Helmholtz - Teorema integral de Kirchhoff

Para no distraer la atención de la grandeza del trabajo que estas personas hicieron hace mucho tiempo o disminuir de alguna manera el valor del libro de Goodman sobre este tema, se puede usar un enfoque diferente para tratar la difracción, que es igualmente riguroso y, en mi opinión, mucho más comprensible. . No necesita ninguna cinta adhesiva . Al explicar este enfoque, espero responder a sus preguntas.

La idea es tratar el espacio libre como un sistema. Este sistema es lineal e invariante al desplazamiento . La entrada al sistema es la función compleja que representa el campo óptico escalar en el plano de entrada$g(x,y,0)$y la salida es un campo óptico complejo en el plano de salida$g(x,y,z)$, situado a cierta distancia$z$del plano de entrada. Con base en la linealidad y la invariancia de cambio, uno puede escribir inmediatamente una expresión general para la salida en términos de la entrada

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy .$$ Puede notar que esta es una integral de convolución y $G(x,y;z)$es una función de Green (también llamada respuesta de impulso en la teoría de sistemas lineales).

¿Cómo se obtiene la expresión de esta función de Green? Se puede proceder de la siguiente manera, utilizando un enfoque estándar. La idea es expandir la función de entrada en términos de las funciones propias del sistema y luego reconstruir la función de salida a partir de estas funciones propias después de permitirles pasar a través del sistema.

¿Cuáles son las funciones propias para la propagación en el espacio libre? Serían las soluciones de la ecuación de Helmholtz; para nuestros propósitos aquí podemos usar las ondas planas. ¿Qué sucede con las ondas planas cuando se propagan a lo largo de una distancia?$z$? Recogen un factor de fase que depende del vector de propagación y la distancia de propagación. En particular,

$$\exp[-i (x k_x + y k_y)] \rightarrow \exp[-i (x k_x + y k_y + z k_z)] ,$$ dónde $$k_z = \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} .$$

Ahora, para expandir la función de entrada en términos de ondas planas, simplemente se necesita realizar una transformada de Fourier 2D de la función de entrada. El resultado es el espectro angular.$F(k_x,k_y)$. Entonces uno multiplicaría este espectro angular con el factor de fase de propagación$\exp(-i z k_z)$y realice la transformada inversa de Fourier para obtener la función de salida.

Todo el proceso se puede expresar como

$$g(x,y,z)=\int \int g(x',y',0) e^{i (x' k_x + y' k_y)} dx dy\ e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$ La integral sobre $x,y$representa la primera transformada de Fourier y la integral sobre $k_x,k_y$es la transformada inversa de Fourier final.

Ahora se puede intercambiar el orden de integración y escribir la integral como

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) \int e^{-i [(x-x') k_x + (y-y') k_y + z k_z]} d k_x d k_y dx dy .$$ Entonces uno puede primero evaluar las integrales sobre $k_x,k_y$Llegar $$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy ,$$ dónde $$G(x,y;z)=\int e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$

Entonces vemos que efectivamente obtenemos una integral de convolución, y la función de Green es simplemente la integral sobre todas las ondas planas con$k_z$expresado en términos de$k_x$y$k_y$. Sin embargo, la última integral no es tan fácil de evaluar. En el límite paraxial, da el kernel de Fresnel. Si uno evalúa numéricamente la integral para la función de Green, puede ver que se parece a la conocida función de Green para la propagación en el espacio libre.

$$G(r) = \frac{\exp(i k r)}{r} .$$ Sin embargo, no es exactamente lo mismo.

Con suerte, esto le brinda una forma más intuitiva y atractiva de comprender la propagación en el espacio libre.

El método estándar de prueba de la HKIT explota una relación general entre dos funciones (segunda identidad de Green) para deducir una propiedad de una función general ($U$) de las propiedades de uno en particular ($G$). En este caso, la "relación general" se simplifica (su LHS se vuelve cero) porque ambas funciones son soluciones de la ecuación de Helmholtz ($U$por hipótesis, y$G$por construcción). La impresión de "cinta adhesiva" surge porque es contrario a la intuición deducir una propiedad de una función de las propiedades de otra.

Utilizando la HKIT, o de otro modo,* se puede demostrar que la función de onda en una región que no contiene fuentes, debido a fuentes "primarias" fuera de esa región, es como si las fuentes primarias fueran reemplazadas por una cierta distribución de fuentes " secundarias " en el límite de la región. Pero las fuentes secundarias resultan tener cierta direccionalidad, que no es capturada por la última integral propuesta, que por lo tanto no es equivalente a la HKIT.

* Aquí está mi intento de hacerlo "de otra manera", mediante el cual obtengo una forma de HKIT de las fuentes secundarias, en lugar de al revés: " Derivación consistente del teorema integral de Kirchhoff y la fórmula de difracción y la transformación de Maggi-Rubinowicz usando alta matemáticas escolares ". Entonces, a menos que me equivoque mucho, el HKIT se puede obtener sin la identidad de Green (y sin asumir que la superficie de integración es plana). PD (15 de octubre de 2022): me equivoqué en un momento, pero actualicé el enlace para mostrar una versión corregida.