Definiciones conflictivas de marcos de referencia en relatividad general

Hay una variedad de conceptos que son en su mayoría similares en la relatividad especial, pero tienen más matices en la relatividad general.

Primero, hay coordenadas . Las coordenadas son los puntos en el parche de coordenadas, en el dominio$O \subset \mathbb{R}^n$del gráfico de una variedad$\phi$, y dado el inverso de nuestro gráfico, obtenemos el punto de espacio-tiempo de nuestra variedad,$\phi^{-1}(t, x, y, z) = p$.

Luego están los marcos . un marco en$p$es un conjunto de vectores linealmente independientes$\{ e_a \}$(es decir, una base) del espacio tangente$T_pM$que abarcan todo el espacio tangente. Al igual que con otras bases, lo llamamos ortonormal si$\langle e_a, e_b \rangle = \pm 1$. Para un conjunto dado de coordenadas, también tiene el marco dado por la base de coordenadas, que son los vectores tangentes de las curvas de una sola coordenada.

Un campo de marco sobre$U \subset M$es una elección suave de marcos. Es decir, tenemos$n$campos vectoriales$e_a(p)$que son todos suaves y en cada punto$p$, forman una base.

También podemos definir marcos para observadores, en cuyo caso se trata de la misma noción que un campo de marco, pero el$n$los vectores son suaves a lo largo de la curva definida por el observador.

Y finalmente, hay medidas físicas que puede realizar para determinar tiempos y distancias. Para darle una noción más intuitiva de los marcos, tome un observador. Un observador puede tener localmente su propio marco (imagínense que es una sonda con tres ejes ortogonales). Un método común para obtener las coordenadas de otros puntos es el método de radar. Primero, tome sus tres ejes para convertirlos en coordenadas esféricas, dispare un haz de luz a la vez$t_1$en direccion$(\theta, \phi)$. El punto$q$disparas refleja el haz de luz hacia ti y llega a tiempo$t_2$. El evento$q$entonces se le da la coordenada de tiempo$(t_2 - t_1) / 2$y la distancia$c (t_2 - t_1) / 2$. Usando esta distancia, si lo desea, puede volver a convertirla en coordenadas "cartesianas". un marco en$q$luego se puede definir variando esas coordenadas.

En la relatividad especial, todas esas nociones son, aunque diferentes, algo intercambiables. Si tienes las coordenadas cartesianas$(t,x,y,z)$, el marco$\{ e_t, e_x, e_y, e_z \}$lo que definen es un marco ortonormal, y traducir este marco le da un campo de marco. Dado un observador inercial, el radar coordina, usando un disparo de luz usando el marco del observador local (es decir, el que está en la línea$(t,0,0,0)$), devuelva las coordenadas adecuadas y la traducción producirá un campo de marco que también es el marco apropiado para todos los observadores comóviles. Una transformada de Lorentz se aplicará a todos los marcos en el campo de marco, por lo que comparar los marcos de diferentes observadores inerciales es fácil (tenga en cuenta que todo lo que he dicho se aplica a los observadores inerciales. Incluso en el espacio plano, las cosas se complican con los observadores acelerados ).

Sin embargo, en la relatividad general, las cosas son más complicadas. Dado un marco local en$p$, siempre puedes obtener todo esto localmente, gracias a los vecindarios normales convexos. Un observador puede generar una base local, con todos los relojes y varillas que necesite, que puede ser ortonormal en$p$. A continuación, puede definir un campo de marco único mediante el transporte paralelo del marco en$p$a lo largo de las geodésicas únicas y las coordenadas derivadas de ese marco local tomando los parámetros de la base, es decir, si tiene un vector$v = v^i e_i$, entonces el punto$q = \exp_p(v)$tiene las coordenadas$v^i$(tenga en cuenta aquí que la base en$q$que definimos puede no ser la base de coordenadas en esas coordenadas, y de hecho no lo será a menos que el espacio-tiempo sea plano). Y para un vecindario apropiado, llamado vecindario de radar, es posible obtener esas coordenadas a través del método de radar.

