¿Permiten las ecuaciones de Einstein múltiples soluciones que concuerdan en una vecindad de una hipersuperficie similar al espacio?

Aquí hay una solución a las ecuaciones de campo de Einstein:

$$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \text{ on } \{(x,y,z,t):x,y,z,t\in\mathbb R\}.$$

Tiene un sistema de coordenadas global, un marco de referencia global, sin tiempo cerrado como curvas y un nombre famoso, espacio de Minkowski.

Nuestra segunda solución es una variedad diferente$\mathbb R^3\times \mathbb S$, que puede (pero no tiene que ser) aunque de como$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}.$Intuitivamente, puede tratarlo como una subvariedad con la métrica$ds^2=dv^2+dw^2-dx^2-dy^2-dz^2$(Te digo que los siguientes pasos serán fáciles de seguir, pero no debes imaginar que el espacio-tiempo es una superficie es un espacio más grande, hay múltiples formas de hacerlo y hacen las mismas predicciones, así que debes tener cuidado no leer demasiado en cosas que no afectan sus predicciones). Pero si lo trata como una variedad por derecho propio, como topológicamente es un cilindro, no hay un sistema de coordenadas global. Como variedad por derecho propio, tiene 4 dimensiones y es plana.

Entonces, para la segunda variedad, necesitamos dos parches de coordenadas, por ejemplo:

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}, \text {and}$$

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}.$$

Para hacer una variedad real, necesitamos mapas de transición entre los gráficos. He aquí por qué introduje la superficie.$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\},$solo para hacer que estos mapas de transiciones sean fáciles de ver. Piensa en el tiempo ($T$o$\tau$) como ángulo similar, podemos obtener$v=\cos (\tau)$y$w=\sin (\tau)$(y$x=A$,$y=B$,$z=C$). Similarmente$v=\cos (T)$y$w=\sin (T)$(y$x=X$,$y=Y$,$z=Z$). En ambos casos,$w/v=\tan (\tau)=\tan (T)$cuando$v\neq 0$. Pero toda la región de superposición es donde$v>0$entonces$w/v=\tan(T)$. Así que el mapa que envía$(\tau,A,B,C)$a$(T,X,Y,Z)=(\arctan \left(\tan (\tau)\right),A,B,C)$es nuestro mapa de transición.

Ahora puedes prescindir de$\{(v,w,x,y,z)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$por completo y solo decir que cuando en

$$ds^2=d\tau^2-dA^2-dB^2-dC^2 \text{ on } \{(A,B,C,\tau):A,B,C\in\mathbb R, \tau\in(\pi/6,11\pi/6)\}$$ si estas en $\tau < 2\pi/6$y desea cambiar a la otra coordenada simplemente cambie el conjunto $T=\tau$, $X=A$, $Y=B$, y $Z=C$. Mientras que si estás en $\tau > 10\pi/6$y desea cambiar a la otra coordenada simplemente cambie el conjunto $T=\tau -2\pi$, $X=A$, $Y=B$, y $Z=C$. y eso es lo que $\arctan \left(\tan (\tau)\right)$lo hace después de todo, por lo que esto no es diferente, es solo que no necesitamos un espacio de incrustación, solo necesitamos hacer la transición de un sistema de coordenadas a otro antes de dejar su dominio de aplicabilidad.

Y yendo hacia el otro lado, cuando en

$$ds^2=dT^2-dX^2-dY^2-dZ^2 \text{ on } \{(X,Y,Z,T):X,Y,Z\in\mathbb R, T\in(-2\pi/6,2\pi/6)\}$$ si estas en $T>\pi/6$y desea cambiar a la otra coordenada simplemente cambie el conjunto $\tau=T$, $A=X$, $B=Y$, y $C=Z$. Mientras que si estás en $T < -\pi/6$y desea cambiar a la otra coordenada simplemente cambie el conjunto $\tau=T+2\pi$, $A=X$, $B=Y$, y $C=Z$.

OK, ese es un universo tipo día de la marmota, todo el universo simplemente se repite después$2\pi$unidades de tiempo Sin razón. Ni siquiera tiene materia, y mucho menos curvatura (sin curvatura de Riemann) en ningún lugar y en ningún momento. Y está obligado a tener dos gráficos de coordenadas (a menos que quiera incrustarlos en un conjunto más grande). Pero no por ninguna curvatura ni nada, solo porque es un cilindro y los cilindros requieren más de un sistema de coordenadas a menos que desee tener saltos, por ejemplo, podría tener un espacio plano regular de cuatro dimensiones y simplemente identificar$t=0$y$t=2\pi$y obtenga su sistema de coordenadas de esa manera, y la mayoría de los físicos están de acuerdo con eso.

Así que si miras la región cercana$t=0$de nuestra primera variedad y$T=0$desde nuestra segunda variedad se ven exactamente iguales desde$T=-\pi/6$todo el camino hasta$T=\pi/6$todo plano, todo vacío, todo Minkowski parejo. Entonces están de acuerdo en un vecindario de la rebanada espacial.$t=0$.

Pero la segunda solución ha cerrado el tiempo como curvas y, por lo tanto, el viaje en el tiempo.

Pero podríamos haber hecho lo mismo con una dirección espacial. Tenía$z$ser un ángulo en el$v,w$avión como$\{(v,w,x,y,t)\in\mathbb R^5:x,y,z\in\mathbb R, v^2+w^2=1\}$con métrica$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dv^2-dw^2$en cuyo caso yendo en el$z$la dirección efectivamente salta hacia atrás$2\pi$por lo tanto, el universo se repite espacialmente y aún no está curvado y lo hace sin motivo y técnicamente requiere al menos dos sistemas de coordenadas si no desea permitir saltos discontinuos de valores de coordenadas.

Para conectar esto con su pregunta sobre los sistemas de coordenadas globales, estos ejemplos no se pueden distinguir localmente, por lo que tampoco tiene mucho sentido hacer un gran problema con las diferencias. Por ejemplo, si caminas$2\pi$unidades en la dirección z y todo se ve igual, tal vez el universo retrocedió, o tal vez el universo simplemente se ve similar cada$2\pi$unidades con muchas copias tuyas, por lo que cada uno se movió a la siguiente región que es diferente pero se ve igual. Ambas opciones se ven iguales. Entonces, ¿qué tan importante puede ser?

Para viajar en el tiempo, puede parecer más importante si estás en tu propio pasado o simplemente en una región del espacio y el tiempo que se parece a tu propio pasado. Pero de nuevo, ¿cómo vas a distinguir entre las dos opciones? Si no sabe cómo diferenciar entre los dos, es posible que sea demasiado pronto para entusiasmarse con las diferencias (si las hay) entre los dos.