¿Cómo construyo la representación SU(2)SU(2)SU(2) del Grupo de Lorentz usando SU(2)×SU(2)∼SO(3,1)SU(2)×SU(2)∼SO (3,1)SU(2)\times SU(2)\sim SO(3,1) ?

Aquí hay una derivación matemática. Usamos la convención de signos$(+,-,-,-)$para la métrica de Minkowski$\eta_{\mu\nu}$.

I) En primer lugar recordar el hecho de que

$SL(2,\mathbb{C})$es (la doble portada de) el grupo restringido de Lorentz $SO^+(1,3;\mathbb{R})$.

Esto se debe en parte a que:

1. Hay una isometría biyectiva del espacio de Minkowski$(\mathbb{R}^{1,3},||\cdot||^2)$al espacio de$2\times2$Matrices hermitianas$(u(2),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{R}^{1,3} ~\cong ~ u(2) ~:=~\{\sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid \sigma^{\dagger}=\sigma \} ~=~ {\rm span}_{\mathbb{R}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$\mathbb{R}^{1,3}~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ u(2),$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma), \qquad \sigma_{0}~:=~{\bf 1}_{2 \times 2}.\tag{1}$$

2. Hay una acción de grupo. $\rho: SL(2,\mathbb{C})\times u(2) \to u(2)$dada por

   $$g\quad \mapsto\quad\rho(g)\sigma~:= ~g\sigma g^{\dagger}, \qquad g\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2), \tag{2}$$ que preserva la longitud, es decir$g$es una transformación pseudoortogonal (o de Lorentz). En otras palabras, hay un homomorfismo de grupo de Lie
   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad O(u(2),\mathbb{R})~\cong~ O(1,3;\mathbb{R}) .\tag{3}$$

3. Ya que$\rho$es un mapa continuo y$SL(2,\mathbb{C})$es un conjunto conexo, la imagen$\rho(SL(2,\mathbb{C}))$debe volver a ser un conjunto conexo. De hecho, uno puede mostrar que hay un homomorfismo de grupo de Lie sobreyectivo$^1$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO^+(u(2),\mathbb{R})~\cong~ SO^+(1,3;\mathbb{R}) ,$$ $$\rho(\pm {\bf 1}_{2 \times 2})~=~{\bf 1}_{u(2)}.\tag{4}$$

4. el grupo de la mentira $SL(2,\mathbb{C})=\pm e^{sl(2,\mathbb{C})}$tiene álgebra de mentira

   $$sl(2,\mathbb{C}) ~=~ \{\tau\in{\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) \mid {\rm tr}(\tau)~=~0 \} ~=~{\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{i} \mid i=1,2,3\}.\tag{5}$$

5. El homomorfismo del grupo de Lie$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \to O(u(2),\mathbb{R})$induce un homomorfismo del álgebra de Lie

   $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\to o(u(2),\mathbb{R})\tag{6}$$ dada por $$\rho(\tau)\sigma ~=~ \tau \sigma +\sigma \tau^{\dagger}, \qquad \tau\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma\in u(2),$$ $$\rho(\tau) ~=~ L_{\tau} +R_{\tau^{\dagger}},\tag{7}$$ donde hemos definido la multiplicación izquierda y derecha de$2\times 2$matrices $$L_{\sigma}(\tau)~:=~\sigma \tau~=:~ R_{\tau}(\sigma), \qquad \sigma,\tau ~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{8}$$

II) Nótese que el álgebra de Lorentz Lie$so(1,3;\mathbb{R}) \cong sl(2,\mathbb{C})$no _$^2$contener dos copias perpendiculares de, digamos, el álgebra de Lie real$su(2)$o$sl(2,\mathbb{R})$. Para comparación y exhaustividad, mencionemos que para otras firmas en$4$dimensiones, uno tiene

$$SO(4;\mathbb{R})~\cong~[SU(2)\times SU(2)]/\mathbb{Z}_2, \qquad\text{(compact form)}\tag{9}$$

$$SO^+(2,2;\mathbb{R})~\cong~[SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})]/\mathbb{Z}_2.\qquad\text{(split form)}\tag{10}$$

La forma compacta (9) tiene una buena prueba usando cuaterniones

$$(\mathbb{R}^4,||\cdot||^2) ~\cong~ (\mathbb{H},|\cdot|^2)\quad\text{and}\quad SU(2)~\cong~ U(1,\mathbb{H}),\tag{11}$$

vea también esta publicación de Math.SE y esta publicación de Phys.SE. La forma dividida (10) usa una isometría biyectiva

$$(\mathbb{R}^{2,2},||\cdot||^2) ~\cong~({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}),\det(\cdot)).\tag{12}$$

Para descomponer el espacio de Minkowski en representaciones de espinor de Weyl de mano izquierda y derecha, uno debe ir a la complejización , es decir, debe usar el hecho de que

$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$es (la doble cubierta de) el grupo propio de Lorentz complejizado$SO(1,3;\mathbb{C})$.

