Onda esférica como suma de ondas planas

Question

Onda esférica como suma de ondas planas

ondas
Física
Matemáticas
Transformada de Fourier

Niños

¿Cómo podemos hacer este cálculo?

∭_{R^{3}} \frac{{mi}^{i k^{'} r}}{r} {mi}^{i k_{1} X + k_{2} y + k_{3} z} d X d y d z

$\iiint_{R^3} \frac{e^{ik'r}}{r} e^{ik_1x+k_2y+k_3z}dx dy dz$ dónde

r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ? Creo que debemos usar distribuciones.

Físicamente, es equivalente a encontrar vectores de onda $k$ distribución y escribir una onda esférica como suma de ondas planas. Conozco la fórmula del problema inverso: escribe una onda plana como suma de ondas esféricas. La solución en este caso es una serie de armónicos esféricos y funciones de Bessel esféricas.

kennytm

Esta es la transformada de Fourier 3D de

\frac{e^{i k^{'} r}}{r}

$\frac{e^{ik'r}}r$ ? Si es así, la fórmula debería ser

∭_{V} \frac{e^{i k^{'} r}}{r} e^{- i k \cdot r} d^{3} r

$\iiint_V \frac{e^{ik'r}}r e^{{\color{red}-}i\mathbf k\cdot\mathbf r} d^3\mathbf r$

Niños

Es lo mismo: como en 1D: puedes definir la transformada de Fourier como

\int f (x) e^{\pm i k x} d x

$\int f(x) e^{\pm ikx}dx$ , y la transformada inversa es

\frac{1}{2 π} \int \tilde{f} (k) e^{\mp i k x} d k

$\frac{1}{2\pi}\int\widetilde f(k) e^{\mp ikx}dk$ ;-)

kennytm

Sí, por supuesto, pero la definición del vector de onda estará en la dirección opuesta.

Marek

Esta pregunta puede tener una motivación física, pero creo que es de naturaleza puramente matemática. Probablemente deberías pedir la respuesta en math.SE.

david z

@Marek: Creo que estoy de acuerdo... Quiero decir, el título sugiere una pregunta de física, pero en esencia se trata solo de cómo hacer una integral. Voy a votar para cerrarlo (pero solo porque requiere que otras cuatro personas estén de acuerdo antes de que la pregunta realmente se cierre; no me sentiría cómodo cerrando esto unilateralmente si tuviera el poder para hacerlo).

Niños

@David: Lo siento, pero no sabía si la pregunta se podía resolver con un "método riguroso", o si esto podía ser muy complicado, así que pregunté aquí porque pensé que algún físico sabía que este problema simple era más probable, incluso si la solución no fue "rigurosa"... ya he puesto preguntas como esta... lo siento, si quieres borro esta pregunta...

Marek

@David: correcto, tampoco me sentiría cómodo si lo cerrara solo. @Boy: no hay necesidad de disculparse, cerrar una pregunta no es gran cosa. Realmente se trata más de establecer límites de lo que debe y no debe preguntarse en este sitio para que las personas lo sepan en el futuro.

nibot

Sé que estoy en minoría, pero me gusta ver estas preguntas "matemáticas" aquí. Los físicos tienen una cultura matemática diferente a la de los matemáticos, y es más probable que obtengan una respuesta útil de otros físicos.

david z

@nibot: aunque no estoy de acuerdo (por ahora), ese es un punto excelente. Y @Boy Simone: Estoy completamente de acuerdo con el último comentario de Marek, no hay necesidad de disculparse. No ha hecho nada malo al hacer esta pregunta (y de hecho nos está ayudando a definir el alcance de este sitio).

hacer señas

@David, @Marek, estoy de acuerdo con @nibot. Tenemos una etiqueta en este sitio llamada Física matemática y creo que este tipo de pregunta merece esa etiqueta y, por lo tanto, pertenece a este sitio. A veces no necesitamos una respuesta matemática demasiado rigurosa o complicada a una pregunta matemática y ahí es cuando la visión de un físico puede ser útil. Así que espero que este tipo de preguntas no se cierren en el futuro.

