¿Las tablas de verdad para los conectores lógicos se deducen de los axiomas en la lógica proposicional?

(Voy a recopilar muchos buenos puntos de los comentarios).

Supongo que la confusión proviene de la frase "la definición de conectores lógicos". Parece que crees que necesitamos definir conectores lógicos para hacer matemáticas. Piensa qué tipo de definición podría ser. Las matemáticas se basan en la lógica. Si existiera la definición matemática de conectivos lógicos, sería un círculo vicioso.

Ahora considero una definición práctica de conectores lógicos. Una definición práctica debería ayudar a determinar si un enunciado matemático dado es verdadero o falso. Podemos calcular el valor de verdad de cualquier fórmula en lógica proposicional mediante tablas de verdad. Si el valor de verdad es verdadero, la fórmula es verdadera. Si el valor de verdad es falso, la fórmula es falsa. Por lo tanto, las tablas de verdad son prácticas para la lógica proposicional.

Desafortunadamente, la lógica proposicional es demasiado pobre para describir cualquier enunciado matemático interesante. El mejor intento de usar tablas de verdad para cuantificadores es interpretar los cuantificadores como conectores lógicos que abarcan todo el dominio del discurso. Por ejemplo,$\forall x P(x)$cuando el dominio del discurso son los números naturales significa$P(0)\land P(1)\land P(2)\dots$y así sucesivamente para todos los números naturales. Como el conjunto de todos los números naturales es infinito, no podemos calcular el valor de verdad de$\forall x P(x)$. Las tablas de verdad no son prácticas para una lógica con cuantificadores, por ejemplo, cualquier lógica de primer orden.

Una cita del libro de texto "Introducción a la lógica matemática" de Elliott Mendelson (2015, 6.ª ed., Capítulo 2.3 "Teorías de primer orden") que profundiza en las dificultades del enfoque de cálculo de la verdad.

En el caso del cálculo proposicional, el método de las tablas de verdad proporciona una prueba eficaz de si una determinada forma de enunciado es una tautología. Sin embargo, no parece haber ningún proceso efectivo para determinar si un wf dado es lógicamente válido, ya que, en general, uno tiene que verificar la verdad de un wf para interpretaciones con dominios finitos o infinitos arbitrariamente grandes. De hecho, veremos más adelante que, de acuerdo con una definición plausible de "eficaz", en realidad se puede demostrar que no existe una forma eficaz de probar la validez lógica. El método axiomático, que era un lujo en el estudio del cálculo proposicional, parece ser una necesidad en el estudio de wfs que involucran cuantificadores y, por lo tanto, nos dirigimos ahora a la consideración de las teorías de primer orden.

Podemos salvar el enfoque del cálculo si razonamos sobre conectivos lógicos mediante tablas de verdad y sobre cuantificadores por otros medios. Supongo que esto es posible en el razonamiento informal. Sin embargo, en el razonamiento formal se utilizan sistemas de inferencia. Si un enunciado se prueba usando un sistema de inferencia que se cree que es correcto, entonces el enunciado es verdadero. Esta es la respuesta a la pregunta de por qué se necesitan axiomas: son una forma práctica de determinar si un enunciado matemático dado es verdadero o falso. El sistema de inferencia que describiste pertenece a la clase denominada sistemas de Hilbert. En realidad, los sistemas de Hilbert no son muy prácticos: las demostraciones son innecesariamente largas. La deducción natural es mejor.

Como se inventaron muchos sistemas de inferencia durante la formalización de las matemáticas, una pregunta natural es cuál es mejor. Para decidirlo, necesitamos conocer sus propiedades y compararlas. Esto se hace en la lógica matemática teórica. Para estudiar los sistemas de inferencia, se introdujeron definiciones formales de una fórmula lógica bien formada y una prueba. Los conectores lógicos son solo construcciones sintácticas, símbolos. Luego se introdujo la noción de semántica (interpretación) de conectores lógicos y cuantificadores. Las tablas de verdad son parte de la semántica. La semántica ayuda a probar declaraciones acerca de la demostrabilidad. La semántica es una definición teórica de los conectores lógicos. Esta es la respuesta a la pregunta de por qué se necesitan tablas de verdad.

Nótese que todo el estudio de los sistemas de inferencia va dentro de un sistema de inferencia perteneciente al metanivel. Este sistema de inferencia generalmente se deja implícito y el razonamiento en él está escrito en un lenguaje natural. Los sistemas de inferencia que se estudian pertenecen a un nivel de objeto. Estos 2 niveles son una propiedad característica de la lógica matemática teórica.

Una vista sobre los conectores lógicos que desea adoptar depende de su objetivo. Si le interesan las demostraciones prácticas, el significado de los conectores lógicos se define mediante sistemas de inferencia. La semántica es útil para las investigaciones teóricas, pero no es práctica.

En primer lugar, definamos un axioma.

Axioma: cualquier fórmula bien formada (o expresión significativa o forma de declaración) que utiliza solo los conectores y variables para el sistema en cuestión.

En realidad, no hizo referencia a ninguna fórmula bien formada (¡compruebe la definición con cuidado!), Pero eso probablemente podría corregirse y no cambia la pregunta aquí.

Ahora supongamos que podemos deducir las tablas de verdad de cualquier conjunto de axiomas para la lógica proposicional. Así, comenzaríamos con los axiomas y las tablas de verdad terminarán como teoremas del sistema formal. Esto no tiene ningún sentido, ya que los axiomas bajo reglas de inferencia como la que mencionaste solo producen fórmulas mejor formadas. Funciona de esta manera, porque cada subfórmula (cualquier fórmula dentro de la fórmula bien formada que sea más corta que la fórmula bien formada) de una fórmula bien formada es una fórmula bien formada y reglas válidas de inferencia, al menos todo eso He visto, producir una subfórmula de una fórmula bien formada o alguna combinación de subfórmulas.