Primera mala noticia: comparar los marcos de diferentes observadores ya no es una tarea trivial aquí. Para convencerse de esto, tome tres observadores cercanos (todos están dentro de su propia vecindad normal convexa),$\gamma_1$,$\gamma_2$y$\gamma_3$. Si pudiéramos simplemente definir un marco de$\gamma_2$por el transporte paralelo de$\{ e^1_a \}$, entonces también podríamos hacerlo entre$\gamma_2$y$\gamma_3$, y$\gamma_3$y$\gamma_1$, eventualmente recuperando el mismo marco, pero lo que acabamos de hacer es un bucle de transportes paralelos, y por lo tanto el resultado final, si la métrica es curva, no coincidirá. Esto es cierto incluso si tomamos el equivalente más cercano de los observadores inerciales, al tener observadores no acelerados (parte del problema es que no podemos hacer que esos observadores tengan la misma velocidad ya que no podemos comparar vectores de velocidad distantes).

Sin embargo, las cosas se vuelven más complejas a partir de aquí. Definimos vecindad normal convexa porque todas esas buenas propiedades pueden fallar fuera de ellas. Un ejemplo típico es que un punto puede tener dos geodésicas diferentes, incluso de la misma longitud, que lo conectan a$p$. El ejemplo clásico es la esfera, donde los dos polos están conectados en todas las direcciones por una geodésica de longitud idéntica. Esta es la causa del efecto de lente gravitacional y, en un caso más concreto, puede llevar a que un punto tenga más de una coordenada radar. Si tratáramos de definir un marco en ese punto por propagación paralela, no seríamos capaces de hacerlo, ya que no hay una geodésica única que nos guíe.

Si seguimos una ruta más matemática, las cosas son aún peores: no hay campos vectoriales que desaparezcan en ninguna parte en la esfera y, por lo tanto, no podríamos definir ningún campo de marco globalmente. Muchas variedades no admiten un marco global de este tipo, pero la mayoría tenemos suerte: si supone que nuestro espacio-tiempo se comporta bien (es decir, tiene una topología$\mathbb{R} \times \Sigma$, dónde$\Sigma$es la parte espacial, y$\Sigma$es orientable), entonces para$3+1$dimensiones, los espacio-tiempos siempre admiten un campo de marco global de este tipo, aunque pueden no provenir directamente de las mediciones.

un marco de referencia en SR se compone de una estructura rígida en todo el espacio, que tiene un reloj fijado a cada punto

Sí, esto ciertamente captura una variante de la noción de "marco de referencia" que entiendo y me gustaría abordar a continuación. Permítanme, en primer lugar, extraer y resumir el

Requisitos principales de un marco de referencia

• una colección de lo que se llama "puntos" identificables distintos ("puntos espaciales", "puntos con extensión temporal", "puntos materiales ", " partículas puntuales ", "participantes", "miembros de un marco de referencia"), o sus representaciones especialmente como curvas temporales (continuas) en (una región dada de) el espacio-tiempo,

• que cubre por completo (es decir, llena y, de hecho, divide inconexamente) una región del espacio-tiempo bajo consideración; tal que cada evento de la región tuvo un miembro (y de hecho exactamente solo uno) de un marco particular participando,

• con una cierta "estructura" establecida entre ellos, e involucrándolos a todos; incluyendo la comparación de duraciones$\tau$entre miembros (así como para cada miembro en sí), estructura geométrica ("espacial") entre varios (o todos) de ellos, y (en generalizaciones no triviales) estructura cinemática; y sobre todo

• tal que de todos los miembros de un marco de referencia particular nunca dos se encontraron (coincidieron, tomaron parte en el mismo evento); y sus curvas representativas no se cruzaban.

Variantes o generalizaciones

[...] una estructura rígida

• marcos de referencia (en una región plana) cuyos miembros no solo son rígidos. entre sí, pero además individualmente en reposo (es decir, sin aceleración) y por lo tanto en reposo wrt. entre sí, son, por supuesto, marcos inerciales . Los marcos inerciales pueden cubrir cualquier región de espacio-tiempo plana arbitrariamente extendida. La estructura geométrica asociada al conjunto de sus miembros es un espacio métrico plano.

