¿Es correcta mi derivación de la fórmula de energía potencial m∗g∗hm∗g∗hm*g*h?

Parece que te diste cuenta de tu error en los comentarios; aquí está la derivación correcta. Comencemos con tu expresión.

$$\Delta E = \left[-\frac{GMm}{r}\right]^{e+h}_e = GMm \left(\frac{1}{e} - \frac{1}{e+h}\right),$$

que es la expresión general correcta para el cambio en la energía potencial gravitacional fuera de un cuerpo esféricamente simétrico. Si$h \ll e$, entonces podemos expandir

$$\frac{1}{e} - \frac{1}{e+h} = \frac{1}{e}\left[1-\frac{1}{1+h/e}\right] \approx \frac{1}{e}\left[1 - \left(1-\frac{h}{e} + \cdots\right)\right] = \frac{h}{e^2} + \cdots,$$

donde usamos la expansión binomial en$1/(1+h/e) = (1+h/e)^{-1} = 1-h/e + \cdots$, donde los puntos son términos que van como$(h/e)^2$. Conectando esto de nuevo, obtenemos

$$\Delta E \approx \frac{GMmh}{e^2} = \frac{GM}{e^2} mh = mgh,$$

donde reconocemos que la aceleración gravitacional en la superficie de la Tierra es$g = GM/e^2$. Esta es la expresión que estás buscando.

(Para mayor diversión: si mantiene el siguiente término en la expansión binomial, es decir, el término que va como$(h/e)^2$, puede demostrar que si un objeto oblongo como una barra puede pivotar libremente alrededor de su centro de masa, preferirá ligeramente colgar hacia arriba y hacia abajo en lugar de horizontalmente. Este efecto es en parte responsable del fenómeno del bloqueo de las mareas, en el que, por ejemplo, la rotación de la Luna se sincroniza con la de la Tierra, de modo que solo vemos el mismo lado de la Luna).

¡Buena pregunta! Ha cometido la falacia formal de "equivocación", que es una palabra elegante para "llamar a dos cosas diferentes (en este caso, números) por el mismo nombre (en este caso,$a$)."

Entonces$a = GM/r^2$es realmente un montón de números diferentes, uno para cada radio posible. Cuando finges que obtienes lo mismo$a$para$GM/e^2$que tienes para$GM/(e + h)^2$, ahí es donde cometes la falacia. Déjame llamar a la primera$a$como$a_0$y el segundo como$a_+$; acabas de escribir$m a_0 e^2/e - m a_+ (e + h)^2/(e+h) = m a_0 e - m a_+ (e + h),$entonces reemplazas ambos$a_0$y$a_+$con$g$, lo cual es sólo aproximadamente cierto si$h$es pequeño.

De hecho, si quieres esto como una expansión de serie, no es muy difícil. El primer paso es factorizar todos los términos comunes:

$$\frac {GMm}{e} - \frac {GMm}{e + h} = \frac {GMm}e \left( 1 - \frac 1{1 + (h/e)}\right).$$ resulta que para $|r| < 1$la serie geometrica $1 + r + r^2 + \dots = \frac 1{1-r}.$Para ver esto, considere la suma finita de la primera $n$términos, $S_n(r) = 1 + r + \dots + r^{n-2} + r^{n-1}.$Ahora hay dos maneras diferentes de llegar desde $S_n(r)$a $S_{n+1}(r)$pero ambos deben llevarte al mismo número. La primera es imaginarse multiplicando cada término de $S_n(r)$con $r$y luego sumando 1; la segunda es simplemente agregar $r^n$hasta el final: $$S_{n+1}(r) = 1 + r S_n(r) = S_n(r) + r^n.$$ Pero ese segundo signo igual es una ecuación que se puede resolver directamente para $S_n(r) = (1 - r^n)/(1 - r).$Entonces sí $|r|<1$el término $r^n$irá a 0 como $n$crece, entonces tenemos $S_\infty(r) = 1/(1-r).$

A su vez si$|h/e| < 1$entonces la serie anterior es

$$1 - \frac1{1+h/e} = 1 - 1 + \frac he - \left(\frac he\right)^2 + \left(\frac he\right)^3 - \left(\frac he\right)^4 + \dots,$$ con el signo alterno proveniente de un $(-1)^n$término de la serie que no plantea problemas teóricos, así que no dejes que te preocupe demasiado.

Para el caso en que$GM/e^2 = g$y$(h/e)^2 \ll (h/e)$(que resulta$h \ll e$Solo el$h/e$término sobrevive y usted simplemente tiene$m g h.$

La sustitución que debes hacer es que$mg = \frac{GM_{\rm E}m}{R^2}$dónde$g$es el valor de la intensidad del campo gravitatorio a una distancia$R$del centro de la Tierra.
Nótese que el valor de$g$no es constante

El cambio en la energía potencial al elevarse desde la distancia.$R$del centro de la Tierra a una distancia$R+h$es

$$-\dfrac{GM_{\rm E}m}{R+h}+\dfrac{GM_{\rm E}m}{R} = \dfrac{GM_{\rm E}m}{R}\left ( \dfrac{-R+R+h}{R+h}\right )=\dfrac{GM_{\rm E}m}{R^2}\dfrac{h}{\left (1 +\frac h R \right )}=\dfrac{mgh}{\left (1 +\frac h R \right )}$$

Así que ahora puedes hacer la aproximación.$h\ll R$Llegar$mgh$por el cambio de energía potencial.