¿Por qué necesitamos las transformadas de Fourier de seno y coseno? [cerrado]

La suya es una pregunta mucho mejor de lo que puede parecer en la primera lectura.

La transformada de Fourier de un seno/coseno es un par de delta de Dirac$\delta$funciones en$\pm f_c$. La función delta de Dirac se puede pensar como el equivalente de frecuencia continua de los coeficientes de frecuencia discretos de la expansión de la serie de Fourier .

La razón por la que los mezclamos en EE es por conveniencia analítica. mira el siguiente ejemplo.

Supongamos que, como parte de un sistema de transmisión, tenemos un modulador que toma una señal de banda base$x(t)$y modula una portadora$\cos(\omega_c t)$con él, para que obtenga una señal modulada$s(t)=x(t)\cos(\omega_c t)$.

Si queremos calcular el espectro$S(f)$de la señal modulada$s(t)$necesitamos la transformada de Fourier de la portadora$\cos(\omega_c t)$. En este caso:

dónde$X(f)$es la transformada de Fourier (también conocida como espectro) de$x(t)$.

Por lo tanto, los componentes espectrales de la señal de banda base de$x(t)$han sido "movidos hacia arriba en el espectro de frecuencia" alrededor de la portadora$f_c$. Este resultado es la piedra angular de las comunicaciones por radio.

Pero, ¿cómo obtuvimos el resultado anterior, que parece engañosamente simple? Se obtiene de la convolución de$X(f)$con la transformada de Fourier del portador (el par delta de Dirac que mencionamos al principio). Este sencillo cálculo no podría haberse realizado sin utilizar la transformada de Fourier de la función seno/coseno. Por eso lo definimos: porque lo necesitamos.

Al final, el punto es que en EE usualmente usamos funciones periódicas de seno/coseno junto con una señal portadora de información aperiódica, y necesitamos analizarlas juntas dentro del mismo marco matemático : la transformada de Fourier.

Eh, este es un tema amplio, y no puedo y ni siquiera trato de responderlo, pero puedo darte algunas pistas:

Incluso en ese entonces, cuando el Sr. Fourier publicó su transformación, el pecado y el cos eran muy bien entendidos. Esto condujo a una amplia comprensión y posterior adaptación de su concepto. En cierto sentido, la elección del pecado también fue la más fácil porque incluso si no ha entendido la transformación por completo, aún puede obtener la idea de "escupir una señal compleja en un montón de señales simples".

También hay otras transformaciones de estilo de Fourier. No es sólo pecado y cos. Solo por nombrar un ejemplo aquí:

La transformada de Walsh hace básicamente lo mismo que la transformada de Fourier, pero se basa en un grupo de señales de onda cuadrada. ¡Sí! Uno y cero. No hay cosas desagradables de punto flotante involucradas :-)

Al trabajar con señales binarias, la transformada de Walsh tiene algunas buenas propiedades si tiene que implementarla en hardware, pero el inconveniente es que los resultados que obtendrá no son, en general, tan fáciles de usar. Tan fácil como es la implementación en hardware, más difícil es de usar :-)

Además de estos dos extremos, hay toneladas de otras transformaciones de estilo Fourier. La más grande e importante es probablemente la transformada Wavelet que no utiliza una función de base fija. Puedes rodar tus propias funciones siempre y cuando obedezcas algunas reglas.

Por cierto, los armónicos no existen. Lo que ve, en cambio, es el resultado de la correlación con las funciones de base seno/coseno en N*Fbinspacing, siendo N un número entero.

Si su única herramienta es un seno/coseno, las matemáticas se ven obligadas a forzar la energía en esos "armónicos".

Es útil saber esto, porque puede diseñar sus sistemas para que sean más inmunes a las sobrecargas o interferencias en presencia de lo que se le dice que son "armónicos".