¿Por qué un trompo se vuelve a poner en pie cuando lo golpean?

Question

¿Por qué un trompo se vuelve a poner en pie cuando lo golpean?

Archisman Panigrahi

He observado que una peonza, cuando se derriba golpeándola con un dedo, se vuelve casi vertical nuevamente (con un movimiento de precesión insignificante), en lugar de sufrir una precesión mientras está fuertemente inclinada.

No puedo encontrar qué fuerza produce el par de torsión requerido para ponerlo en posición vertical.

(Tenga en cuenta que mi pregunta no es exactamente por qué un trompo no cae debido a la gravedad, que ya se ha respondido).

EDITAR: vea este video de YouTube para ver un ejemplo de esta "estabilización". Compare la inclinación de la parte superior al comienzo del video con la inclinación en el tiempo 1:30.

Respuestas (5)

¿Por qué un trompo se vuelve a poner en pie cuando lo golpean?

Ley Roja · Answer 1

El par que hace girar una parte superior vertical, como sucede en ese video de YouTube, se debe a la fricción deslizante entre la parte superior y su superficie de apoyo.

Crucial para este efecto es el hecho de que la parte superior en ese video de YouTube tiene un fondo redondeado, en lugar de llegar a una punta afilada en la parte inferior como lo hacen algunas partes superiores. El efecto es más pronunciado y dramático en las peonzas que tienen un radio de curvatura más grande en la parte inferior, como en el caso extremo de una peonza tippe , que tiene un radio de curvatura tan grande que es posible que el centro de masa de la peonza esté a una altura menor que el radio de curvatura. De hecho, los documentos que he visto que muestran cómo la fricción deslizante hace que el centro de masa de una peonza se eleve están haciendo específicamente un análisis de una peonza.

El análisis de un trompo en toda su generalidad, incluidos los efectos del rozamiento, es bastante complicado. Para simplificar enormemente el análisis, solo miraré la parte superior en un instante en el que la parte superior no tiene un momento lineal y tiene un momento angular muy grande que se encuentra precisamente a lo largo del eje de simetría de la parte superior.

También consideraré que la gravedad es insignificante en esta explicación simple. La gravedad provoca una torsión puramente horizontal en la parte superior, pero solo nos interesa la torsión que tiene un componente vertical, lo que hará que la parte superior se vuelva cada vez más vertical. En realidad, si no fuera por la gravedad que mantiene unidas la superficie y la mesa, no habría fricción de deslizamiento en el punto de contacto entre los dos, pero simplemente supondremos que la fricción de deslizamiento existe, sin considerar cómo el la fricción por deslizamiento está relacionada con la gravedad.

El diagrama anterior muestra una sección transversal vertical a través de la parte superior, que contiene el eje de simetría de la parte superior. El punto $P$ se encuentra en el eje de simetría, al igual que el centro de masa de la parte superior $O$ . El momento angular de la parte superior $\vec{L}$ apunta en la dirección del eje de simetría.

Debido a que la parte superior tiene un fondo redondeado en lugar de un fondo puntiagudo, el punto de contacto de la parte superior no está en $P$ , sino más bien en algún momento $C$ . De los supuestos establecidos anteriormente, en el instante de interés $P$ es estacionario En cambio, desde la dirección de $\vec{L}$ , a $C$ la superficie de la parte superior se mueve hacia el espectador, hacia arriba fuera del plano del diagrama. El rozamiento por deslizamiento es una fuerza $\vec{F}_k$ (no se muestra) en la parte superior en $C$ , en la dirección opuesta al movimiento de la peonza en ese punto, es decir, directamente hacia abajo alejándose del espectador.

El vector de posición de $C$ de $O$ es $\vec{X}_C$ . La fuerza $\vec{F}_k$ en la parte superior produce un par en la parte superior alrededor del centro de masa de la parte superior,

\vec{τ} = {\vec{X}}_{C} \times {\vec{F}}_{k} .

$\vec{\tau} = \vec{X}_C \times \vec{F}_k \,\, .$

el par $\vec{\tau}$ Se puede escribir como

\vec{τ} = {\vec{τ}}_{∥} + {\vec{τ}}_{⊥},

$\vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, ,$

dónde $\vec{\tau}_{\parallel}$ es paralelo a $\vec{L}$ , y $\vec{\tau}_{\perp}$ es perpendicular a $\vec{L}$ .

el par $\vec{\tau}$ es como el momento angular de la parte superior $\vec{L}$ cambia con el tiempo,

\frac{d \vec{L}}{d t} = \vec{τ} = {\vec{τ}}_{∥} + {\vec{τ}}_{⊥} .

