¿Por qué se usan las funciones coseno y seno cuando se representa una señal o una onda? [cerrado]

Si bien las funciones de seno y coseno se definieron originalmente en función de triángulos de ángulo recto, mirar ese punto de vista en el escenario actual no es realmente lo mejor. Es posible que te hayan enseñado a reconocer la función Seno como "opuesta a la hipotenusa", pero ahora es el momento de tener un punto de vista ligeramente diferente.

Considere el círculo unitario$x^2+y^2=1$en un plano cartesiano. Supongamos que una recta que pasa por el origen forma un ángulo$\theta$con el$x$-eje en sentido antihorario, el punto de intersección de la línea y el círculo es$(\cos{\theta},\sin{\theta})$.

Piénsalo. ¿Este punto de vista se correlaciona con el anterior? Ambas definiciones son iguales.

Así que te preguntarás, ¿por qué necesitamos este punto de vista ? Bueno, diría que es más fácil entender cómo las ondas sinusoidales son realmente importantes en muchos fenómenos comunes. Supongamos que comenzamos a girar la línea, haciendo$\theta$aumentar linealmente. Obtendrías algo como esto:

Las funciones Seno y Coseno son posiblemente las funciones periódicas más importantes en varios casos:

1. Las funciones periódicas de cómo cambian el desplazamiento, la velocidad y la aceleración con el tiempo en los osciladores SHM son funciones sinusoidales.

2. Toda partícula tiene naturaleza ondulatoria y viceversa. Esta es la dualidad onda-partícula de De-Broglie. Las ondas son siempre funciones sinusoidales de alguna cantidad física (como el campo eléctrico para las ondas EM y la presión para las ondas sonoras).

El sonido en sí mismo es una perturbación de presión que se propaga a través de medios materiales capaces de comprimirse y expandirse. Es la presión en un punto a lo largo de la onda de sonido que varía sinusoidalmente con el tiempo.

Las señales de voz no son ondas perfectamente sinusoidales. Un sonido puro, de un diapasón sería la onda sinusoidal perfecta. Hablar regularmente no es una onda sinusoidal pura ya que las personas no mantienen el mismo volumen o frecuencia. Como resultado, así es como se ve el ruido, en comparación con las frecuencias puras.

Observe las irregularidades en la amplitud y la frecuencia de la onda de ruido.

3. Los voltajes alternos utilizados en los enchufes de todos los días son, de hecho, voltajes que varían sinusoidalmente en función del tiempo.

tl; dr:

Considerar las ondas sinusoidales como "opuestas a la hipotenusa" está lejos de ser la mejor comparación cuando se trata de aplicaciones cotidianas de la física.

Otras lecturas:

1. Historia de la trigonometría
2. Sonido
3. Modelo de onda de radiación electromagnética.
4. Corriente alterna
5. Movimiento armónico simple

Las funciones trigonométricas forman una base para el espacio de "señales razonables". (Para los propósitos de esta respuesta, las "señales razonables" son funciones continuas que tienen energía finita y potencia limitada). La palabra " base " aquí se entiende exactamente de la misma manera que se usa en álgebra lineal. (Esto se discute explícitamente en la página vinculada).

¿Por qué alguien usaría esta base?

tl; dr : esta base captura nuestra experiencia de descomposición de la señal en componentes espectrales o de frecuencia. Además, tiene propiedades matemáticas que hacen que algunas ecuaciones diferenciales físicamente relevantes sean fáciles de resolver.

Físicamente, corresponde a nuestra experiencia que los sonidos son combinaciones de frecuencias en varias amplitudes y fases. Un acorde musical es un ejemplo simple de esto. Las diferencias entre los instrumentos musicales que tocan la misma nota se deben en gran medida a las amplitudes de los componentes de frecuencia más alta que también produce el instrumento al tocar la nota. También corresponde a nuestra experiencia al mirar la luz después de que ha pasado por un prisma. (Ahora sabemos que) Esta luz se ha dividido en sus diversos componentes de frecuencia. Entonces, estos fenómenos sugieren que sería conveniente/fructífero encontrar una forma de expresar una señal complicada como una suma de funciones periódicas simples. Tenga en cuenta que ambos fenómenos se transportan a través de medios en los que no hay un triángulo físico que corresponda a la señal observada. (Para el sonido, las ondas longitudinales parecen conducir a triángulos degenerados con los tres lados paralelos a la dirección de viaje. Para la luz, los "triángulos" apuntan en la dirección de los campos eléctricos o magnéticos, que son, en cierto sentido, perpendiculares al espacio).

Matemáticamente, esta base es conveniente porque la diferenciación convierte los elementos de la base en vectores en la misma base con la misma frecuencia. Por ejemplo,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sin(9t) = 9 \cos(9t)$. Esto es diferente a lo que sucede con los polinomios, donde la diferenciación toma elementos base polinómicos (que son$t^n$para enteros$n$) a polinomios de diferente grado, por ejemplo,$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} t^2 = 2 t$. Por supuesto, hay (infinitas) otras bases, pero la mayoría de ellas usan funciones que no conoce o no reconocería. (Ejemplos: Daubechies wavelets , coiflets ) La primera base que use podría llamarse "la base de Dirac" (aunque nadie lo hace). En esta base, una señal es una suma de copias de la función desplazadas en el tiempo y escaladas en amplitud.$p(t) = \begin{cases} 1 & t=0 \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases}$, uno para cada instante de tiempo, que cada uno especifica la amplitud de la señal en ese momento. A diferencia de los elementos de la base trigonométrica, el$p$La derivada de ni siquiera es una función, por lo que es una bestia difícil de trabajar. Generalmente, los elementos de otras bases no se diferencian tan bien como las funciones trigonométricas. Entonces, si bien hay muchas bases periódicas que podríamos usar para representar una señal, la base de la función trigonométrica tiene algunas propiedades agradables que las demás no tienen.

