¿Por qué no usar el lagrangiano, en lugar del hamiltoniano, en QM no relativista?

La mecánica clásica de pregrado presenta tanto lagrangianos como hamiltonianos, mientras que la mecánica cuántica de pregrado parece usar solo el hamiltoniano. Pero la física de partículas, y de manera más general la teoría cuántica de campos, parece que solo usan el lagrangiano, por ejemplo, escuchas sobre el lagrangiano de Klein-Gordon, el lagrangiano de Dirac, el lagrangiano de modelo estándar, etc.

¿Por qué hay un desajuste aquí? ¿Por qué parece que solo los hamiltonianos se usan en la mecánica cuántica de pregrado, pero solo los lagrangianos se usan en la teoría cuántica de campos?

Ambos métodos son equivalentes y se utilizan, a decir verdad. Los momentos y las coordenadas se habían utilizado antes de QM en la cuantización antigua (Bohr), recuerde la cuantización del espacio de fase ∫ d pags d q .
Tal vez valga la pena señalar que el enfoque integral de trayectoria/lagrangiana es muy poco adecuado para el estudio de problemas de estado ligado. Simplemente pruebe el átomo de hidrógeno con el enfoque lagrangiano, ¡incluso Feynman no podría hacerlo!

Respuestas (8)

Para usar lagrangianos en QM, uno tiene que usar el formalismo de integral de camino. Por lo general, esto no se cubre en un curso de QM de pregrado y, por lo tanto, solo se usan hamiltonianos. En la investigación actual, los lagrangianos se usan mucho en QM no relativista.

En QM relativista, uno usa hamiltonianos y lagrangianos. La razón por la que los lagrangianos son más populares es que establece el tiempo y las coordenadas espaciales sobre la misma base, lo que hace posible escribir teorías relativistas de forma covariante. Usando hamiltonianos, la invariancia relativista no es explícita y puede complicar muchas cosas.

Entonces, ambos formalismos se usan tanto en física cuántica relativista como no relativista. Esta es la respuesta muy corta.

También existe un formalismo hamiltoniano covariante de la teoría de campos, en el que el espacio de fase es de dimensión infinita o se usa el lenguaje multisimpléctico. De cualquier manera, las matemáticas son demasiado sofisticadas para ser cubiertas en cursos de (licenciatura) de posgrado.
¿Por qué se deben usar integrales de trayectoria para usar el formalismo lagrangiano para QM?
@StanShunpike Si aplica el formalismo lagrangiano a la mecánica cuántica, termina con el formalismo integral de la ruta. Así lo descubrió Feynman. Si usa el formalismo hamiltoniano, termina con la formulación canónica habitual. Si usas el formalismo newtoniano, bueno, terminas con la mecánica de Bohm. Cf physicstravelguide.com/frameworks

Como señala Weinberg en su libro QFT, en el formalismo hamiltoniano es más fácil comprobar la unitaridad de la teoría porque la unitaridad está directamente relacionada con la evolución, mientras que en el formalismo lagrangiano las simetrías que mezclan el espacio con el tiempo son más explícitas. Por lo tanto, el formalismo hamiltoniano suele ser más conveniente en teorías cuánticas galileanas y no relativistas.

¿A qué te refieres con más explícito?
@StanShunpike Para que una teoría sea invariante de Poincare, el Lagrangiano debe ser un escalar de Poincare, lo que es fácil de ver. La condición equivalente en el formalismo hamiltoniano es que existe un álgebra de Poincaré con el hamiltoniano como componente cero del 4-momentum. Esta condición debe verificarse, ya que no es elemental para ver.

Diría que por la forma en que resuelves los problemas de manera eficiente, así como por la pedagogía. Sin embargo, ambos se usan en ambos casos.

