¿Cómo implica el principio holográfico la no localidad?

La no localidad de la gravedad no significa que la invariancia de Lorentz esté rota, la invariancia de Lorentz y la localidad son conceptos separados. Simplemente significa que para definir el estado del universo en un punto determinado, necesitas saber lo que sucede en todas partes, el espacio de estado no se descompone en una base de operadores locales.

"Localidad" es un término un poco sobrecargado, y para esta discusión asumiré que significa que hay operadores bosónicos en cada punto que conmutan en una separación similar al espacio (campos bosónicos y bilineales en campos de Fermi). Esto significa que los estados de la base ortogonal en un momento son todos los valores posibles de los estados del campo bosónico en una hipersuperficie similar al espacio, y sobre las variables de Fermi Grassman si desea tener fermiones.

Si extiende esta idea al espacio-tiempo curvo ya distancias arbitrariamente cortas, obtiene una divergencia completamente ridícula en el número de estados de los agujeros negros. Este fue el mayor descubrimiento de 'tHooft, que es la base del principio holográfico.

Para ver esto, considere la solución exterior de Schwarzschild, la temperatura t local es la periodicidad de la solución de tiempo imaginario, y diverge como 1/a donde a es la distancia al horizonte (esta distancia se mide por la métrica, que es divergente en coordenadas r, por lo que no es$r-2m$para r cerca del horizonte, pero proporcional a$\sqrt{r-2m}$. Con este cambio de variables, el horizonte es localmente Rindler).

Suponiendo que los campos son locales cerca del horizonte, las fluctuaciones térmicas de los campos consisten en una suma sobre la entropía de las fluctuaciones de campos térmicos independientes a la temperatura local. Puede estimar la entropía (por unidad de área del horizonte) en estas fluctuaciones integrando la entropía en cualquier r con respecto a r. La densidad de entropía de un campo libre (digamos EM) a la temperatura T es como$T^{3}$, por lo que obtienes

La convergencia en A grande es falsa, el factor de corrimiento al rojo tiene asíntotas constantes en la solución real, por lo que se obtiene una entropía divergente. Esto es sensato, es solo la entropía global del gas de radiación en equilibrio con el agujero negro. Pero esta integral es divergente cerca del horizonte, de modo que el vacío de Hawking del agujero negro en una teoría de campo cuántico local en el espacio-tiempo curvo lleva una piel de entropía infinita.

Esta entropía divergente es inconsistente con la imagen de un agujero negro formándose y evaporándose de manera unitaria, es inconsistente con la intuición física tener una entropía tan enorme en un pequeño agujero negro arbitrario, es simplemente ridículo. Por lo tanto, cualquier teoría cuántica de la gravedad con el número adecuado de grados de libertad debe ser no local cerca del horizonte de un agujero negro y, por extensión natural, en todas partes.

La divergencia es intuitiva --- está diciendo que puede caber una cantidad infinita de información justo cerca del horizonte, porque en realidad nada cae desde el punto de vista exterior. Si los campos son realmente locales, puede incluir una biblia de Gutenberg y extraer todo el texto mediante cuidadosas mediciones de campo locales cien años después. Esto es una tontería: la información debería fusionarse con el agujero negro y volver a emitirse en la radiación de Hawking, pero eso no es lo que dice el QFT semiclásico en el espacio curvo.

'tHooft primero arregló esta divergencia con una pared de ladrillos, un corte en las integrales para hacer que la entropía saliera bien. Este corte fue una heurística de dónde se descompone la localidad. Para corregir la pérdida de información, alrededor de 1986, consideró lo que sucede cuando una partícula vuela hacia un agujero negro y cómo podría influir en las emisiones. Se dio cuenta de que la única forma en que la partícula podía influir en las emisiones era a través de la deformación gravitacional que la partícula deja en el horizonte.

Esta deformación no es local, ya que la forma del horizonte está determinada por los rayos de luz que llegan al infinito. El backtracing mostró que una partícula que cae deja una huella gravitacional en el horizonte, como una protuberancia en el poste de una tienda de campaña donde va a entrar. Podía manejar la matriz S imaginando que las protuberancias están haciendo toda la física, el movimiento del horizonte en sí, y esta descripción de protuberancias en el horizonte era claramente similar al formalismo del operador de vértice en la teoría de cuerdas, pero con loco acoplamiento imaginario, y todo tipo de comportamiento incorrecto. Ahora se sabe que esto se debe a que estaba considerando un agujero negro térmico de Schwartzschild, en lugar de uno extremo. En los agujeros negros extremos, el análogo natural a la construcción 'tHoofts es AdS/CFT.