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}=\vec{\tau}_{\parallel}+\vec{\tau}_{\perp} \,\, .$

$\vec{\tau}_{\parallel}$ apunta en la dirección opuesta a $\vec{L}$ , por lo que el efecto de $\vec{\tau}_{\parallel}$ es reducir la magnitud de $\vec{L}$ , es decir, para reducir la velocidad de la parte superior hacia abajo.

Si la parte superior estaba en un espacio vacío, el efecto de $\vec{\tau}_{\perp}$ sería girar la parte superior alrededor $O$ en el sentido de las agujas del reloj en el diagrama. Sin embargo, debido a la restricción de que la parte superior permanece en contacto con la mesa, el efecto de $\vec{\tau}_{\perp}$ es en cambio elevar $O$ lejos de la mesa, y hacer $O$ más cerca de estar arriba $C$ .

Para un análisis mucho más detallado de cómo la fricción por deslizamiento en la parte inferior de una peonza hace que el centro de masa de la peonza se eleve, consulte prácticamente cualquier artículo sobre la peonza tippe, como este .

Gracias por una explicación clara de lo que es, para mí, un efecto complejo. Además, gracias por los enlaces al tippe top. Había visto estos tops antes, pero nunca entendí cómo funcionan.

David Bar Moshé · Answer 2

La parte superior es un cuerpo rígido simétrico. Las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido alrededor de su centro de masa están dadas por: (Por favor, ver por ejemplo: Marsden y Ratiu , (página 6).

{yo}_{1} {\dot{Ω}}_{1} = ({yo}_{2} - {yo}_{3}) Ω_{2} Ω_{3}

$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega_2\Omega_3$

{yo}_{2} {\dot{Ω}}_{2} = ({yo}_{3} - {yo}_{1}) Ω_{3} Ω_{1}

$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega_3\Omega_1$

{yo}_{3} {\dot{Ω}}_{3} = ({yo}_{1} - {yo}_{2}) Ω_{1} Ω_{2}

$I_3\dot\Omega_3=(I_1-I_2)\Omega_1\Omega_2$ Supongamos que el techo rígido es simétrico respecto a un eje (digamos el tercero), entonces tenemos:

{yo}_{1} = {yo}_{2}

$I_1=I_2$ y también que el tercer eje es delgado:

{yo}_{3} < {yo}_{1} (o r {yo}_{2})

$I_3<I_1(or I_2)$ En este caso, la tercera ecuación de movimiento implica

Ω_{3} = Ω = C o norte s t .

$\Omega_3=\Omega = const.$ y sustituyendo en las otras dos ecuaciones obtenemos:

{yo}_{1} {\dot{Ω}}_{1} = ({yo}_{2} - {yo}_{3}) Ω Ω_{2}

$I_1\dot\Omega_1=(I_2-I_3)\Omega\Omega_2$

{yo}_{2} {\dot{Ω}}_{2} = ({yo}_{3} - {yo}_{1}) Ω Ω_{1}

$I_2\dot\Omega_2=(I_3-I_1)\Omega\Omega_1$

Tomando la primera derivada de la segunda ecuación con respecto al tiempo y sustituyendo la segunda ecuación, obtenemos:

{yo}_{1} {yo}_{2} {\ddot{Ω}}_{2} = Ω^{2} ({yo}_{3} - {yo}_{1}) ({yo}_{2} - {yo}_{3}) Ω_{2}

$I_1I_2\ddot\Omega_2= \Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)\Omega_2$

Esta es una ecuación de un oscilador armónico:

{\ddot{Ω}}_{2} + k^{2} Ω_{2} = 0

$\ddot\Omega_2+k^2 \Omega_2 = 0$

Con

k^{2} = - \frac{Ω^{2} ({yo}_{3} - {yo}_{1}) ({yo}_{2} - {yo}_{3})}{{yo}_{1} {yo}_{2}}

$k^2= - \frac{\Omega^2 (I_3-I_1)(I_2-I_3)}{I_1I_2}$

Ahora, observe que k^2>0 ya que $I_3-I_1<0$ y $I_2-I_3>0$ , por lo que la constante del resorte es real y el oscilador armónico es estable.