Una consecuencia de esta agradable interacción con la diferenciación es que se pueden reducir algunas ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. En particular, la operación$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(t)$en la base de Dirac se convierte en$2 \pi \mathrm{i} \omega \hat{f}(\omega)$(donde el "sombrero" significa la versión de$f$después de cambiar la base a las funciones trigonométricas y$\omega$es una frecuencia). Digamos que queremos resolver

Así que si$\omega$es cualquiera$\pm \frac{k}{2 \pi}$(en unidades de Hertz ), encontramos una solución a nuestro sistema. Es decir, solo hay una frecuencia que es una solución a nuestra ecuación de resonancia. (Está presente en formas de fase creciente o de fase decreciente, pero ambas tienen la misma frecuencia).

Pero el punto es que cambiar de la base de Dirac a la base trigonométrica hizo mucho más fácil resolver este problema. En lugar de tener que resolver una ecuación diferencial, solo tuvimos que hacer un poco de álgebra.

Comentario técnico:

Existen varias convenciones para las transformadas de Fourier (usadas para ir a la base trigonométrica anterior). Puede que estés acostumbrado a uno diferente. En mi trabajo, suelo usar

Las matemáticas han progresado desde la geometría hasta el cálculo y las ecuaciones diferenciales. Se establece que las ecuaciones diferenciales cuyas soluciones describen ondas tienen funciones sinusoidales en esas soluciones. Esto no debería sorprendernos, ya que las ondas son periódicas en el tiempo o en el espacio, y los senos y cosenos son funciones periódicas. Como consecuencia, las ecuaciones diferenciales que tienen soluciones sinusoidales se denominan ecuaciones de onda. Véase también este enlace .

Periodicidad

Algunas excelentes respuestas sobre el$\sin x$y$\cos x$Ya se dieron las funciones y cómo son soluciones a las ecuaciones diferenciales relevantes, pero aún se puede mencionar un punto importante: el seno y el coseno se usan porque son periódicos y las señales/ondas generalmente se consideran o se aproximan por funciones periódicas.

En muchos casos , los polinomios son las funciones de referencia para aproximar otras funciones.$f(x)$(ver, por ejemplo, series de Taylor ), pero típicamente tienen la desventaja de divergir para valores de$x$lejos de un pequeño rango elegido. El seno y el coseno, al ser periódicos, no tienen este problema.

Los senos, como funciones del tiempo, no son solo características de interés geométrico. El comportamiento de algunos componentes eléctricos dependientes del tiempo (condensadores, inductores) es simple (lineal, en cierto sentido) si y solo si uno excita esos componentes con una señal de frecuencia conocida, como la función seno (omega * t + phi). Cuando 'phi' = pi/2, eso es coseno (omega * t).

Gran parte de la señalización se realiza con señales moduladas de banda estrecha, porque la banda estrecha permite un rechazo eficaz del ruido. El ruido, a diferencia de una señal, está presente en TODAS las frecuencias simultáneamente, por lo que se encuentra principalmente fuera del rango de frecuencia sensible de un receptor de banda estrecha. La radio, la televisión, los patrones de magnetización del disco duro, Ethernet, Wi-Fi... todos los mejores canales de comunicación modernos se basan en cierta medida en la selección de frecuencia. Comprender esos métodos y los inductores y capacitores que los implementan requiere una señal de prueba de frecuencia seleccionada para cada cálculo. Una frecuencia pura siendo un seno (omega *t + phi).

Esto implica mucha discusión sobre ondas sinusoidales, generadores de ondas sinusoidales y gráficos contra frecuencia (significativo solo después de la descomposición de una función compleja en... una multiplicidad de ondas sinusoidales).

Primero me gusta señalar la ambigüedad de su pregunta. Las señales de humo no utilizan funciones de seno o coseno. ¡Tampoco una ola de mar! Por lo tanto, voy a suponer que te refieres a ondas de amplitud constante, periódicas, de sonido o electromagnéticas utilizadas como señales.
Comencemos por no saber qué forma tiene una onda , como se describe arriba . Luego usamos un aparato que mide la amplitud de la onda en función del tiempo (o la distancia) desde la fuente. Comenzamos a medir cuando la onda tiene amplitud y medimos los puntos subsiguientes. ¡Luego graficamos los puntos y luego tratamos de ajustar una función trigonométrica conocida y encontramos que el seno (t) se ajusta tan exactamente como podemos hacer las medidas!
Entonces concluimos que esteLa onda se puede representar con precisión mediante una función trigonométrica .
También usamos un generador de imanes permanentes simple y medimos el voltaje de salida a medida que gira el rotor. Luego graficamos la amplitud del voltaje en función del ángulo de rotación$\phi$y como antes, encontramos que podemos ajustar una función trigonométrica seno($\phi$), precisamente. Esto refuerza la noción de que las ondas están representadas con precisión por las funciones trigonométricas (seno/coseno) .