Teoria de las cuerdas

En la teoría de cuerdas, tiene una no localidad que fue desconcertante desde el principio: la dispersión de cuerdas solo se define en el caparazón, y la única extensión a un formalismo fuera del caparazón requiere que tome las coordenadas del cono de luz. Esto se consideró una vergüenza en la teoría de cuerdas en la década de 1980, porque para definir un punto de espacio-tiempo, necesita conocer operadores fuera de la capa que puede transformar Fourier para encontrar funciones de correlación punto a punto.

En la década de 1990, se reevaluó esta no localidad de la matriz S. Susskind argumentó heurísticamente que un estado de cuerda altamente excitado debería ser indistinguible de un gran agujero negro térmico. Uno de los argumentos era que las cuerdas con un acoplamiento débil a un gran número de excitación son largas y enredadas, y deberían tener la relación energía-radio correcta.

Otro de los argumentos de Susskind es que una cuerda que cae en un agujero negro debería excitarse mucho térmicamente, alargarse y volverse tan ancho como el agujero negro en la pared de ladrillos de 'tHooft, de modo que la pared de ladrillos no sea una superficie imaginaria para cortar. de una integral, pero el punto donde las cuerdas en la teoría de cuerdas ya no son pequeñas en comparación con el agujero negro, y la descripción ya no es local.

Susskind argumentó que en grandes números de ocupación, termodinámicamente es preferible tener una cuerda larga en lugar de dos cuerdas con la mitad de la excitación. Esto se debe esencialmente al crecimiento exponencial de los estados en la teoría de cuerdas, al comportamiento de Hagedorn. Pero significa que la imagen de una cuerda que cae en un agujero negro se considera mejor como una cuerda que se fusiona con la cuerda grande que ya es el agujero negro.

Polchinsky también identificó las branas D con agujeros negros, y las dualidades entre las branas D y las cuerdas F dejaron claro que todo en la teoría de cuerdas era realmente un agujero negro. Esto resolvió el misterio de por qué las cuerdas fueron descritas por una teoría 2d que reproducía de manera tan extraña la física de dimensiones superiores --- era solo un ejemplo de las descripciones holográficas de 'tHooft'.

Todo este material ejerció una tremenda presión para encontrar una realización matemáticamente precisa real del principio holográfico. Esto fue hecho por primera vez por Banks Fischler Shenker y Susskind, pero el mejor ejemplo es el de Maldacena.

AnuncioS/CFT

En AdS/CFT, mira cerca de una pila de 3 branas tipo IIB para obtener la geometría cercana al horizonte (que ahora es AdS curva, no Rindler plano, porque los agujeros negros son extremos), e identifica la dinámica de la teoría de cuerdas cerca del horizonte con la teoría de baja energía sobre las propias branas, que consiste en cuerdas abiertas pegadas a las branas, o la teoría de norma N=4 SUSY SU(N) (el grupo de norma SU(N) proviene de los factores de Chan-Paton , el N=4 SUSY es el SUSY del fondo de la brana, y la invariancia superconforme se identifica con la simetría geométrica de AdS).

La correspondencia asigna el grupo de traducción de AdS para involucrar un operador de dilatación en la teoría de campo, de modo que si crea un estado de campo N = 4 que está más o menos localizado en algún punto de AdS, y se mueve en una de las direcciones de AdS, corresponde a agrandar la gota sin cambiar su centro. Esto significa que no hay absolutamente ninguna localidad en el lado de AdS, solo en el lado de CFT. Dos puntos ampliamente separados están representados por manchas CFT de diferente escala, no por un estado CFT de posición diferente, por lo que no es posible que estén conmutando, excepto en alguna aproximación de baja energía. La CFT es local, pero esta es una localidad límite, análoga a la localidad del cono de luz, no una localidad a granel. No hay localidad a granel.

Esta no localidad es tan obvia que no sé justificarla más que lo dicho. No hay cuatro dimensiones de operadores bosónicos conmutadores en la teoría N=4, solo 3 dimensiones. No hay cinco dimensiones del espacio-tiempo, solo cuatro. La dimensión restante es emergente por diferentes escalas en el CFT. Así que este ejemplo es hermético --- la teoría de cuerdas es definitivamente no local, y no local en el sentido correcto sugerido por los argumentos de 'tHooft y Susskind.