Entonces, supongo que podría haber tenido la intención de preguntar si existe algún tipo de forma metalógica de inferir las tablas de verdad a partir del conjunto de axiomas (una vez convertido en fórmulas bien formadas) al que hizo referencia. Esto implicaría la unicidad de las tablas de verdad como interpretación de los axiomas. Sin embargo, existe esta siguiente interpretación de los conectivos atribuidos a Dmitri Bochvar, donde 'T' indica un valor de verdad de verdadero, 'N' un tercer valor de verdad y 'F' falsedad.

$\lnot$T = F

$\lnot$norte = T

$\lnot$F = T

(T -> T) = T

(T -> N) = F

(V -> F) = F

(N -> T) = T

(N -> N) = T

(N -> F) = T

(F -> T) = T

(F -> N) = T

(F -> F) = T

En otras palabras, si realiza los cálculos con lo anterior, verá que los axiomas del axioma de Lukasiewicz al que se hizo referencia anteriormente se mantienen todos y también la regla de separación. Y no siguen otras tautologías nuevas.

Entonces, no, los axiomas de la lógica proposicional (y las reglas de inferencia) no implican necesariamente las tablas de verdad. Funcionan de manera consistente con las tablas de verdad de dos valores, pero existen otros conjuntos de tablas de verdad que las satisfacen de manera similar a como las tablas de verdad de dos valores satisfacen los axiomas y las reglas de inferencia.

La respuesta simple a la pregunta en el encabezado es sí.

Cuando lees las fuentes originales, te das cuenta de que no hubo distinción entre "$=$" y "$\leftrightarrow$" en los primeros escritos de Frege y Russell. Mientras que Frege claramente había estado luchando con un nuevo cálculo lógico basado en el concepto de función, Russell y Whitehead habían estado trabajando en sistemas axiomáticos.

He visto atribuciones tanto a Post como a Wittgenstein con respecto a la identificación de las tablas de verdad y la lógica proposicional como un subsistema autónomo de lo que se había presentado en "Principia Mathematica". Entonces, las tablas de verdad se habían deducido de la axiomatización de la lógica clásica. Pero no sé a quién hay que atribuir prioridad.

Tus preguntas posteriores son más difíciles. La respuesta depende de su filosofía de las matemáticas.

La innovación de Frege había sido la de llevar el concepto de función a la lógica. Las tablas de verdad reflejan una vista "extensional" de una función que tiene un dominio. Es por esto que uno se refiere a los conectores asociados con las tablas de verdad clásicas con el calificativo "material". "Lo verdadero" y "Lo falso" de Frege están destinados a ser vistos como objetos existentes.

Pero, debido a que la innovación implica el concepto de función, se puede axiomatizar la conectividad lógica con una visión "intensional". Permítanme enfatizar la conectividad lógica porque no estoy hablando de polinomios booleanos.

Permítanme denotar el material bicondicional por$LEQ$, y, considere un axioma dado por

Las tablas de verdad para$OR$y$NAND$son

Si ahora se realiza una aplicación por componentes de$XOR$,

se obtiene la tabla de verdad para$LEQ$,

Por supuesto, para implementar esto, uno debe nombrar las dieciséis tablas de verdad.

Ahora es posible entender el sistema como una estructura aplicativa. Esto requiere que un conjunto de paréntesis se interprete utilizando$NOR$o$NAND$. Es decir, una cadena de nombres,

evalúa según

De manera similar, se puede formular un magma tratando$NOR$y$NAND$como un producto por la izquierda y un producto por la derecha si se establece una convención para las expresiones de la forma$(A)$. Mi opinión es que debe interpretarse como una negación unaria.

La razón por la que todo esto depende de la filosofía de las matemáticas de uno radica en la cuestión de qué podría garantizar el estudio de este sistema dentro de los fundamentos. Suponga que nombra las dieciséis tablas de verdad. Además, suponga que estudia las negaciones y las conjugaciones de Morgan como involuciones en este sistema. Esto dividirá el sistema con un patrón específico, y ese patrón se corresponde con la geometría afín finita en dieciséis puntos. Su plano proyectivo asociado tiene veintiún puntos. Es bien conocido en la teoría del diseño que el plano proyectivo de 21 puntos es único salvo el isomorfismo. Pero, los fundamentos modernos surgen casi exclusivamente de la aritmetización de las matemáticas. Entonces, esta perspectiva geométrica está reñida con la visión recibida.

Al final de su carrera, Frege se retractó de su logicismo en un artículo titulado "Números y aritmética". Expresa la creencia de que todas las matemáticas surgen de una base geométrica. Concluye este trabajo con la observación,

"Contar, que surgió psicológicamente de las exigencias de la vida práctica, ha descarriado a los sabios".

En otras palabras, hay algunas preguntas en los fundamentos de las matemáticas que solo puedes responder por ti mismo.

@Doug Spoonwood

El hecho de que la descripción moderna de la distinción sintaxis/semántica cree un problema del huevo y la gallina no altera el hecho de la realidad histórica de que las axiomatizaciones precedieron a la descripción de las tablas de verdad. Además, la expresión "lógica proposicional" generalmente no se refiere a interpretaciones no clásicas cuando no se especifica otro contexto. Sin una buena razón, está leyendo demasiado en la pregunta o muy poco en el significado de "simple".

Los axiomas del cálculo proposicional clásico se cumplen en cualquier álgebra booleana. Así que podría haber 4, 8, 16,... valores de "verdad".