Cuando se aplica una pequeña fuerza externa limitada en el tiempo a un oscilador armónico, éste vuelve a oscilar en su frecuencia natural alrededor de su posición de equilibrio. Lo mismo ocurre cuando se golpea la parte superior, en este caso se aplica un pequeño par limitado en el tiempo. Si el momento angular alrededor del tercer eje es muy grande tal que:

{yo}_{3} Ω_{3} >> \int T_{3} d t

$I_3 \Omega_3>> \int T_3 dt$ Dónde

T_{3}

$T_3$ es el componente de par a lo largo del tercer eje, por lo que el lado derecho es el impulso debido a la aplicación de par. En este caso, la aplicación del toque no cambiará mucho la velocidad angular de la tapa y todas nuestras suposiciones anteriores garantizan la estabilidad de la tapa.

No tengo los antecedentes para comprender completamente su respuesta, pero tengo una pregunta. ¿Se mantiene su argumento independientemente de si la ubicación de la propina es fija o si se permite deambular por la mesa?
@James Si la mesa no tiene fricción, nada evitará que la parte superior se deslice después de que se golpee. Sin embargo, en situaciones reales puede haber algo de fricción en el punto de contacto y si el impulso de impacto del componente de fuerza en el punto de contacto es lo suficientemente pequeño, entonces la fricción será suficiente para sostener el trompo sin deslizarse y la suposición de que el trompo está girando alrededor de un punto fijo permanecerá intacto.
"En este caso, la aplicación del toque no cambiará mucho la velocidad angular de la tapa y todas nuestras suposiciones anteriores garantizan la estabilidad de la tapa". Sin embargo, cuando el par ha sido golpeado y se ha inclinado (este no es un ángulo muy pequeño), la dirección del momento angular de la parte superior ya ha cambiado mucho. ¿Me estoy perdiendo de algo?
@ArchismanPanigrahi El cambio de dirección que observas se debe a las oscilaciones en $\Omega_2$ por ejemplo. Cuando otro componente además $\Omega_3$ está presente, el vector de velocidad angular total de la parte superior de hecho cambia, pero este cambio es oscilatorio sobre la dirección de la velocidad angular antes del golpe.
@DavidBarMoshe: Creo que un trompo con una punta que no se desliza sobre la superficie de la mesa es equivalente a un giroscopio con un soporte fijo como en el video al final de este comentario. ¿Su respuesta sugiere que el giroscopio debería "levantarse" de modo que el eje de rotación sea vertical? No lo veo haciendo eso. youtube.com/watch?v=hVKz9G3YXiw
@James En la solución anterior, describí una parte superior libre sin gravedad (puede ver que no aparece ningún término de gravedad en las ecuaciones de movimiento). Bajo este supuesto, la peonza se puede poner a girar en cualquier dirección y permanece en su dirección de giro inicial. Bajo estas condiciones, di el argumento de que la parte superior es estable frente a pequeñas perturbaciones.
@DavidBarMoshe: Gracias por la aclaración. Dado que la parte superior en el enlace de video del OP no tiene una dirección de giro vertical inicial, pero se vuelve vertical después de un tiempo, me parece que no está respondiendo la pregunta del OP.

Kosta Butbaia · Answer 3

Esto se llama efecto giroscópico y establece que Un objeto que gira tiene un momento angular $\vec{L}$ Así tiende a seguir siendo su eje de rotación, $\vec{L}=I\omega$ más rápido gira (mayor $\omega$ ) más tiende a seguir siendo su eje de rotación.

Considere una imagen a continuación, una peonza gira con una velocidad angular $\omega$ , por lo tanto tiene un momento angular $\vec{L}$ , más rápido gira mayor el $\vec{L}$ y más tiende a mantener su movimiento de rotación alrededor de un cierto eje, tenga en cuenta que cuando se ralentiza (debido a las fuerzas de fricción) tiene menor $\vec{L}$ Por lo tanto, su precesión aumenta debido a que su peso lo tira hacia abajo. ( Un video de demostración del efecto giroscópico )

Fuente

Observe que la fuerza de la gravedad hizo que nuestra peonza tuviera precesión (precesión de su eje de rotación). Por lo tanto, podemos concluir a partir de esta observación que se debe aplicar una fuerza para cambiar el eje de rotación de la peonza. Cuanto mayor sea la fuerza aplicada, más precesará de un original. eje de rotación (suponiendo $\vec{L}$ es constante). Cuando se elimine esta fuerza, volverá naturalmente al estado original sin precesión debido a que tiene un momento angular.

