¿Por qué tiene sentido hablar de la primera formulación BRST cuantificada de una partícula puntual relativista?

Creo que puede haber un malentendido que se aclara en gran medida con el método BRST tal como se presenta en Polchinsky. Evita la discusión en el libro de Ticciati ya que contiene un operador de posición en 4 en lugar de 3 dimensiones. El espacio cinemático de Hilbert obtenido cuantificando la acción

produce los operadores$X^\mu$,$P_\mu$,$B$y$C$satisfaciendo las relaciones canónicas de conmutación$[X^\mu,P_\nu]=\delta^\mu_\nu$y$\{B,C\}=1$. Del teorema de Stone-von Neumann, sabemos que existe una única representación irreducible de estos en el espacio de Hilbert$L^2(\mathbb{R}^4)$dónde$(X^\mu\psi)(x)=x^\mu\psi(x)$y$(P_\mu\psi)(x)=-i\hbar\partial_\mu\psi(x)$. En particular, el delta de Dirac$|x\rangle=\delta_{x}$, satisfactorio$(X^\mu\delta_x)(y)=y^\mu\delta(x-y)=x^\mu\delta(x-y)=x^\mu\delta_x(y)$, es decir$X^\mu|x\rangle=x^\mu|x\rangle$, está en la teoría. El conjunto de tales estados son ortogonales.

Ahora, el procedimiento de cuantización canónica también produce el hamiltoniano$H=\frac{1}{2}(p^2+m^2)$y el operador BRST$Q=cH$. Los estados físicos son aquellos para los cuales$Q\psi=0$, es decir, aquellos para los que$H\psi=0$. A través de la ecuación de Schrödinger, un estado$\phi:\mathbb{R}\rightarrow L^2(M)$evolucionando en el parámetro$\lambda$que es físico entonces satisfaría$i\hbar\frac{d\phi(\lambda)}{d\lambda}=H\phi(\lambda)=0$, que es precisamente lo que queremos! Los estados no deben depender del parámetro no físico$\lambda$. De hecho, un estado$\psi\in L^2(M)$ya corresponde a toda la línea de mundo de la partícula. Ahora, vemos que aunque tenemos un operador de posición y vectores$|x\rangle$, estos últimos no son físicos ya que no están cerrados por BRST.

De paso,$H\psi=0$es la ecuación de Klein-Gordon. Por lo general, en las clases de QFT se afirma que esta no es una ecuación satisfactoria para una función de onda, ya que la norma obtenida al integrar en tres espacios no se conserva. Sin embargo, ahora vemos que la norma real debe obtenerse integrando todo el espacio de cuatro dimensiones, lo que no genera ningún problema. Por otro lado, la cantidad conservada dada por el Lagrangiano de Klein-Gordon no tiene que interpretarse como una densidad de probabilidad sino como una densidad de carga. Entonces no hay problema con el hecho de que no es definido positivo.

Permítanme señalar que la cuantificación BRST parece ser importante para este análisis. Si uno trata de cuantificar una acción fija de indicador como

Espero no haberme perdido ningún detalle obvio de algo que invalide mis argumentos jajaja. Permítanme finalizar diciendo que

1. No conozco una forma de introducir interacciones en estas construcciones. Si lo hay, solo debería ser posible para interacciones muy específicas que no violarían la conservación del número de partículas. Es por esto que QFT es muy importante para describir la parte interesante de la teoría relativista de partículas. Sin embargo, se puede hacer una QFT perturbativa en un punto de vista "primero cuantificado" utilizando la acción anterior y los diagramas de Feynman, evitando así la necesidad de, por ejemplo, la acción de Klein-Gordon.
2. Este punto de vista "primero cuantificado" es muy importante para la teoría de cuerdas, donde la teoría del campo de cuerdas (el análogo de Klein-Gordon para la partícula relativista sin espín) es difícil de obtener, pero el análogo de la acción anterior (la acción de Polyakov) es fácilmente disponibles.

Realmente no entiendo mucho de la teoría de cuerdas, pero esos dos comentarios se hicieron en mi clase.

Estas equivocado. No hay base ortogonal.$|x,t\rangle$para fijo$t$en la mecánica cuántica relativista, pero hay un estado$|x,t\rangle=|x^{\mu}\rangle$. En la teoría cuántica de campos, este estado se expresa mediante$\phi(x)|0\rangle$, pero este es un estado de una partícula, por lo que puede expresarse en el espacio de una partícula, abarcado por los estados propios de momentos$|\vec{p}\rangle$.

El punto principal es que el estado$|x\rangle$no implica la existencia de un operador hermitiano$x$, por lo que este estado puede existir sin la existencia de$x$-operador. De hecho, este operador no puede existir ya que el hamiltoniano está acotado desde abajo. Puedes ver más al respecto aquí .

si el estado$|x^{\mu}\rangle$existe, tiene mucho sentido tener integrales de trayectoria sobre trayectorias$x_{\mu}(\tau)$, si calibramos la parametrización al final.

Lo que descubrirás a partir de esa integral de trayectoria es que$\langle x_2|x_1\rangle \neq 0$incluso para intervalos similares al espacio, y por la simetría de Lorentz se puede deducir que lo mismo ocurre con la hipersuperficie de simultaneidad. Esto significa que no podemos tomar$|x\rangle \rightarrow |\vec{x},t\rangle$como base ortogonal para$t$fijado.

Por eso no hay función de onda.$\psi(x)$descripción de los estados. Para la función de onda de cantidad de movimiento no habrá problema, y ​​una función de onda$\phi(p)$es totalmente aceptable. Por ejemplo,$P$es un operador hermitiano para el espacio de Hilbert de una partícula en la teoría libre (libre significa que no se mezcla con estados de múltiples partículas).

En realidad, el enfoque BRST está lejos de ser solo pedagógico. Puede obtener la descripción de la teoría de campos definiendo un operador de campo$\Psi(x^{\mu})$e imponer la ecuación de movimiento:

Esto es útil para obtener una generalización no lineal (es decir, cómo establecer interacciones) para partículas en presencia de supersimetría y/o simetría de calibre. Las transformaciones de calibre del campo serán descritas por la generalización de los campos BRST-exactos$\delta\Psi=Q\Lambda+g\left[\Psi,\Lambda\right]$y la ecuación de movimiento será:

Puedes ver más al respecto aquí .