Lejos de un conductor cargado, el campo es como una carga puntual. ¿Dónde está ubicado el punto?

La respuesta es que no importa.

La distancia a la que los campos se asemejan a los de una carga puntual es también la distancia a la que no importa dónde esté ubicado ese punto dentro de la estructura. El cambio de campo debido a la conmutación del origen dentro del conductor será comparable a las correcciones de la aproximación de carga puntual, ambas derivadas de términos multipolares del mismo orden.

Basado en algunas de las idas y venidas que veo, creo que estás haciendo la pregunta equivocada. Creo que la pregunta que quieres hacer es "Dada una distribución de carga$\rho(\mathbf{r})$, ¿dónde debo colocar una fuente puntual para que el potencial exacto$\phi(\mathbf{r}) = \int \rho(\mathbf{r}')/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'| dv'$se aproxima más estrechamente al potencial de la fuente puntual?"

La respuesta es que quieres elegir.$\mathbf{r}_0$tal que

$\int (\mathbf{r}'-\mathbf{r}_0) \rho(\mathbf{r}') dv' = 0$

Si la distribución de carga es uniforme, entonces la respuesta está en el centroide. La razón por la que este es el punto correcto es que hace que el momento dipolar de la diferencia entre las soluciones exacta y aproximada sea cero. Entonces el error en el potencial es$\mathcal{O}(1/r^3)$, mientras que con cualquier otra opción el error incluiría el término dipolar y, por lo tanto, sería$\mathcal{O}(1/r^2)$. (Configurando correctamente la magnitud de las cuentas de carga puntuales para el término de monopolo de$\mathcal{O}(1/r)$.)

Más aclaraciones:

La elección de$\mathbf{r}_0$que satisface la restricción dipolar anterior es

$\mathbf{r}_0 = \frac{\int \mathbf{r}' \rho(\mathbf{r}') dv'}{\int \rho(\mathbf{r}') dv'}$

y se puede considerar como un "centro de carga" similar a un centro de masa.

La expansión multipolar del potencial.$\phi(\mathbf{r})$contiene términos de orden creciente en$1/r$

• Los términos monopolares decaen con$\mathcal{O}(1/r)$. Cualquier distribución de carga con la misma carga total dentro de una región local tiene el mismo momento monopolar. Es por eso que una carga puntual con la misma carga total funciona como una aproximación, y no importa dónde esté, siempre que esté cerca de la misma región. Con esta aproximación, el error entre el potencial exacto y la aproximación será$\mathcal{O}(1/r^2)$. Si$r$es lo suficientemente grande, entonces como todos los demás dicen, funciona bien y no importa dónde$\mathbf{r}_0$es.
• Sin embargo, si queremos, podemos ser aún más precisos con una elección juiciosa de la ubicación del punto de carga. Los términos dipolares decaen con$\mathcal{O}(1/r^2)$. Dado que la fuente puntual claramente no tiene un momento dipolar, elegir el punto$\mathbf{r}_0$de modo que el potencial exacto no tiene un momento dipolar alrededor de$\mathbf{r}_0$elimina$\mathcal{O}(1/r^2)$dependencia del error. Esto deja solo$\mathcal{O}(1/r^3)$y términos de error más altos.

La expansión multipolar es una aproximación útil al orden bajo (mono-, di, - cuadrupolo) si el diámetro de la distribución de carga$d$es mucho menor que la distancia a la que observa el campo o el potencial$r$.

Esa distancia de observación es con respecto a un origen, que usted coloca convenientemente en algún lugar dentro de la distribución de carga. Énfasis en algún lugar , porque moviéndose con el origen a lo sumo una distancia$d$no cambiará mucho

Siempre se puede hacer desaparecer el momento dipolar colocando el origen en el centro de carga.

Está suponiendo implícitamente que lo suficientemente lejos de una distribución de carga limitada, el campo eléctrico se vuelve perfectamenteradial, es decir, cada línea de campo eléctrico se encontraría en un solo punto si la proyectara en línea recta hacia la vecindad de la distribución de carga. Pero este no es el caso; si pudiera medir la dirección de los campos eléctricos lejanos con tanta precisión que pudiera extrapolarlos a la región fuente con una precisión mejor que la distribución espacial de la carga fuente, encontraría que no se cruzan exactamente en el mismo punto. Los campos eléctricos en diferentes puntos lejanos apuntarían a partes ligeramente diferentes de la distribución de carga. A medida que se aleja más y más, los campos eléctricos se acercan cada vez más a ser radiales, por lo que necesita conocer sus direcciones con mayor precisión para saber con qué parte específica de la distribución de carga están alineados.contribución dipolo en lugar de monopolo (que cae más rápido). Estos datos de dipolo, a su vez, le brindan más información sobre los detalles de la configuración de carga que solo su carga total, que es lo que obtiene de la parte puramente radial del campo.

Me gustaría agregar otro ejemplo y aclarar una de mis declaraciones en los comentarios que hice a la pregunta del OP.

Si tienes una hoja de metal cuadrada de 1 cm de lado. Puede considerar que el punto está en cualquier lugar cerca del metal si está a una milla de distancia. El punto NO es el centroide. El centroide es una cantidad puramente geométrica. La densidad de carga puede variar con la geometría. Por lo general, obtienes la ubicación del punto cuando aplicas las aproximaciones a la fórmula exacta.

No hay un punto fijo, pero obtienes la ubicación después de aplicar la aproximación. Por ejemplo, considere un dipolo, si ha utilizado r como la distancia desde el punto donde desea encontrar la intensidad del campo hasta el punto medio del dipolo. Entonces vas a suponer que toda la carga está concentrada en el punto medio del dipolo desde un lugar lejano.

Su punto de interés P está tan lejos del dipolo que la distancia entre el punto P y el punto medio del dipolo es esencialmente la misma que la distancia entre el punto P y la carga negativa del dipolo.

El cambio de ubicación de la carga puntual no provoca ningún cambio significativo en la respuesta.

Puedes suponer que la carga puntual está en el punto medio del dipolo, o está en la carga positiva o está en la carga negativa. Cualquier punto que elija, su respuesta producirá prácticamente el mismo número. Muchas veces, la incertidumbre en nuestros instrumentos de medición es mucho mayor que no podemos notar la diferencia cambiando la ubicación del punto. Por supuesto, no puede ir demasiado lejos con su aproximación.