¿Cómo puedo describir teóricamente el potencial entre dos capacitores en serie?

Suponga que imagina que la batería tiene un voltaje variable y comienza con el voltaje en cero. Obviamente todo está descargado.

Ahora enciende la batería hasta 1V. Al hacerlo, esta carga positiva sale del terminal positivo y una carga negativa igual y opuesta sale del terminal negativo. Sabemos que las cargas que salen de los terminales positivo y negativo deben ser las mismas porque la batería es un conductor y no puede desarrollar una carga neta como un capacitor. Llamemos a la carga que deja la batería$Q$.

El único lugar donde puede ir la carga que sale de la batería es en los condensadores, por lo que ambos condensadores ahora tienen una carga de$Q$en ellos. Sabemos que para un capacitor de capacitancia$C$, el voltaje a través del capacitor viene dado por:

Llame al voltaje de la parte superior (1$\mu$F) condensador$V_1$, y el voltaje del fondo (2$\mu$F) condensador$V_2$. Entonces:

Dividiendo la primera ecuación por la segunda más un poco de reordenamiento rápido da:

Los dos voltajes deben sumar 1V porque tenemos una batería de 1V, por lo tanto:

Si sustituyes por$V_1$usted obtiene:

y dividiendo por$(1 + C_2/C_1)$da:

Ordene esto multiplicando arriba y abajo del lado derecho por$C_1$y obtienes la ecuación que estás tratando de probar:

Solo para verificar, alimentar$C_1 = 1$y$C_2 = 2$y$V_2$de hecho sale como 1/3V.

Esto es realmente solo una reafirmación de la respuesta de John Rennie, pero podría ser un poco más fácil de seguir...

Suponga que ambos capacitores inicialmente están descargados (importante, ya que de lo contrario el voltaje de su nodo común no está definido) y la fuente de voltaje es 0.

Ahora aumente la fuente de voltaje hasta 1V. Durante este aumento, la misma corriente i fluye a través de ambos condensadores (ya que están conectados en serie), por lo que

Entonces, las tasas de cambio de los voltajes del capacitor son inversamente proporcionales a sus capacitancias, y también lo serán los voltajes finales del capacitor después de la integración (usando el hecho de que los voltajes del capacitor eran inicialmente cero).

A partir de esa relación, es sencillo llegar a la expresión de su pregunta.

Creo que la forma más rápida de tener una idea intuitiva de esta situación es reconocer que el voltaje en esa parte del circuito es la diferencia de potencial entre los dos capacitores. Y es en referencia a la$0V$terminal de la batería.

La ley de voltaje de Kirchoff nos dice que tenemos que sumar$0V$en un bucle Como C2 =$2 *$C1 tenemos que perder el doble de voltaje sobre C2. Como estamos tratando con$1V$eso significa que perdemos$.66V$sobre C2 y$.33V$sobre C1. Ahora, rastrear el circuito en cualquier dirección lleva rápidamente a la respuesta de que tenemos un voltaje de$.33V$entre los condensadores...