Tenga en cuenta que las Refs. 1-2 no discuten la complejidad$^2$. Uno puede más o menos repetir la construcción de la sección I con los números reales$\mathbb{R}$reemplazado por números complejos$\mathbb{C}$, sin embargo con algunas salvedades importantes.

1. Hay una isometría biyectiva del espacio de Minkowski complejizado$(\mathbb{C}^{1,3},||\cdot||^2)$al espacio de$2\times2$matrices$({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\det(\cdot))$,

   $$\mathbb{C}^{1,3} ~\cong ~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ~=~ {\rm span}_{\mathbb{C}} \{\sigma_{\mu} \mid \mu=0,1,2,3\},$$ $$M(1,3;\mathbb{C})~\ni~\tilde{x}~=~(x^0,x^1,x^2,x^3) \quad\mapsto \quad\sigma~=~x^{\mu}\sigma_{\mu}~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}) ,$$ $$||\tilde{x}||^2 ~=~x^{\mu} \eta_{\mu\nu}x^{\nu} ~=~\det(\sigma).\tag{13}$$ Tenga en cuenta que las formas se consideran bilineales en lugar de sesquilineales .

2. Hay un homomorfismo de grupo de Lie sobreyectivo$^3$
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})~\cong~ SO(1,3;\mathbb{C})\tag{14}$$ dada por $$(g_L, g_R)\quad \mapsto\quad\rho(g_L, g_R)\sigma~:= ~g_L\sigma g^{\dagger}_R,$$ $$g_L, g_R\in SL(2,\mathbb{C}),\qquad\sigma~\in~ {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}).\tag{15}$$

3. el grupo de la mentira$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$tiene álgebra de mentira$sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})$.

4. El homomorfismo del grupo de Lie
   

   $$\rho: SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C}) \quad\to\quad SO({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{16}$$ induce un homomorfismo del álgebra de Lie $$\rho: sl(2,\mathbb{C})\oplus sl(2,\mathbb{C})\quad\to\quad so({\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),\mathbb{C})\tag{17}$$ dada por $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R)\sigma ~=~ \tau_L \sigma +\sigma \tau^{\dagger}_R, \qquad \tau_L,\tau_R\in sl(2,\mathbb{C}),\qquad \sigma\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{C}),$$ $$\rho(\tau_L\oplus\tau_R) ~=~ L_{\tau_L} +R_{\tau^{\dagger}_R}.\tag{18}$$

La acción de la izquierda (que actúa desde la izquierda en un vector de columna complejo bidimensional) produce, por definición, la representación del espinor (de Weyl para zurdos)$(\frac{1}{2},0)$, mientras que la acción correcta (que actúa desde la derecha en un vector de fila complejo bidimensional) produce, por definición, la representación del espinor conjugado de Weyl / complejo diestro$(0,\frac{1}{2})$. Lo anterior muestra que

El espacio de Minkowski complejizado$\mathbb{C}^{1,3}$es un$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$representación del grupo Lie$SL(2,\mathbb{C}) \times SL(2,\mathbb{C})$, cuya acción respeta la métrica de Minkowski.

Referencias:

1. Anthony Zee, Quantum Field Theory in a Nutshell, 1ª edición, 2003.

2. Anthony Zee, Teoría cuántica de campos en pocas palabras, 2.ª edición, 2010.

---

$^1$Es fácil comprobar que no es posible describir transformaciones de Lorentz discretas, como, por ejemplo, la paridad $P$, inversión del tiempo $T$, o$PT$con un elemento de grupo$g\in GL(2,\mathbb{C})$y fórmula (2).

$^2$Para reírse, revise la segunda oración incorrecta (de varias maneras) en la página 113 en la Ref. 1: "Los matemáticamente sofisticados dicen que el álgebra$SO(3,1)$es isomorfo a$SU(2)\otimes SU(2)$." La declaración corregida sería, por ejemplo, "Los matemáticamente sofisticados dicen que el grupo$SO(3,1;\mathbb{C})$es localmente isomorfo a$SL(2,\mathbb{C})\times SL(2,\mathbb{C})$." Sin embargo, me apresuro a agregar que el libro de Zee es en general un libro muy bueno. En la Ref. 2, se elimina la oración anterior y se incluye una subsección llamada "Más sobre$SO(4)$,$SO(3,1)$, y$SO(2,2)$" se añade en la página 531-532.

$^3$No es posible imitar una transformación de Lorentz impropia$\Lambda\in O(1,3;\mathbb{C})$[es decir, con determinante negativo$\det (\Lambda)=-1$] con la ayuda de dos matrices$g_L, g_R\in GL(2,\mathbb{C})$en la fórmula (15); como, por ejemplo, la transformación de paridad espacial

$$P:~~(x^0,x^1,x^2,x^3) ~\mapsto~ (x^0,-x^1,-x^2,-x^3).\tag{19}$$ De manera similar, las representaciones del espinor de Weyl son representaciones de (la doble cubierta de) $SO(1,3;\mathbb{C})$pero no de (la doble cubierta de) $O(1,3;\mathbb{C})$. Por ejemplo, la transformación de paridad espacial (19) se entrelaza entre las representaciones del espinor de Weyl para zurdos y para diestros.

