hay dos características importantes a tener en cuenta aquí. Primero, porque $\mathbb R^3$ es un espacio vectorial tridimensional, solo hay uno linealmente independiente $3$ -cuchilla y no hay distintos de cero $k$ -cuchillas para $k>3$ ; la propiedad de antisimetría de $\wedge$ significa que si repetimos un vector (por ejemplo $\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z \wedge \hat x$ ) entonces el resultado debe ser cero.

La segunda cosa a tener en cuenta es que hay el mismo número de escalares que $3$ -cuchillas, y el mismo número de $1$ -cuchillas como $2$ -cuchillas. para un general $n$ -espacios vectoriales dimensionales, hay el mismo número de $k$ -cuchillas como $(n-k)$ -cuchillas - a saber ${n\choose{k}}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ de ellos.

Para $\bigwedge(\mathbb R^3)$ , esto sugiere que podemos definir un emparejamiento entre $k$ -cuchillas y $(3-k)$ -cuchillas, pero para hacerlo necesitamos una pieza más de información - necesitamos elegir un especial $3$ -cuchilla $\omega$ que se construye juntando nuestros vectores base ortonormales. La elección estándar es $\omega := \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$ . Una vez que tenemos esto, definimos el dual de Hodge $\star$ de por ejemplo $\hat x$ a través de

\hat{X} \land (⋆ \hat{X}) = ω ⟹ ⋆ \hat{X} = \hat{y} \land \hat{z}

$\hat x \wedge (\star \hat x) = \omega \implies \star \hat x = \hat y \wedge \hat z$ Similarmente,

⋆ 1 = \hat{X} \land \hat{y} \land \hat{z}

$\star 1 = \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$

⋆ \hat{X} = \hat{y} \land \hat{z} ⋆ \hat{y} = \hat{z} \land \hat{X} ⋆ \hat{z} = \hat{X} \land \hat{y}

$\star \hat x = \hat y\wedge\hat z \qquad \star \hat y = \hat z \wedge \hat x \qquad \star \hat z = \hat x \wedge \hat y$

⋆ (\hat{y} \land \hat{z}) = \hat{X} ⋆ (\hat{z} \land \hat{X}) = \hat{y} ⋆ (\hat{X} \land \hat{y}) = \hat{z}

$\star (\hat y\wedge \hat z) = \hat x \qquad \star (\hat z \wedge \hat x) = \hat y \qquad \star (\hat x \wedge \hat y) = \hat z$

⋆ (\hat{X} \land \hat{y} \land \hat{z}) = 1

$\star (\hat x \wedge \hat y \wedge \hat z) = 1$

Esto se extiende a todos los elementos de $\bigwedge(\mathbb R^3)$ por linealidad.

Nota importante: la orientación $\omega$ debe entenderse como parte de la definición de la base, es decir, de su orden; $(\hat x,\hat y,\hat z)$ es diferente de $(\hat y,\hat x,\hat z)$ a pesar de usar los mismos tres vectores unitarios. Como resultado, cuando cambiamos de base $(\hat x,\hat y,\hat z)\rightarrow (\hat x',\hat y',\hat z')$ , se entiende que también cambiamos la orientación $\omega = \hat x \wedge\hat y \wedge \hat z \rightarrow \hat x' \wedge \hat y' \wedge \hat z' = \omega'$ .

Habiendo definido toda esta maquinaria, podemos entender que el producto cruz de dos vectores es el dual de Hodge de su producto cuña, es decir

A \times B := ⋆ (A \land B)

$A \times B := \star (A\wedge B)$ Por ejemplo, deja

A = 3 \hat{x} + \hat{z}

$A = 3\hat x + \hat z$ y

B = \hat{x} + \hat{y}

$B = \hat x + \hat y$ . Su producto de cuña es

A \land B = (3 \hat{X} + \hat{z}) \land (\hat{X} + \hat{y}) = 3 \underset{= 0}{\underset{⏟}{\hat{X} \land \hat{X}}} + 3 \hat{X} \land \hat{y} + \hat{z} \land \hat{X} + \hat{z} \land \hat{y}

$A\wedge B = (3\hat x + \hat z)\wedge(\hat x + \hat y) = 3\underbrace{\hat x \wedge \hat x}_{=0} + 3\hat x \wedge \hat y + \hat z \wedge \hat x + \hat z \wedge \hat y$

= 3 \hat{X} \land \hat{y} + \hat{z} \land \hat{X} - \hat{y} \land \hat{z}

$= 3\hat x \wedge \hat y + \hat z \wedge \hat x \color{red}{-} \hat y \wedge \hat z$ Tomando el hodge dual usando los emparejamientos definidos anteriormente, se obtiene

⋆ (A \land B) = 3 ⋆ (\hat{X} \land \hat{y}) + ⋆ (\hat{z} \land \hat{X}) - ⋆ (\hat{y} \land \hat{z}) = 3 \hat{z} + \hat{y} - \hat{X}

$\star (A\wedge B) = 3\star(\hat x \wedge \hat y) + \star(\hat z \wedge \hat x) - \star(\hat y \wedge \hat z) = 3 \hat z + \hat y - \hat x$ que de hecho es el producto cruz

A \times B

$A\times B$ como se esperaba.