Respuestas (2)

Onda esférica como suma de ondas planas

Esta es la transformada de Fourier 3D de $\frac{e^{ik'r}}r$ ? Si es así, la fórmula debería ser $\iiint_V \frac{e^{ik'r}}r e^{{\color{red}-}i\mathbf k\cdot\mathbf r} d^3\mathbf r$
Es lo mismo: como en 1D: puedes definir la transformada de Fourier como $\int f(x) e^{\pm ikx}dx$ , y la transformada inversa es $\frac{1}{2\pi}\int\widetilde f(k) e^{\mp ikx}dk$ ;-)
Sí, por supuesto, pero la definición del vector de onda estará en la dirección opuesta.
Esta pregunta puede tener una motivación física, pero creo que es de naturaleza puramente matemática. Probablemente deberías pedir la respuesta en math.SE.
@Marek: Creo que estoy de acuerdo... Quiero decir, el título sugiere una pregunta de física, pero en esencia se trata solo de cómo hacer una integral. Voy a votar para cerrarlo (pero solo porque requiere que otras cuatro personas estén de acuerdo antes de que la pregunta realmente se cierre; no me sentiría cómodo cerrando esto unilateralmente si tuviera el poder para hacerlo).
@David: Lo siento, pero no sabía si la pregunta se podía resolver con un "método riguroso", o si esto podía ser muy complicado, así que pregunté aquí porque pensé que algún físico sabía que este problema simple era más probable, incluso si la solución no fue "rigurosa"... ya he puesto preguntas como esta... lo siento, si quieres borro esta pregunta...
@David: correcto, tampoco me sentiría cómodo si lo cerrara solo. @Boy: no hay necesidad de disculparse, cerrar una pregunta no es gran cosa. Realmente se trata más de establecer límites de lo que debe y no debe preguntarse en este sitio para que las personas lo sepan en el futuro.
Sé que estoy en minoría, pero me gusta ver estas preguntas "matemáticas" aquí. Los físicos tienen una cultura matemática diferente a la de los matemáticos, y es más probable que obtengan una respuesta útil de otros físicos.
@nibot: aunque no estoy de acuerdo (por ahora), ese es un punto excelente. Y @Boy Simone: Estoy completamente de acuerdo con el último comentario de Marek, no hay necesidad de disculparse. No ha hecho nada malo al hacer esta pregunta (y de hecho nos está ayudando a definir el alcance de este sitio).
@David, @Marek, estoy de acuerdo con @nibot. Tenemos una etiqueta en este sitio llamada Física matemática y creo que este tipo de pregunta merece esa etiqueta y, por lo tanto, pertenece a este sitio. A veces no necesitamos una respuesta matemática demasiado rigurosa o complicada a una pregunta matemática y ahí es cuando la visión de un físico puede ser útil. Así que espero que este tipo de preguntas no se cierren en el futuro.

kennytm · Answer 1

De su descripción, creo que quiere encontrar la transformada de Fourier de

F (r) = \frac{{mi}^{i k^{'} r}}{r},

$f(\mathbf r) = \frac{e^{ik'r}}r,$ y la onda se puede recuperar de la superposición lineal de ondas planas identificadas por k

F (r) = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} ∭ F [F] (k) {mi}^{i k \cdot r} d^{3} k .

$f(\mathbf r) = \frac1{(2\pi)^{3/2}}\iiint \mathcal F[f](\mathbf k)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r} d^3 \mathbf k.$

Las ondas esféricas tienen simetría esférica, por lo que lo que debes hacer es realizar la integración en coordenadas esféricas en lugar de cartesianas. WLOG, suponga que k está a lo largo del eje z , por lo tanto

