Condensador de disco paralelo finito dual; estimar matemáticamente que el potencial o el campo o la distribución es casi uniforme desde los primeros principios

Trabajando a través de Purcell. En particular, haciendo todo lo posible para poner todo sobre una base firme, matemáticamente, para que pueda entenderlo. Pero he luchado toda la semana para establecer a partir de principios básicos que el potencial/campo/distribución para una configuración de dos discos capacitivos de radio 1 y separación s a lo largo del mismo eje cilíndrico es "casi" uniforme. En el libro, como en todos los demás libros de este nivel, al parecer, se evidencia simplemente mediante un diagrama de línea de campo dibujado de acuerdo con una solución estimada numéricamente del problema del valor en la frontera, ninguno de los cuales se desarrolla en el texto ni siquiera en el ejercicios.

No me interesa obtener la distribución exacta, ni siquiera una estimación exacta; Solo quiero una estimación lo suficientemente buena para establecer la afirmación de que esta configuración, con discos finitos en separación finita, exhibe el tipo de comportamiento de los ejemplos de experimentos mentales fáciles con placas infinitas o separación infinitesimal o donde las placas son superficies de esferas anidadas tan grandes que la curvatura es trivial.

He intentado obtener estimaciones de muchas formas: utilizando la relación armónica entre las derivadas parciales y el conocimiento de que el campo es lineal en el origen; usando las propiedades promedio del laplaciano y también el hecho de que el laplaciano del potencial es proporcional a la densidad de carga; Incluso obtuve con éxito (¡a mano!) estimaciones para la distribución de carga y el campo eléctrico en un disco aislado. El único problema en el libro que parece relacionado es el de verificar que una varilla capacitiva infinitesimalmente delgada de longitud finita tendrá una distribución uniforme (esto es trivial cuando ya has hecho el disco; también lo hice de la manera sugerida en el libro : donde divides la varilla en N segmentos uniformes y estimas la "corrección"

Por supuesto, dado que tengo una estimación aproximada del campo eléctrico de un solo disco, puedo ver claramente que las líneas de campo tenderán a enderezarse en la región entre dos discos. Pero, estoy luchando por poner alguna medida cuantitativa a esta noción. ¿Algunas ideas?

Una cosa: al mirar libros más avanzados, parece que puede obtener estimaciones sobre la solución apelando a la teoría PDE y estimando las funciones especiales involucradas en la solución que obtiene. No me importa obtener una estimación precisa; ¿Hay alguna forma de principios básicos para hacer esto? Siéntase libre de aplicar suposiciones adicionales: una respuesta que use las palabras "continuidad uniforme" no sería desagradable, si me entiende.

Tengo esta pregunta posiblemente relacionada con MATH.SE. También estoy buscando un argumento de "primeros principios" que pueda convertirse en una prueba rigurosa. ¿Has probado a usar que el campo minimiza su energía?
Hola Keith. Mis herramientas son limitadas: los únicos "argumentos energéticos" que sé aplicar son las habituales afirmaciones de líneas de campo, que no admiten estimaciones numéricas adecuadas de las cosas. Sin embargo, si mira a continuación, verá que los argumentos de simetría, como los que se usan para DERIVAR la densidad del disco conductor (que, como menciona en su publicación, diverge en el borde) del caso de la esfera, junto con algunos ingeniosos trucos de estimación de primeros principios, podría proporcionar una respuesta a ESTE problema. En su problema, solo puedo decir que asumir algún tipo de regularidad podría ayudar (deformar un disco).
Intente pasar por EM primero, luego tal vez reinicie tratando de hacer las cosas precisas (lo cual es una pesadilla en EM). Desafortunadamente, no conozco una aproximación sistemática (que sería necesaria aquí), pero parece que alguien 'resolvió' el problema de los límites: aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.17668

Respuestas (1)

Mejor suposición actual:

Considere el caso de dos discos aislantes de radio R cargados uniforme y opuestamente con una separación s a lo largo del eje polar. Intentamos demostrar que "casi" satisfacen la ecuación de Laplace para cualquier región entre los interiores de las placas, para pequeñas separaciones de placas s. Tome cualquier punto de superficie en el interior de la cara de un disco, x. Alrededor de este punto hay un círculo máximo de radio r que todavía está contenido en el disco original; hay un círculo correspondiente sobre el punto correspondiente en el otro disco.

