¿Por qué no podemos usar la ley de Gauss para encontrar el campo eléctrico de un cable cargado de longitud finita?

La ley de Gauss es aplicable para un alambre finito. Pero, es inútil en este caso.

En el ejemplo infinito, asumes algunas cosas debido a la simetría, a saber:

Es bastante obvio por qué se pueden asumir estas cosas: moverse hacia arriba y hacia abajo del cable no debería cambiar$\vec E$, por lo que lo tomamos constante. Además, no debe haber sesgo de dirección, por lo que$\vec E$no tiene componente a lo largo del alambre.

De este modo,$\oint \vec E.\mathrm dS\to\oint|\vec E|\mathrm dS_{curved}$(ya que es perpendicular), y luego$\oint|\vec E|\mathrm dS_{curved}\to |\vec E| \oint\mathrm dS_{curved}$(ya que es constante en un radio dado)

Una vez que E está fuera de la integral, podemos integrar fácilmente la$\mathrm dS_{curved}$término.

Por otro lado, para un alambre finito , tenemos:

Se pierde la simetría traslacional a lo largo del alambre (mientras que se conservan la simetría bajo rotaciones y la simetría bajo reflexión a través del origen), y la forma de$\vec E$no es predecible{*}.

Entonces no podemos eliminar el producto escalar, y no podemos tomar$\vec E$fuera de la integral. Dado que la integral es una integral cerrada, es como una integral definida en la que no podemos simplemente diferenciar la ecuación para obtener una respuesta. Así que no podemos resolver la integral de la ley de Gauss, así que estamos perplejos. Tienes que usar la ley de Coulomb y encontrarla tomando elementos.

*^{$\vec E=\frac{k\lambda}{R}\left((sin\alpha+sin\beta)\hat e_r +(cos\alpha-cos\beta)\hat k\right)$. ¿Ver? No predecible.}