Grupo de Lorentz y clasificación de campos por su transformación bajo transformaciones de Lorentz

Tenga en cuenta que las partículas corresponden a representaciones unitarias irreductibles del grupo de Poincaré (alias grupo de Lorentz no homogéneo), no solo al grupo de Lorentz.

En estas representaciones de Poincaré, los estados están representados por$|p, \lambda \rangle$.$p$es el impulso.

Consideremos representaciones masivas positivas ($p^2 = m^2, p^o >0$) Dejar$\pi=(m,\vec 0)$. Vemos que tenemos la libertad de elegir la polarización, que corresponde a una$S0(3)$simetría. Mirando las representaciones unitarias de$SO(3)$es lo mismo que mirar representaciones de$SU(2)$

Aquí,$\lambda$es una base estatal para un pequeño grupo$SU(2)$representación$s$.

Para una traducción, tenemos:

$$U(a)|p, \lambda \rangle = e^{ iP.a}|p, \lambda \rangle$$

para un miembro$R$del pequeño grupo$SU(2)$, tenemos :

$$U(R)|\pi, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(R)|\pi, \lambda' \rangle$$

Para cualquier$SL(2,C)$matriz$A$, y para cualquier$p$, es posible escribir una expresión :

$$U(A)|p, \lambda \rangle = \sum_{\lambda'} D^{(s)}_{\lambda' \lambda}(W(p, A))| \Lambda_ap, \lambda' \rangle$$ dónde $W(p,A)$es un $SU(2)$pequeño elemento de grupo (ver fórmula $18$en la referencia citada a continuación para más detalles)

Con todo esto, se obtiene una representación unitaria del grupo de Poincaré.

El "espacio de Fock" es la versión cuántica de estas representaciones, es decir, permite estados de varias partículas.

Consulte las páginas de referencia 4 y 5

[EDITAR] "¿Para los campos no es importante tener una norma definida positiva invariante de Lorentz?"

No. Tomemos por ejemplo las ecuaciones de Dirac para el campo bi-espinor. la representacion es$(1/2,0) + (0,1/2)$. Esta no es una representación unitaria. Hay un espinor izquierdo y uno derecho. La transformación podría escribirse:

$$\psi_{L,R} =\rightarrow e^{1/2(i\vec \sigma. \vec \theta \mp \vec \sigma. \vec \phi)}\psi_{L,R},$$

Los parametros$\vec \theta$corresponden a rotaciones, los parámetros$\vec \phi$corresponden a impulsos.

Debido a que la parte de impulso no es unitaria, vemos claramente que la representación no es unitaria.

Entonces, esto significa que la expresión bilineal bispinor$\psi^* \psi = \psi^*_{L}\psi_{L} + \psi^*_{R}\psi_{R}$no se conserva en una transformación de Lorentz [de hecho, por separado, las expresiones bilineales de espinor$\psi^{*}_{L} \psi_{L}$o$\psi^{*}_{R} \psi_{R}$tampoco se conservan]. Recuerde aquí que el$\psi,\psi_{L}, \psi_{R}$son campos, no "función de onda".

Es esto un problema ? No.

Qué es$\psi^*(x) \psi(x)$? Es solo (multiplicado por$e$) la densidad de carga de los campos, es decir$j^0(x)$

Entonces, por supuesto,$j^0(x)$no es un invariante para una transformación de Lorentz, porque es el componente de tiempo de un vector de Lorentz.

El verdadero invariante de Lorentz está aquí:$\overline \psi(x) \psi(x)= \psi^*(x) \gamma^0 \psi(x)$