Esto nos da la capacidad de comprender el producto cruzado a un nivel mucho más profundo. Es fácil ver que bajo la inversión $(\hat x,\hat y,\hat z)\rightarrow (\hat x',\hat y',\hat z')=(-\hat x,-\hat y, - \hat z)$ , los componentes de un vector (1 hoja) $A$ cambiar su signo, pero los componentes de la 2 cuchillas $A\wedge B$ no lo hagas ; esto se debe a que, por ejemplo,

\hat{X} \land \hat{y} \to {\hat{X}}^{'} \land {\hat{y}}^{'} = (- \hat{X}) \land (- \hat{y}) = \hat{X} \land \hat{y}

$\hat x \wedge \hat y \rightarrow \hat x' \wedge \hat y' = (-\hat x)\wedge(-\hat y) = \hat x \wedge \hat y$ Heredar una nueva orientación

ω^{'} = {\hat{x}}^{'} \land {\hat{y}}^{'} \land {\hat{z}}^{'}

$\omega'=\hat x'\wedge\hat y'\wedge \hat z'$ , encontramos que los componentes de

A \times B := ⋆ (A \land B)

$A\times B := \star(A\wedge B)$ son invariantes y, por lo tanto, difieren del comportamiento de transformación de los componentes de un vector por un cambio de signo.

Dijiste "pero los componentes de A × B no lo son, es en este sentido que es un pseudovector", mi primera duda es cuando hemos hecho la transformación pasiva, ¿la regla del producto cruzado cambia de alguna manera? ¿Se aplica la regla del tornillo de la mano derecha cuando escribe "pero los componentes de A × B no lo son; es en este sentido que es un pseudovector"?
Por la regla del producto cruz me refiero a la regla del tornillo de la mano derecha, en la que la dirección de $A\times B$ se da al pasar de A a B y el pulgar da la dirección de $A\times B$ . Entonces, como primer paso, me gustaría tener una idea de que cuando aplico la transformación pasiva y luego quiero encontrar $A\times B$ ¿Uso la regla mencionada anteriormente? Si pudieras aclararlo, entonces estudiaré el bivector que escribiste cuidadosamente.
Si la regla del tornillo es la misma, entonces el vector $A\times B$ es lo mismo en base invertida , pero las componentes estarán invertidas. Pero eso le ha pasado a todos los vectores, incluso a un vector de desplazamiento. $r$ . entonces porque es $A\times B$ un pseudo vector si se comporta como cualquier otro vector?
El emparejamiento mencionado es una dualidad. Los vectores son duales a los bivectores en $\mathbb{R}^3$ , al igual que los escalares son duales al trivector. ¿Es esto correcto?
@ J.Murray: esta es una respuesta increíble. La parte de cómo $\omega$ define la practicidad del espacio es algo que no había encontrado antes y tiene mucho sentido para mí. Para mí siempre hubo alguna salsa mágica detrás de la $\times$ funcionamiento que oculta un sistema LH o RH. Su respuesta expone esta salsa secreta a la intemperie.
@Kashmiri He editado mi respuesta para abordar su pregunta. Mis disculpas, momentáneamente olvidé que querías considerar solo transformaciones pasivas. Cuando realizamos un cambio de base pasivo de inversión de orientación, también cambiamos la orientación del espacio, es decir, la regla de la mano derecha se convierte en una regla de la mano izquierda. Cuando realizamos una transformación activa, la orientación del espacio sigue siendo la misma.
@JAlex ¡Gracias por tus amables palabras! También puede disfrutar leyendo sobre álgebras geométricas , que amplía aún más estas ideas y proporciona un marco muy unificado que es relevante para todo tipo de aplicaciones de la física.
@J.Murray, no es necesario que te disculpes, agradezco que te hayas tomado tanto tiempo para escribir una respuesta tan detallada :). Así que en transformación pasiva para encontrar $A\times B$ tenemos que usar la regla del tornillo de la mano izquierda? ¿Es eso correcto?
@Kashmiri Sí, así es. He editado sustancialmente mi respuesta para aclarar este punto; no dude en informarme si sigue siendo confuso.

granjero · Answer 2

. . . inversión sólo de los vectores base (ejes de coordenadas) . . .

