¿Las relaciones canónicas de conmutación tienen alguna conexión con la geometría?

Bueno, este es un tema bastante amplio.

1. Aquí hay una forma en que los CCR surgen de una clase bastante grande de geometrías: Dada una variedad de Fedosov $(M,\omega, \nabla)$[es decir, una variedad$M$dotado de una simpléctica$2$-forma$\omega$con una conexión sin torsión compatible$^1$ $\nabla$], Fedosov demostró la existencia de un producto estrella asociativo

   $$f\star g~=~fg +{\cal O}(\hbar)\tag{1}$$ de funciones$f,g\in C^{\infty}(M)$en el contexto de la cuantización de la deformación$^2$. El conmutador estrella $$[f\stackrel{\star}{,}g]~:=~f\star g-g\star f~=~i\hbar\{f,g\}_{PB}+{\cal O}(\hbar^2) \tag{2}$$ corresponde a un conmutador de operadores a través de un mapa de correspondencia símbolo-operador. El teorema de Darboux asegura la existencia local de coordenadas canónicas$(q^1, \ldots, q^n,p_1, \ldots, p_n)$. Por lo tanto, los CCR tienen sentido.

2. Para una discusión elemental de la conexión entre los conmutadores y los soportes de Poisson, consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

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$^1$Una variedad simpléctica$(M,\omega)$siempre tiene esa conexión$\nabla$; sin embargo, no es único. Ver también, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

$^2$Kontsevich extendió la construcción de un producto estrella asociativo (1) a una variedad de Poisson arbitraria .

En términos generales, el potencial de calibre es idéntico a la conexión donde el potencial de calibre está relacionado con la amplitud (variable de campo).

La relación de conmutación en la teoría cuántica se puede escribir como la relación de conmutación de las variables de campo (amplitud).

Entonces es natural tener la relación de conmutación expresada en conexión.