¿Por qué seguimos interpolando en las tablas de rendimiento?

Estuve en el negocio de publicaciones técnicas (manuales de vuelo y mantenimiento) en otra vida. Las tablas se utilizan como una alternativa a las presentaciones gráficas de tramas en los manuales de vuelo y facilitan un poco el acceso a la información, por ejemplo, sentado con el libro en el regazo. Con la trama gráfica, debe desplegar la hoja y colocarla plana para poder trabajar en la página, tal vez necesite cosas como bordes rectos para ayudar a ubicar los puntos de datos en relación con las escalas de margen en un gráfico. Las fórmulas matemáticas normalmente no se presentan porque eso requeriría que los pilotos hicieran matemáticas, y la mayoría de los pilotos se vuelven catatónicos cuando se ven obligados a hacer matemáticas.

Dividir la información en tablas acorta el proceso de selección de los datos que necesita en comparación con un diagrama gráfico, pero para ahorrar espacio de publicación, los incrementos de la presentación de datos se limitan a incrementos bastante grandes. Se podría presentar una tabla que incluyera cada unidad de información, pero hacerlo podría requerir que la tabla se extendiera a lo largo de 20 páginas en lugar de 2. Limitar la tabla a, digamos, incrementos de 10 unidades, reduce el espacio que usa, pero requiere que interpole, o haga una conjetura, sobre la unidad precisa dentro de ese bloque de 10 unidades para usar. Cuando las tablas se usan así, es porque la "suposición" interpolada es lo suficientemente precisa para el trabajo.

El ejemplo más extremo de esto podría encontrarse en los Manuales de referencia rápida utilizados por las tripulaciones de vuelo para los procedimientos y datos de rendimiento. La información original para algún parámetro de desempeño siempre estará en el Manual de Vuelo del Avión, en la forma de un cuadro gráfico de elementos múltiples (el documento de certificación raíz básicamente), pero normalmente no tiene eso a mano en la cabina y si lo tuviera realmente no podrías usarlo de todos modos; tienes el QRH.

Por lo general, está utilizando el QRH sentado en la cabina con una pequeña luz de mapa para ver, y un formato de trazado gráfico simplemente no funcionará. El QRH condensa los datos en tablas, lo que hace que sea mucho más rápido calcular los datos que necesita y, al usar las tablas, la interpolación de valores entre los incrementos enumerados es lo suficientemente precisa como para hacer el trabajo.

Por lo tanto, está perfectamente bien ver una tabla que da un resultado de 10, 20, 30 y 40, por ejemplo, y usted adivina que el valor que necesita está entre 10 y 20, y 17 "parece correcto". La idea es que si el valor verdadero es 16 o 18, en ese caso, hace poca diferencia material en el mundo real.

Me recuerda cuando el uso de calculadoras de vuelo electrónicas para reemplazar las reglas de cálculo circulares se hizo popular en los años 80. Todos los que conocía estaban comprando esas nuevas calculadoras de vuelo, pero nunca me molesté porque eran baratas y porque el resultado súper preciso que daba no era algo que pudieras lograr en un vuelo normal de todos modos. Es posible que la regla de cálculo circular de Jeppesen solo tenga una precisión de un nudo o un grado, mientras que la calculadora electrónica se reduce a lugares decimales, pero nadie puede volar con esa precisión y la regla de cálculo es lo suficientemente buena si no está tratando de navegar hacia el Luna. Además, si te vuelves bueno con la regla de cálculo circular de Jepps, puedes sostenerla y hacer soluciones con una mano, obteniendo un resultado utilizable en mucho menos tiempo del que tomó la calculadora con todas las teclas.

Usar una tabla en lugar de una fórmula precisa o un diagrama gráfico es algo así.

Para la mayor parte de la información de esos gráficos no existe una fórmula única que cubra todos los aspectos. La forma gráfica es la más simple y tiene otras ventajas también:

1. Con una fórmula es fácil usar un número equivocado sin darse cuenta. En el gráfico, puede ver a dónde conducen los valores vecinos para que pueda verificar fácilmente si su resultado es razonablemente correcto.
2. Algunas relaciones no son lineales, por lo que necesitará varias fórmulas, cada una para su propio rango de datos de entrada válidos. El gráfico simplemente ajusta los gradientes de las curvas; en la mayoría de los casos, ni siquiera lo notará.
3. La aviación es extremadamente conservadora. Si un método ha funcionado antes, cambiarlo significa un riesgo adicional por una pequeña recompensa. La lectura de los valores de rendimiento de los gráficos funciona lo suficientemente bien como para que la mejora gradual de una fórmula (¡si es que existe!) no valga la pena.

Las ecuaciones, si existen, a menudo son bastante no lineales y no son agradables de calcular sobre la marcha.