\begin{aligned} F [F] (k \hat{z}) & = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} ∭ \frac{{mi}^{i k^{'} r}}{r} {mi}^{- i k \cdot r} d^{3} r \\ = \frac{1}{(2 π)^{3 / 2}} ∭ \frac{{mi}^{i k^{'} r}}{r} {mi}^{- i k r porque θ} r^{2} pecado θ d r d θ d ϕ \\ = \frac{1}{(2 π)^{1 / 2}} \int_{0}^{\infty} (r {mi}^{i k^{'} r} \int_{0}^{π} {mi}^{- i k r porque θ} pecado θ d θ) d r \\ = \frac{1}{(2 π)^{1 / 2}} \int_{0}^{\infty} r {mi}^{i k^{'} r} \frac{2 pecado k r}{k r} d r \\ = \frac{1}{k} \sqrt{\frac{2}{π}} \int_{0}^{\infty} {mi}^{i k^{'} r} pecado k r d r \\ = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{k^{2} - k^{' 2}} \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathcal F[f](k\hat{\mathbf z}) &= \frac1{(2\pi)^{3/2}} \iiint \frac{e^{ik'r}}r e^{-i\mathbf k\cdot \mathbf r} d^3\mathbf r \\ &= \frac1{(2\pi)^{3/2}} \iiint \frac{e^{ik'r}}r e^{-ikr\cos\theta} r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \\ &= \frac1{(2\pi)^{1/2}} \int_0^\infty \left(re^{ik'r} \int_0^{\pi} e^{-ikr\cos\theta} \sin\theta d\theta\right) dr \\ &= \frac1{(2\pi)^{1/2}} \int_0^\infty r e^{ik'r} \frac{2 \sin kr}{kr} dr \\ &= \frac1k\sqrt{\frac2\pi} \int_0^\infty e^{ik'r} \sin kr dr \\ &= \sqrt{\frac2\pi}\frac1{k^2 - k'^2} \end{aligned}$

¡gracias! ¿Y cómo has hecho el último pasaje? $1/k \int_0^{+infty} e^{ik'r}sinkrdr= \frac{1}{k^2+k'^2}$
Creo que quiere saber cómo se hace el último paso del cálculo, es decir, la integral sobre $e^{ik' r}\sin kr$ .
@Niño: Cambiar $\sin kr$ a $(e^{ikr}-e^{-ikr})/2i$ . Entonces nota que $\int_0^\infty e^{iKr} dr = i/K$ (si ignoramos las cosas de convergencia. En realidad, la respuesta no es correcta cuando $k'$ no tiene una parte imaginaria positiva ya que la integral diverge.)
Sí, entonces llegué a esa consideración también. Mi duda es solo eso, una k' puramente real significa que no hay absorción, pero creo que no se puede explicar una onda puramente esférica con ondas planas es muy extraño, porque lo inverso es posible... Tal vez ahí está la forma de hacer la convergencia de esa integral en el sentido de distribución... como $\int e^{ikx}=2\pi \delta(k)$ ...También publico la pregunta en la sección matemática, porque eso es realmente puramente matemático... Gracias :-)
PD, Yeha, creo que es lo mismo: es similar a la antitransformación en la solución de la Ecuación de Poisson, cuando encuentras la Función de Green...! :-)
Al hacer la última integral uno tiene que asegurar la convergencia de la integral desplazando $k'$ ligeramente en el complejo: $(k'+i\epsilon), \epsilon > 0$ . Para una ola entrante $e^{-ik'r}/r$ uno tiene que elegir $(k'-i\epsilon), \epsilon > 0$ . De lo contrario, las ondas esféricas entrantes y salientes tendrían la misma transformada de Fourier.
Esta respuesta pierde la parte imaginaria. Ver mi respuesta para la solución.
$\int_0^{+\infty} e^{ik'r}\sin{kr} dr=\frac{1}{2i}\int_0^{+\infty}e^{i(k'+k)r}dr-\frac{1}{2i}\int_0^{+\infty}e^{i(k'-k)r}dr$ . $\int_0^{+\infty}e^{i\omega t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}\theta(t)e^{i\omega t}dt=\frac{1}{-i\omega}+\pi\delta(\omega)$ . Ver en.wikipedia.org/wiki/… (ítem 313, tercera versión de la transformada de Fourier), aquí $\theta(t)$ es la función de Heaviside. $\frac{1}{2i}\int_0^{+\infty}e^{i(k'+k)r}dr=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i(k'+k)}+\pi\delta(k'+k)\right)=\frac{1}{2(k'+k)}-i\frac{\pi}{2}\delta(k'+k)$ .
$\frac{1}{2i}\int_0^{+\infty}e^{i(k'-k)r}dr=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i(k'-k)}+\pi\delta(k'-k)\right)=\frac{1}{2(k'-k)}-i\frac{\pi}{2}\delta(k'-k)$ . $\int_{0}^{+ \infty} {mi}^{i k^{'} r} pecado k r d r = \frac{1}{2 (k^{'} + k)} - \frac{1}{2 (k^{'} - k)} - i \frac{π}{2} d (k^{'} + k) + i \frac{π}{2} d (k^{'} - k) = = \frac{k}{k^{2} - k^{' 2}} + i \frac{π}{2} (d (k - k^{'}) - d (k + k^{'}))$ $\int_0^{+\infty} e^{ik'r}\sin{kr} dr=\frac{1}{2(k'+k)}-\frac{1}{2(k'-k)}-i\frac{\pi}{2}\delta(k'+k)+i\frac{\pi}{2}\delta(k'-k)=\\ =\frac{k}{k^2-k'^2}+i\frac{\pi}{2}\left(\delta(k-k')-\delta(k+k')\right)$
La respuesta final es: $\mathcal F[f](k\hat{\mathbf z})=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{k^2-k'^2}+\frac{i}{k}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\delta(k-k')-\delta(k+k')\right)$ .