Ningún círculo contribuye al campo radial, por simetría. Independientemente, el campo en la dirección cenital en x se sigue directamente de la Ley de Gauss: σ / ϵ = q / ( 4 π ϵ R 2 ) (Observe que hemos utilizado el hecho de que la carga se distribuye uniformemente en la CARA de la placa, no en una profundidad finita).

El campo en la dirección radial debe ser acotado (¡en vez de estimado directamente!) de la siguiente manera. La carga en los discos más grandes, pero fuera de los discos más pequeños, es todo lo que puede contribuir al campo radial en el punto en cuestión. Suponga que x corresponde al ángulo cero, en coordenadas cilíndricas. Ciertamente hay un grado moderado de cancelación en el campo radial, incluso entre las contribuciones de una sola placa; creo que es por eso que la solución exacta requiere una teoría de funciones especiales. Pero esto no debe preocuparnos, porque hay SUFICIENTE cancelación cuando comparamos los parches correspondientes de las dos placas con carga opuesta, como se muestra a continuación.

La carga en uno de los discos uniformes, pero no en la vecindad circular máxima alrededor de nuestro punto en cuestión, es q ( π R 2 − π ( R − r ) 2 ) / ( π R 2 ) . Ciertamente, si ignoramos la cancelación interna de esta distribución de carga y la tratamos como una carga puntual directamente en el borde de nuestro círculo más pequeño, no habremos disminuido el campo radial al que estamos tratando de acotar. Hacemos esto para ambos discos, de modo que solo tenemos que observar los efectos radiales de estas dos cargas puntuales para obtener un límite en el campo radial en x. (Mientras que reemplazar la carga en el otro disco con una carga puntual DISMINUYE el campo radial, no lo hace más que el intercambio en el primer disco LO AUMENTA [por el argumento habitual de tipo simetría/triángulos similares/distancia al cuadrado], por lo que el de hecho, el nuevo sistema tiene un campo radial MÁS GRANDE).

La primera carga puntual está a una distancia r de x; el segundo es una distancia ( r 2 + s 2 ) ( 1 / 2 ) de ella, con una inclinación C o s θ = r / ( r 2 + s 2 ) 1 / 2 . Entonces, la componente radial del campo en x, debido enteramente a las cargas puntuales, es:

( q / 4 π ϵ ) ∗ ( R 2 r − r 2 ) / R 2 ∗ [ 1 / r 2 − r / ( r 2 + s 2 ) 3 / 2 ]

Y la relación de los componentes de campo radial a cenital es:

( R 2 r − r 2 ) ∗ [ 1 / r 2 − r / ( r 2 + s 2 ) 3 / 2 ] = ( 2 R / r − 1 ) ∗ ( 1 − 1 / ( 1 + ( s / r ) 2 ) 3 / 2 )

Es evidente que, para cualquier r fijo menor que R, esta expresión converge a cero como lo hace s; es decir, para cualquier subconjunto compacto del interior del disco, podemos encontrar una separación de placas tal que la relación de los campos radial y cenital en cualquier punto de la región sea arbitrariamente pequeña.

En otras palabras, para cualquier subconjunto compacto fijo del interior de los discos, y para cualquier tolerancia finita, podemos encontrar un s pequeño pero finito para que la distribución uniforme satisfaga las condiciones de contorno del problema original en el subconjunto dentro de la tolerancia.

Dado que las soluciones de la ecuación de Laplace (con o sin forzamiento) son únicas para condiciones de frontera mixtas (ya probé esto usando la teoría del potencial, no solo lo afirmé como se hace en el libro), podemos interpretar esta distribución como una solución aproximada a el problema original.

Condensador de disco paralelo finito dual; estimar matemáticamente que el potencial o el campo o la distribución es casi uniforme desde los primeros principios
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