Para el problema en cuestión formulado de manera precisa, „ Demuestre que el$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$representación de la$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$group is* the Lorentz 4-vector" , la solución, que no es tan evidente en la buena publicación de Qmechanic, debe exhibirse mediante un cálculo directo / de fuerza bruta. Esto es relativamente fácil, y cito de mi diploma / Graduación de Batchlor's papel (escrito en mi rumano nativo)

PARTE 1:

Dejar$\psi_{\alpha}$sean las componentes de un espinor de Weyl sobre la base canónica en un espacio vectorial bidimensional en el que la fundamental$\left(\frac{1}{2},0\right)$representacion de$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$"vive". Ídem para$\bar{\chi}_{\dot{\alpha}}$y la representación contragradiente del mismo grupo,$\left(0,\frac{1}{2}\right)$. Entonces, como aplicación del teorema de Clebsch-Gordan para$\mbox{SL}(2,\mathbb{C})$:

LEMA:

$\begin{equation} \psi _{\alpha }\otimes \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv \psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}=\left[ \frac{1% }{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{% \beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\equiv V^{\mu}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}\text{.} \end{equation}$

PRUEBA:

$\left[ \frac{1}{2}\psi ^{\beta }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }^{\stackrel{\bullet }{\beta }% }\right] \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }}=% \frac{1}{2}\left( \varepsilon ^{\beta \gamma }\psi _{\gamma }\right) \left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \varepsilon ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\stackrel{\bullet }{\gamma }}\overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right) \left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =-\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\varepsilon ^{\beta \gamma }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{% \bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{% \alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\left[ \varepsilon ^{\gamma \beta }\varepsilon ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\beta \stackrel{\bullet }{\beta }}\right] \overline{\chi }_{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{% \bullet }{\alpha }} \\ =\frac{1}{2}\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% \gamma }\left( \sigma _{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\alpha }} \\ =\psi _{\gamma }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{% \stackrel{\bullet }{\alpha }}^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}\delta _{\alpha }^{\gamma }=\psi _{\alpha }\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}$

Esta prueba hace que las matrices de Pauli sean vistas como coeficientes de Clebsch-Gordan.

PARTE 2:

TEOREMA:

$V^{\mu}\left(\psi,\chi\right)$definido anteriormente es un 4-vector de Lorentz (es decir, son componentes de un 4-vector de Lorentz visto como un miembro genérico de un espacio vectorial que lleva la representación fundamental del grupo restringido de Lorentz$\mathfrak{Lor}(1,3)$).

PROOF:

$V'^{\mu}\equiv \left( \phi ^{\prime }\right) ^{\alpha }\left( \sigma ^{\mu }\right) _{\alpha \stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }}=-\left( \overline{\chi }^{\prime }\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }\left( \phi ^{\prime }\right) _{\beta }=-\left( M^{*}\right) _{\stackrel{\bullet }{\alpha }}{}^{\stackrel{% \bullet }{\beta }}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\gamma } \\ =-\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\delta _{\stackrel{\bullet }{% \gamma }}^{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( M^{\dagger }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\delta _{\gamma }^{\zeta }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{% \sigma }^{\nu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }}{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }% }\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\phi _{\zeta } \\ =-\frac{1}{2}\left[ \left( M^{\dagger }\right) ^{\stackrel{\bullet }{\gamma }% }{}_{\stackrel{\bullet }{\alpha }}\left( \overline{\sigma }^{\mu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\alpha }\beta }M_{\beta }{}^{\gamma }\left( \sigma _{\nu }\right) _{\gamma \stackrel{\bullet }{\gamma }}\right] \left[ \overline{\chi }_{\stackrel{\bullet }{\beta }}\left( \overline{\sigma }^{\nu }\right) ^{% \stackrel{\bullet }{\beta }\zeta }\phi _{\zeta }\right] \\ =-\frac{1}{2}Tr\left( M^{\dagger }\overline{\sigma }^{\mu }M\sigma _{\nu }\right) \left( \overline{\chi }\overline{\sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =-\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \overline{\chi }\overline{% \sigma }^{\nu }\phi \right) \\ =\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) \left( \phi \sigma ^{\nu }\overline{% \chi }\right) \equiv \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\left( M\right) V^{\nu}$

*is = en el sentido de la teoría de la representación de grupos, significa que los espacios vectoriales portadores de las dos representaciones son isomorfos, que es el contenido del lema. Nota para el lector: la demostración del teorema utiliza el hecho de que estos espinores "clásicos" tienen paridad de Grassmann 1. Esto explica la aparición y desaparición del signo "-".