El enfoque del operador hamiltoniano hace hincapié en los aspectos de espectro de la mecánica cuántica, que el estudiante conoce en este punto. − pero aquí hay un lagrangiano

L ( ψ , ∇ ψ , ψ ˙ ) = i ℏ 1 2 ( ψ ∗ ψ ˙ − ψ ∗ ˙ ψ ) − ℏ 2 2 metro ∇ ψ ∗ ∇ ψ − V ( r , t ) ψ ∗ ψ

para la ecuación de Schrödinger

∂ L ∂ ψ ∗ − ∂ ∂ t ∂ L ∂ ∂ ψ ∗ ∂ t − ∑ j = 1 3 ∂ ∂ X j ∂ L ∂ ∂ ψ ∗ ∂ X j = 0.

El Lagrangiano (densidad) es especialmente relevante para la formulación de la integral de trayectoria y, de alguna manera, más cercano a resaltar las simetrías de una teoría de campos. Ningún teorema y así sucesivamente. − pero recuerdo que el libro de Peskin & Schröders sobre teoría cuántica de campos comienza con el enfoque hamiltoniano e introduce métodos de integrales de trayectoria en solo 300 páginas.

Creo que el enfoque hamiltoniano se enfatiza en los estudiantes universitarios debido más a la costumbre y la influencia de Dirac que a una razón matemática profunda. El hamiltoniano también es más fácil de enseñar porque es compatible con las intuiciones clásicas del tiempo.

Históricamente, Dirac abogó con fuerza por la primacía del hamiltoniano, literalmente hasta poco antes de su muerte. Mi propia interpretación de una reprimenda oblicua al Lagrangiano que hizo Dirac en sus Lectures on Quantum Mechanics (1966) (¡una gran lectura!) es que Dirac no estaba contento con la fama que estaba adquiriendo Feynman, aunque Dirac siempre fue tan reservado para expresar su descontento. con otros físicos que es muy difícil de decir con certeza. La minimización de Dirac del valor del enfoque lagrangiano es profundamente irónico, ya que Dirac fue el primero en demostrar que el lagrangiano clásico se puede aplicar a QM [1]. Fue ese mismo papel oscuro el que muchos años después inspiró y desató el notable trabajo de QED de Feynman.

[1] PAM Dirac, El Lagrangiano en Mecánica Cuántica, Phys. Zs. Sowjetunion 3 (1933) No. 1; reimpreso en: J. Schwinger (Ed.), Documentos seleccionados sobre electrodinámica cuántica , 1958, No. 26

A Dirac le importaba un comino la fama. Es bien sabido que quería rechazar el premio Nobel, pero le dijeron que eso solo lo haría más famoso. Estaba molesto por la misma razón por la que renunció a la integral de trayectoria: no sabía qué hacer en el caso de que el hamiltoniano no fuera cuadrático en los momentos. Esto también fue ignorado por Feynman, y solo se resuelve con una visión más general de la integración de caminos que la disponible en el trabajo de Feynman. Desafortunadamente, el caso del momento cuadrático es suficiente para la teoría de campos, por lo que la gente no se da cuenta de que el formalismo, tal como se presenta habitualmente, es incompleto.
@RonMaimon interesante, gracias! No estaba al tanto de esa preocupación específica por parte de Dirac. No tendrías una referencia rápida sobre eso, ¿verdad?... Y en general, cuanto más trabajo original he leído de Dirac, más me quedo boquiabierto. Fue un pensador increíble y (creo) subestimado, incluso dada su fama sustancial.
Bolinger: Dirac es un gran físico, es el fundador de la física de alta energía, pero creo que la gente ya lo reconoce. La historia que leí se refería a la infame conferencia de Pocono (o isla refugio, no recuerdo cuál es cuál) donde Feynman presentó integrales de ruta y diagramas. Dirac comentó que este formalismo no es aparentemente unitario. En sus conferencias sobre teoría de campos de la década de 1960, argumenta que los momentos cuadráticos son lo único que maneja la integral de trayectoria. Puede que me esté equivocando en las citas, lo leí hace mucho, mucho tiempo.
@RonMaimon Hay una formulación integral de ruta del formalismo hamiltoniano. Es equivalente a la formulación habitual para teorías cuadráticas en los momentos.
@orbifold: Y mucha gente dijo (estúpidamente) que la integral de ruta pq no está bien definida porque p y q no conmutan (por ejemplo, Sidney Coleman solía decir esto, es totalmente incorrecto). Además, Dirac habría considerado que la integral de trayectoria pq era equivalente al formalismo canónico (que lo es), ya que selecciona una descomposición pq y una descomposición temporal. Es solo la forma de Feynman (después de hacer la integral p) la que es covariante bajo la relatividad.
El enlace parece muerto ahora.
@urb, que enlace?
@TerryBollinger, el enlace al final de su respuesta muestra un error 404: "No encontrado. La URL solicitada no se encontró en este servidor".
Acabo de redirigir este enlace para señalar dónde se encuentra el documento en la versión de Google Books del libro de Schwinger. Con suerte, eso se mantendrá estable. El artículo en sí es notablemente difícil de localizar en línea, aunque de un vistazo rápido no veo ningún problema de bloqueo de derechos de autor para el artículo original de la revista original.