• Ejemplos de marcos de referencia con estructura geométrica estricta y no trivialmente rígida, en una región plana del espacio-tiempo, incluyen marcos de Rindler (es decir, familias de observadores de Rindler hiperbólicamente acelerados mutuamente rígidos) y marcos de referencia giratorios (con velocidad de rotación constante distinta de cero).$\omega$) . En una región de espacio-tiempo arbitrariamente extendida, tales marcos de referencia rígidos exhiben límites (horizontes). Las estructuras geométricas asociadas son generalmente espacios métricos o cuasimétricos curvos.

• la rigidez (de todos los miembros de un marco de referencia entre sí) puede no ser necesariamente requerida; entonces podemos, por ejemplo, considerar marcos giratorios asintóticamente inerciales (en una región plana arbitrariamente extendida), es decir, con velocidades angulares$\omega[ \, R \, ] < 2 \, \pi \, (R / c)$y$(\omega_B / \omega_A) \le (R_A / R_B)^{(1 + \epsilon)}$(a menos que$R_B = 0$).

[...] en GR

• una colección que llena el espacio-tiempo de curvas temporales que no se cruzan generalmente se denomina congruencia temporal .

Relaciones entre distintos marcos de referencia

Relaciones entre dos marcos de referencia distintos en la misma región del espacio-tiempo, digamos$\Sigma$y$\Omega$surgen debido a ciertos miembros de uno y ciertos miembros de la otra reunión (coincidiendo, típicamente "de paso") entre sí; tal que cada evento tuvo exactamente un miembro de cada marco de referencia participando. Por ejemplo, con$A, B, C, ... \in \Sigma$y$N, P, Q ... \in \Omega$tal que$A$y$N$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{AN}$,$A$y$P$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{AP}$,$B$y$N$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{BN}$,$B$y$Q$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{BQ}$,$C$y$P$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{CP}$, y$C$y$Q$participaron (coincidieron) conjuntamente en un evento$\varepsilon_{CQ}$,
la estructura de$\Sigma$proporciona los valores numéricos reales de las proporciones$(\tau B[ \, \_N, \_Q \, ] / \tau A[ \, \_N, \_P \, ])$y de$(\tau C[ \, \_P, \_Q \, ] / \tau A[ \, \_N, \_P \, ])$, mientras que la estructura de$\Omega$proporciona los valores numéricos reales de$(\tau P[ \, \_A, \_C \, ] / \tau N[ \, \_A, \_B \, ])$y de$(\tau Q[ \, \_B, \_C \, ] / \tau N[ \, \_A, \_B \, ])$.

En la medida en que las estructuras geométricas (y cinemáticas) se definen a su vez cronogeométricamente, es decir, las del marco de referencia$\Sigma$definido en términos de ciertas proporciones de duración de sus miembros ($A$,$B$,$C$, ...), y los del marco de referencia$\Omega$definido en términos de ciertas proporciones de duración de sus miembros ($N$,$P$,$Q$, ...), el dato básico de coincidencia de quién conoció y pasó a quién induce relaciones entre estas estructuras de los dos marcos de referencia.

De acuerdo con cada marco de referencia por separado, y con sus relaciones entre sí, puede haber una estructura geométrica asociada con la región del espacio-tiempo dada (conjunto$\mathcal S$de eventos) en sí mismo; especialmente en términos de (razones de) distancias lorentzianas$\ell : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R^+$.

Relaciones con otras nociones de marco de referencia

las coordenadas de algún evento [...]

La noción de marco de referencia expuesta anteriormente obviamente no involucra coordenadas. Sin embargo, la asignación de coordenadas (es decir, n-tuplas de números reales,$\mathbb R^n$, o subconjuntos de los mismos), únicamente uno de cada uno de los miembros de un marco de referencia, y (a menudo en términos de "el$t$"coordenada" componente de la n-tupla) claramente a cada evento, puede ser de mayor interés.

• Desde$\mathbb R^n$(o subconjuntos) se caracterizan por una topología habitual particular , podemos distinguir si las coordenadas se asignan de manera compatible (homeomórficamente) al espacio topológico provisto a través de la estructura (geométrica o temporal) del marco de referencia.

• Dado que existe un espacio métrico estándar asociado al conjunto de números reales$R$a través de la distancia definida como diferencia absoluta , podemos distinguir además si las coordenadas compatibles se asignan más (por componentes) de manera suave o incluso proporcional al espacio métrico provisto a través de la estructura (geométrica o temporal) del marco de referencia.