$\hat x \to \hat x' = -\hat x,\, \hat y \to \hat y' = -\hat y$ y $\hat z \to \hat z' = -\hat z,$

Gire los nuevos ejes de coordenadas por $\pi$ sobre el eje z.

Ahora $\hat x' = \hat x,\, \hat y' = \hat y$ pero $\hat z' = -\hat z$ por lo que los nuevos ejes de coordenadas son zurdos.

Si quieres $a\,\hat x' \times b\,\hat y'$ A igual $ab\,\hat z'$ entonces debes usar la mano izquierda.

Por convención, la mayoría utiliza el sistema de mano derecha, aunque hay algunos que no, por ejemplo, ¿ por qué DirectX usa un sistema de coordenadas de mano izquierda?

Gracias. Dijiste "Si quieres $a\,\hat x' \times b\,\hat y'$ A igual $ab\,\hat z$ " querías decir $ab\,\hat z'$ ?
No, quise decir $\hat z$ . Lo que estaba señalando es que si usa el sistema de coordenadas de la mano izquierda pero quiere que la dirección resultante de un producto cruzado sea la misma dirección que cuando usa las coordenadas de la mano derecha, necesita usar la mano izquierda.
Creo que estoy malinterpretando algo, por favor tengan paciencia conmigo. Si aplico la regla de la mano derecha en $x'$ y $y'$ Lo tendré $z$ . No necesito la regla de la mano izquierda, aparece si aplico la regla de la mano izquierda cruzando $x'$ y $y'$ Lo tendré $z'$ no $z$ .
@Kashmiri Lo siento, mi comentario fue incorrecto y me señaló mi error con su comentario. Ahora he hecho la corrección.

eli · Answer 3

con

\vec{a} = a_{1} {\hat{gramo}}_{1} + a_{2} {\hat{gramo}}_{2} + a_{3} {\hat{gramo}}_{3} \vec{b} = b_{1} {\hat{gramo}}_{1} + b_{2} {\hat{gramo}}_{2} + b_{3} {\hat{gramo}}_{3}

$\vec a=a_1\hat g_1+a_2\hat g_2+a_3\,\hat g_3\\ \vec b=b_1\hat g_1+b_2\hat g_2+b_3\hat g_3$

dónde $~a_i~,b_i~$ son los componentes de los vectores y $~\hat g_i~$ son los vectores base

con $~\hat g_i\cdot\hat g_j=1~,i=j~$ y $~\hat g_i\cdot\hat g_j=0~,i\ne j$

el producto cruz

\vec{C} = \vec{a} \times \vec{b}

$\vec c=\vec a\times \vec b$

ahora $~\hat g_i\mapsto -\hat g_i~$

\vec{a} \mapsto - a_{1} {\hat{gramo}}_{1} - a_{2} {\hat{gramo}}_{2} - a_{3} {\hat{gramo}}_{3} = - \vec{a} \vec{b} \mapsto - b_{1} {\hat{gramo}}_{1} - b_{2} {\hat{gramo}}_{2} - b_{3} {\hat{gramo}}_{3} = - \vec{b}

$\vec a\mapsto -a_1\hat g_1-a_2\hat g_2-a_3\hat g_3=-\vec a\\ \vec b\mapsto -b_1\hat g_1-b_2\hat g_2-b_3\hat g_3=-\vec b$

el producto cruz

\vec{C} \mapsto - \vec{a} \times (- \vec{b}) = \vec{a} \times \vec{b}

$\vec c\mapsto -\vec a\times (-\vec b)=\vec a\times \vec b$

los ejes de coordenadas son para zurdos.

{\hat{gramo}}_{1} \times {\hat{gramo}}_{3} = {\hat{gramo}}_{2} {\hat{gramo}}_{2} \times {\hat{gramo}}_{1} = {\hat{gramo}}_{3} {\hat{gramo}}_{3} \times {\hat{gramo}}_{2} = {\hat{gramo}}_{1}

$\hat g_1\times \hat g_3=\hat g_2\\ \hat g_2\times \hat g_1=\hat g_3\\ \hat g_3\times \hat g_2=\hat g_1$

los ejes de coordenadas son diestros.

{\hat{gramo}}_{1} \times {\hat{gramo}}_{2} = {\hat{gramo}}_{3} {\hat{gramo}}_{2} \times {\hat{gramo}}_{3} = {\hat{gramo}}_{1} {\hat{gramo}}_{3} \times {\hat{gramo}}_{1} = {\hat{gramo}}_{2}

$\hat g_1\times \hat g_2=\hat g_3\\ \hat g_2\times \hat g_3=\hat g_1\\ \hat g_3\times \hat g_1=\hat g_2$

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