Piense en ello como la primera ley de Newton, pero en movimiento de rotación en lugar de movimiento de traslación.

La primera ley de Newton establece:

Un objeto que está en movimiento tiende a permanecer en movimiento en línea recta, a menos que actúe por una fuerza desequilibrada.

Podemos recrear esta ley para el movimiento de rotación:

Un objeto que está girando tiende a permanecer en movimiento de rotación alrededor de cierto eje a menos que actúe por una fuerza desequilibrada.

Un objeto que tiene un movimiento de traslación con una velocidad $v$ requerirá una fuerza $\vec{F}$ para cambiar su dirección de movimiento de manera similar a un objeto que tiene velocidad angular $\omega$ requiere una fuerza para cambiar su eje de rotación.

El par se define como la tendencia de una fuerza a girar un objeto sobre un eje y matemáticamente se define como un producto vectorial (cruz) de la distancia y la fuerza:

\vec{τ} = \vec{r} \times \vec{F}

$\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}$

Dónde $r$ es una distancia desde el punto de rotación y $\vec{F}$ se aplica fuerza.

Tenga en cuenta que el torque es un vector y este vector se representa en la siguiente imagen:

el trompo vuelve a estar casi en posición vertical porque tiene un momento angular y eso significa que si un objeto gira, se resiste a que su eje de rotación sea precedido y más rápido gira más, está resistiendo que ocurra esta precesión, así que si lo volteo si todavía gira con la misma velocidad angular, volverá a la precesión cero, más rápido gira más rápido volverá a su estado original.

Para explicar esto matemáticamente, considere un trompo en la Tierra con velocidad angular $\omega$ su velocidad angular de precesión $\omega_p$ y ángulo de precesión como $\phi$

su momento angular se define como:

\vec{L} = \vec{ω} yo

$\vec{L}= \vec{\omega} I$

Decir peonza girada $\Delta \theta$ y su cambio en el momento angular es $\Delta L$ .

Entonces podemos expresar $\Delta \theta$ de la siguiente manera:

Δ θ \approx \frac{Δ L}{L s i norte (ϕ)}

$\Delta \theta \approx \frac{\Delta L}{L sin(\phi)}$

La velocidad angular de precesión se puede expresar de la siguiente manera:

ω_{pags} = \frac{Δ θ}{Δ t}

$\omega_p = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$

ahora podemos sustituir la primera ecuación en esta.

ω_{pags} = \frac{Δ L}{Δ t L s i norte (ϕ)}

$\omega_p = \frac{\Delta L}{\Delta t L sin(\phi)}$

El par se define como el cambio en el momento angular:

\frac{Δ L}{Δ t} = yo \vec{α} = τ

$\frac{\Delta L}{\Delta t}= I \vec{\alpha} = \tau$

Ahora sustituimos esto en la ecuación anterior:

ω_{pags} = \frac{τ}{L s i norte (ϕ)}

$\omega_p = \frac{\tau}{L sin(\phi)}$

y obtenemos la siguiente fórmula:

ω_{pags} = \frac{\vec{F} r}{L s i norte (ϕ)}

$\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)}$

De esta ecuación podemos ver que si aplicamos una fuerza sobre un objeto giratorio su $\omega_p$ aumentará porque es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Si la fuerza aplicada es cero, $\omega_p$ se convierte en cero también, por lo tanto, ya no tendrá velocidad angular de precesión, por lo que se pondrá de pie nuevamente.