En pocas palabras

  1. La unitaridad del operador de evolución U(t) es fácil de ver con el formalismo hamiltoniano.
  2. La invariancia de Lorentz de la matriz S (matriz de dispersión) es fácil de ver con el formalismo lagrangiano.

No es cierto " que QFT y la física de partículas se basen en cambio en Lagrangian "

El generador de traslaciones de tiempo en la teoría cuántica es el hamiltoniano, no el lagrangiano; por lo tanto, necesitamos un hamiltoniano para estudiar la evolución del sistema cuántico.

Como se menciona en el Volumen 1 del libro de texto de Weinberg sobre QFT, capítulo 7:

Es el formalismo hamiltoniano lo que se necesita para calcular la matriz S (ya sea por métodos de operador o de integral de ruta), pero no siempre es fácil elegir hamiltonianos que produzcan una matriz S invariante de Lorentz.

El punto del formalismo lagrangiano es que facilita satisfacer la invariancia de Lorentz y otras simetrías: una teoría clásica con una densidad lagrangiana invariante de Lorentz, cuando se cuantifica canónicamente, conducirá a una teoría cuántica invariante de Lorentz. Es decir, veremos aquí que tal teoría permite la construcción de operadores mecánicos cuánticos adecuados que satisfacen las relaciones de conmutación del álgebra de Poincaré y, por lo tanto, conduce a una matriz S invariante de Lorentz.

Por tanto, la receta habitual consiste en postular algún lagrangiano, comprobar que cumple ciertas propiedades básicas, luego derivar un hamiltoniano a partir de ese lagrangiano y, finalmente, utilizar este hamiltoniano para calcular los elementos de la matriz S.

En mi opinión, la elección existente entre los formalismos canónico (Hamiltoniano) y de integral de trayectoria (Lagrangiano) es una consecuencia de gran alcance del dualismo partícula-onda en QM. El primero enfatiza los aspectos espectrales, el segundo puede verse como una profunda generalización del principio de Fermat para la propagación de rayos en óptica. Dado que la mayoría de los experimentos en física de partículas representan algún tipo de dispersión, los aspectos de onda suelen ser más importantes, por lo que el formalismo lagrangiano es mucho más adecuado para el uso práctico.

Los hamiltonianos son populares en formulaciones no relativistas, donde el hecho de que no sean objetos invariantes relativistas no es importante. Los lagrangianos son populares en la física de partículas porque son invariantes relativistas. Esto solo facilita todo porque no tienes que preocuparte por cuál es la nueva forma del Lagrangiano cuando estás analizando sistemas donde ocurren los efectos relativistas. Evidentemente, en la Física de Altas Energías, todo está mayoritariamente en un régimen relativista. Si usamos hamiltonianos para analizar regímenes relativistas, tendríamos que preocuparnos por los cambios del hamiltoniano en tales regímenes. Espero que esto ayude.

¿Por qué no usar el lagrangiano, en lugar del hamiltoniano, en QM no relativista?
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