¿Por qué no hay un singlete bariónico isospín con espín 3/2?

Primero, el neutrón$n$y el proton$p$tampoco tienen "contrapartes emocionadas" en el decuplet, ¿verdad?

Ahora, los dos multipletes son completamente diferentes. uno tiene ocho$SU(3)_{\rm flavor}$componentes, el otro tiene diez. Así que claramente no es válido llamar a un grupo "excitaciones" del otro.

Debido a que el contenido de quarks (carga y extrañeza) es el mismo, los nombres$\Sigma^\pm$,$\Sigma^0$,$\Xi^-$, y$\Xi^0$del octuplet se reutilizan con asteriscos para representar algunos componentes del decuplet que tienen el mismo contenido de quarks.

Pero es una coincidencia que tengan el mismo contenido de quarks: todavía se transforman como representaciones completamente diferentes del grupo de sabores.

El contenido de quarks$uds$tiene dos bariones en el octillizo, a saber$\Sigma^0$y$\Lambda$. No es casualidad que haya dos de ellos. Es simplemente porque en el diagrama, los 8 componentes están escritos de acuerdo con sus pesos, es decir, los valores propios del$U(1)^2$subgrupo de desplazamiento máximo de$SU(3)$. Y debido a que inevitablemente hay 6 componentes a lo largo del hexágono, los 2 restantes deben estar en el centro. Debido a que la representación de 8 dimensiones es la adjunta, corresponden a nada más que los dos generadores de la$U(1)^2$"Cartan torus" en el álgebra de Lie.

Por otro lado, el decuplet no tiene degeneraciones de este tipo. Los 10 componentes están organizados en filas.$1+2+3+4$y no hay duplicación en ninguna parte. El componente con el$uds$el contenido de quarks se llama simplemente$\Sigma^{*0}$. Tal vez podría llamarse$\Lambda^*$también, porque en realidad tampoco lo es. Pero está matemáticamente garantizado que solo hay un componente del decuplet con el$uds$contenido de quarks. Está garantizado por la teoría de grupos, por la descomposición de la representación de$SU(3)$bajo la$U(1)^2$subgrupo (los pesos de las representaciones).

Uno puede imaginar cómo se ven las representaciones en términos de tensores. La representación de 8 dimensiones es el adjunto con$3^2-1$componentes es como el tensor$T_{a\bar b}$excepto que tenemos tres quarks, no un quark y un antiquark. Incluso con tres quarks, es posible, podemos reemplazar el antiíndice$\bar b$por un antisimétrico$cd$par. Entonces esta representación es un tensor$T_{acd}$cual es$cd$-antisimétrica pero cuya$acd$-la antisimetrización (esa es la huella) se desvanece.

Por otro lado, el decuplet es un tensor simétrico$T_{acd}$. Puedes ver que el tensor simétrico admite todas las combinaciones de$u,d,s$, y cuando especifique cuántos$u$, cuanto$d$, cuanto$s$, el componente está determinado por la simetría del tensor. las tres esquinas$uuu,ddd,sss$están permitidos.

Por otro lado, en el tensor de simetría mixto,$uuu,ddd,sss$están prohibidos debido a la antisimetría en el$cd$índices. Por otro lado, hay dos componentes independientes.$T_{uds}$y$T_{dsu}$. Las cuatro permutaciones restantes están determinadas por el rastro que se desvanece y el$cd$antisimetría.

Simetría y estadística.

Los quarks, siendo fermiones, dictan una función de onda completamente antisimétrica de los tres constituyentes del barión. La función de onda de color es antisimétrica, por lo que la función de onda combinada de espín y sabor debe ser simétrica.

La combinación de espín 1/2 (octeto SU(3)) es de simetría mixta y también lo es la simetría de sabor del octeto bariónico con el que comienza, por lo que puede acomodar tanto singletes de isospín extraños (sabor antisimétrico, Λ ) como trillizos (simétricos, Σ ).

Por el contrario, la combinación de espín 3/2 (SU(3) decuplet) es simétrica de espín, por lo que debe ser simétrica de sabor: ahora tiene espacio para el isotriplete, pero no para el extraño isosinglete, el Λ . Todo se manifiesta cuando observa las funciones de onda SU(6) explícitas, 56 , en su texto.