No veo nada en esta respuesta que explique por qué un trompo volverá a estar casi en posición vertical después de volcarse. Creo que el efecto descrito por el OP solo ocurre si se permite que la punta se deslice sobre la mesa, pero no pude encontrar una referencia que describa exactamente cómo sucede.
@James Agregué más detalles a mi respuesta, espero que sea útil para responder esta pregunta.
"Podemos recrear esta ley para el movimiento de rotación: un objeto que gira tiende a permanecer en movimiento de rotación sobre un cierto eje a menos que actúe por una fuerza desequilibrada". Pero es actuado por una fuerza desequilibrada instantánea y, por lo tanto, debe sufrir un movimiento de recesión mientras está inclinado. No puedo encontrar un torque que lleve la parte superior en posición vertical, es decir, disminuya el ángulo ϕ
@James ¿Podría explicar qué quiere decir con 'si se permite que la punta se deslice sobre la mesa'?
@KostaButbaia $ω_{pags} = \frac{\vec{F} r}{L s i norte (ϕ)}$ $\omega_p = \frac{\vec{F}r}{L sin(\phi)}$ Entonces, cuando se elimina la fuerza instantánea (golpear con el dedo), ¿por qué $\phi$ ¿disminuir? Para conservar $\omega_p$ ? Esta puede ser una explicación, pero aún así, qué par es responsable de crear la velocidad angular que disminuiría $\phi$ ?
@ArchismanPanigrahi: Hay dos situaciones distintas... 1) La punta de la peonza permanece en un lugar de la mesa (porque la mesa es áspera), y 2) La punta de la peonza puede vagar por la mesa . Creo (por observación personal) que un tope solo disminuirá $\phi$ en la situación #2.
En el último párrafo de esta respuesta... La fuerza aplicada que causa la precesión es la gravedad. Si se eliminara la gravedad, entonces la precesión se detendría como dijiste ( $\omega_P=0$ ). Sin embargo, NO volvería a estar de pie. Sin fuerza externa, mantendría su eje de rotación ACTUAL según su primer párrafo.
Después de todo, sin gravedad, no hay dirección "vertical".
@James ¿Podría explicar cómo 2) explica cómo $\phi$ disminuye?
@ArchismanPanigrahi: No, no puedo. También me gustaría saber la respuesta y planeo ofrecer una recompensa por su pregunta cuando esa opción esté disponible.
Tal vez, en el caso 2) suceda algo como esto: desde el marco del centro de masa, la fricción da el par, y desde el marco de la punta de la parte superior, una pseudo fuerza produce la parte superior. Sea lo que sea, esta respuesta explica por qué un trompo no se cae y no por qué se vuelve vertical.
Estoy de acuerdo, la respuesta no explica por qué el límite de $\omega_{p} \rightarrow 0$ implica que de repente aparecerá un par de torsión para inclinar la capota a una posición vertical. La precesión ocurre debido a un par externo, pero eso no significa que la falta de precesión resulte en un par espontáneo.

Geoffrey · Answer 4

Este tipo de peonza se inclina y se endereza porque la fuerza centrífuga requiere que el patrón de giro sea circular a la perpendicular de la fuerza gravitacional. Cuando se golpea hacia un lado, el patrón del giro es ovalado con respecto a la perpendicular de la gravedad. Entonces, la parte superior vuelve en espiral a la posición más eficiente para la fuerza centrífuga.

Esta no es una respuesta. La fuerza centrífuga no "requiere" nada. Actúa en la parte superior, y la parte superior responde. ¿Cómo funciona la combinación de fuerza centrífuga y fricción contra la mesa para enderezar la parte superior?

Brian F. · Answer 5

Para comprender la precesión giroscópica de manera intuitiva, sin usar vectores de momento, considere esta analogía del satélite en órbita. Mire el video "TheHue's SciTech" de 25 segundos hasta que se sienta cómodo prediciendo en qué dirección se producirá la precesión de un giroscopio cuando un momento de rotación actúe sobre él. https://www.youtube.com/watch?v=n5bKzBZ7XuM. Ahora considere el diagrama de Red Acts como se muestra en su respuesta, su peonza gira en sentido contrario a las agujas del reloj cuando se ve desde arriba, porque la fuerza de fricción F apunta hacia el lado contrario del observador, en dirección opuesta a la superficie de la peonza. Esto crea un momento de rotación en el plano ocupado por el punto de contacto C y el centro de masa O de la peonza. Resuelva este momento en un plano paralelo a los componentes giratorios de la peonza y un plano perpendicular a ellos. La componente paralela sólo provoca una ralentización de la parte superior, sin precesión. La componente perpendicular de este momento es la que provoca la precesión de la parte superior de nuevo a la vertical. La dirección de rotación de este momento provoca una fuerza que empuja el borde de la parte superior más cercano al espectador hacia el extremo inferior de la parte superior y hacia arriba en el lado opuesto. Pero como la analogía del satélite, esos bordes en realidad no se mueven hacia arriba o hacia abajo: son los bordes a la izquierda y a la derecha del espectador los que realmente se mueven. El borde a la derecha del espectador se mueve hacia abajo y el borde a la izquierda se mueve hacia arriba. Y esta es la precesión que trae la vertical superior. Hace un tiempo me di cuenta de que esto es lo que le sucede a un Tippe Top, pero suceden muchas más cosas con un Tippe debido al hecho de que es una esfera con un radio grande.

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Archisman Panigrahi

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