Ruslán · Answer 2

La respuesta de kennytm es solo parcialmente correcta. Encuentra todos los valores de la imagen de Fourier, donde existen. Pero la imagen completa de Fourier de una onda esférica no es una función: es una distribución .

Consideremos una onda estacionaria descrita en términos de $0$ Función de Bessel esférica de º orden (la parte imaginaria de la función OP):

gramo (r) = k^{'} j_{0} (k^{'} r) = \frac{pecado (k^{'} r)}{r} .

$g(\mathbf r)=k'j_0(k'r)=\frac{\sin(k'r)}r.$

Podemos encontrar su transformada de Fourier de manera similar al enfoque en la respuesta de kennytm , pero con un tratamiento especial de la integral final:

I = \int_{0}^{\infty} pecado (k^{'} r) pecado k r d r .

$I=\int_0^\infty \sin(k'r)\sin kr dr.$

Esta integral (hasta la constante multiplicativa) es la transformada sinusoidal de $\sin(k'r)$ , que es igual a

I = d (k - k^{'}) - d (k + k^{'}),

$I=\delta(k-k')-\delta(k+k'),$

dónde $\delta$ es el delta de Dirac .

De manera similar, podemos encontrar que la transformada de Fourier de la segunda onda esférica, la que tiene $0$ Función de Neumann esférica de º orden (la parte real de la función OP):

h (r) = k^{'} y_{0} (k^{'} r) = \frac{porque (k^{'} r)}{r} .

$h(\mathbf r)=k'y_0(k'r)=\frac{\cos(k'r)}r.$

La transformada de Fourier de éste se reduciría (hasta multiplicador constante) a tomar la transformada sinusoidal del $\cos(k'r)$ , y finalmente obtendremos la misma transformada de Fourier que en la respuesta de kennytm :

F [h] (k \hat{z}) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{k^{2} - k^{' 2}} .

$\mathcal F[h](k\hat{\mathbf z})=\sqrt{\frac2\pi}\frac1{k^2 - k'^2}.$

Ahora podemos compilar la transformada de Fourier completa de la onda en ejecución dada en el OP:

F (r) = \frac{{mi}^{i k^{'} r}}{r} .

$f(\mathbf r)=\frac{e^{ik'r}}r.$

Es la combinación de los dos resultados encontrados arriba:

F [F] (k \hat{z}) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{k^{2} - k^{' 2}} + \frac{i}{k} \sqrt{\frac{π}{2}} (d (k - k^{'}) - d (k + k^{'})) .

$\boxed{\mathcal{F}[f](k\hat{\mathbf z})=\sqrt{\frac2\pi}\frac1{k^2 - k'^2}+\frac i k\sqrt{\frac\pi2}\big(\delta(k-k')-\delta(k+k')\big).}$

Creo que la respuesta es: $F [F] (k \hat{z}) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{1}{k^{2} - k^{' 2}} + \frac{i}{k} \sqrt{\frac{π}{2}} (d (k - k^{'}) - d (k + k^{'})) .$ $\mathcal F[f](k\hat{\mathbf z})=\sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{1}{k^2-k'^2}+\frac{i}{k}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\delta(k-k')-\delta(k+k')\right).$ He agregado los comentarios con cálculos a la respuesta de kennytm.

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