No tengo una ecuación para las RPM a una altitud de presión dada para un Cessna 162, pero si puedo usar una ecuación diferente como ejemplo concreto: corrección de presión para una altitud dada:

$$P(h)=P_0 e^{-\frac{Mg}{RT}h}$$ Esa ecuación es la fórmula barométrica . Ignora todo tipo de efectos reales, pero es una pequeña ecuación bastante buena.$M$,$g$,$R$, y$T$son constantes, por lo que podemos reducirlo a un más manejable$P(h)=P_0 e^{-kh}$.

No sé ustedes, pero hacer exponenciales es complicado para mí. No puedo hacerlos intuitivamente en mi cabeza y es difícil confirmar que los ingresé correctamente en la calculadora. Pero puedo hacer la interpolación lineal, o revisar mi calculadora si la tengo para hacer la interpolación lineal.

Y, francamente, esa es una de las ecuaciones más fáciles que aparecen. Las ecuaciones que menciona hablan del producto de modelos muy complicados (o simplemente datos empíricos que se han muestreado).

/Advertencia: ¡cálculo por delante!/

Si está interesado, puede calcular el error máximo causado por esta interpolación lineal. Las matemáticas tienen ecuaciones para esto. En términos prácticos, todas las ecuaciones que le interesan tienen una segunda derivada en todas partes, por lo que puede usar el teorema de Rolle para encontrar el error en esta interpolación lineal :

$$|R_T| \le\frac{(x_1-x_0)^2}{8} max_{x_0\le x\le x_1}[F^{\prime\prime}(x)]$$ donde miras desde la altura$x_0$a$x_1$y$F^{\prime\prime}$es la segunda derivada de la función que se interpola o un límite superior de la misma. no tienes$F$(que es la ecuación que está pidiendo en la pregunta), pero puede estimarla con diferenciación finita , como$F^{\prime\prime}(x_1)\approx \frac{F(x_0) + 2F(x_1) + F(x_2)}{x_1 - x_0}$y luego poner un margen saludable en él.

Esto es un montón de trabajo. Realmente no espero que lo hagas. Pero proporciona una comparación útil. Si uno no está dispuesto a calcular un conjunto de estimaciones de error mientras está sentado en el suelo, ¿qué tan dispuesto está uno a calcular las ecuaciones reales en el aire?

Y si resuelve las estimaciones de error, ahora puede relacionarlas con las incertidumbres, como qué tan bien puede calcular realmente la altitud de presión con los instrumentos que tiene a bordo.

Como ya se ha señalado, muchos de los datos no son resultados de una (única) fórmula. Además de las ecuaciones diferenciales (no lineales), incluso muchas de las correlaciones algebraicas no pueden resolverse analíticamente. Estos deberán resolverse numéricamente (como x + ln(x) = 0 ..)

Muchas de ellas son ecuaciones empíricas en sí mismas, lo que significa que las ecuaciones no se basan en modelos físicos, sino simplemente una aproximación que intenta ajustarse a los valores medidos, que no es muy diferente a la interpolación. p.ej. Factores de fricción de Darcy ( https://en.wikipedia.org/wiki/Darcy_friction_factor_formulae )

Algunos son incluso ambos: puramente empíricos y no solucionables analíticamente: (por diversión ... desplácese hacia abajo hasta "Aproximaciones de la ecuación de la tabla de Colebrook")

Luego están las formas mixtas, como las correlaciones derivadas del análisis dimensional ("teorema pi"), y los coeficientes que provienen de medidas empíricas.

Algunos ejemplos:

Es probable que algunos datos sean el resultado de los cálculos del proceso de diseño y muchas medidas de validación:

• Para el consumo de combustible a diferentes altitudes y temperaturas, asumo firmemente que su Cessna 162 ha sido diseñado para ciertos valores de rendimiento, y luego alguien en Cessna acaba de volar en estas condiciones y realmente midió, y esos son los puntos de datos que tiene en la tabla ( más un poco de suavizado de datos y agregando un poco de margen)

Otros datos son puramente empíricos:

• ¿Qué número de octano necesitas para evitar golpes? ¿Cómo depende el encendido de la mezcla aire-combustible del número de octanos?
• cual es la presion en el neumatico? (como referencia, ¿cómo determinaste la presión en el neumático de tu bicicleta? ¿coche?)

Línea de fondo

Interpolar en una tabla de datos es lo suficientemente bueno en precisión (probablemente no peor que los otros métodos), pero más fácil y menos propenso a errores, por lo tanto, se hace en la cabina.

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Nota adicional: los otros métodos se prestan a predicciones durante la fase de diseño, mientras que las tablas de datos son estáticas y se limitan a valores conocidos dentro de los límites operativos una vez que se fija el diseño. No usaría esas tablas de datos, si tuviera la intención de ... ¿cambiar la envergadura?