¿Por qué necesitamos espacios de Hilbert de dimensión infinita en física?

Las relaciones canónicas de conmutación no están bien definidas en espacios de Hilbert de dimensión finita. La prescripción canónica es

y, recordando que la huella de un conmutador debe desaparecer, pero la huella de la identidad es la dimensión del espacio si es de dimensión finita, concluimos que tenemos un espacio para el cual la huella de la identidad no está bien definida , que entonces es necesariamente de dimensión infinita.

Los espacios de Hilbert de dimensión infinita son necesarios, en el caso mínimo, para describir la mecánica cuántica no relativista de una partícula masiva con al menos un único grado real de libertad, y son necesarios para permitir que la teoría describa, en general, estados con un nivel de detalle arbitrariamente alto y en posiciones arbitrariamente lejanas.

Sin embargo, para cualquier experimento dado, siempre podrá encontrar buenas aproximaciones a la dinámica que use solo un espacio de Hilbert de dimensión finita, porque cualquier experimento dado involucrará dinámicas sobre una porción finita de espacio y en escalas de longitud finitamente pequeñas. La forma más fácil de hacer esto es a través de una discretización directa de la posición, pero también podría hacerlo, por ejemplo, ( enchufe desvergonzado ) truncando la base de fotones de un oscilador armónico.

Ahora, estos se denominan legítimamente esquemas 'truncados', porque una vez que truncas la dimensión requerida por la teoría completa, ya no puedes recuperar la traducción y la invariancia de escala que se requieren para la generalidad completa.

Además, como se ha señalado , en cualquier dimensión finita las relaciones canónicas de conmutación$[x,p]=i\hbar$no son realizables, porque en dimensión finita$x$y$p$son operadores de clase de rastro , y el rastro de su conmutador debe desaparecer. Sin embargo, es importante darse cuenta de que esto no es fatal: aún puede obtener relaciones de conmutación como$[x,p]=i\hbar\left[1-(\dim\mathcal H)|\text u⟩⟨\text u|\right]$, dónde$|\text u⟩$es un estado que es muy poco probable que su dinámica alcance.

Además, es perfectamente posible tener relaciones de conmutación interesantes en dimensión finita (como las del momento angular) y tener relaciones de conmutación casi canónicas en dimensiones finitas que, sin embargo, se acercan al límite clásico.$\{x,p\}=1$como$\hbar\to0$siempre que se permita que su dimensión sea arbitrariamente alta para la dinámica dada.

Sin embargo, todos estos son esquemas feos y artificiales, y hay muy pocas razones para preferirlos a la teoría estándar de Schrödinger perfectamente razonable, razón por la cual usamos espacios de Hilbert de dimensión infinita en la mecánica cuántica cotidiana.

Los espacios de Hilbert, en general, pueden tener bases de cardinalidad arbitrariamente alta. Pero el específico usado en QM es, por construcción, isomorfo al espacio L2, el espacio de funciones integrables al cuadrado, y este espacio como un número infinito (pero discreto) de dimensiones. La razón por la que desea funciones integrables cuadradas es que desea que las probabilidades calculadas a partir de la función de onda sean finitas. Cuando decimos que los vectores de estado deben ser “integrables al cuadrado”, esto significa, estrictamente hablando, que$\int^{\infty}_{-\infty} \overline{\psi}\psi dx$es finito

Tal vez no sea relevante para ti ahora, pero lo será para alguien. La relación de conmutación$[x,p]=i\hbar$produce el álgebra de Heisenberg, y puedes ver fácilmente que esta álgebra tiene solución . Entonces tienes el teorema de Lie-Kolchin que dice que cada representación irreducible de dimensión finita de álgebra solucionable tiene que ser unidimensional.

Esto significa que si solo tiene representaciones unidimensionales, todo conmutaría y no tendría nada, por lo que la única otra opción es una representación dimensional infinita.

Esta explicación es quizás más abstracta pero la encuentro fundamental.

Necesita un espacio de Hilbert de dimensión infinita para representar una función de onda de cualquier observable continuo (como la posición, por ejemplo).

Las funciones de onda asignan números reales, que corresponden a observables clásicos como el espín o la posición, a coeficientes complejos de algún conjunto de kets básicos en un espacio de Hilbert. Esa base y esos coeficientes definen un ket que se puede identificar con la función de onda, se denomina "estado cuántico" del sistema y se puede usar en los cálculos.

¿Cómo se asigna cada número real a un coeficiente complejo? Cada base ket es un vector propio de algún observable. El número real es el valor propio correspondiente.

De esto se deduce que una base en un espacio de Hilbert de dimensión finita solo se puede usar para definir un ket correspondiente a una función de onda que se define solo para valores propios específicos, que podría llamarse una función de onda "discreta".

Por ejemplo, podría usar una base bidimensional para un sistema que describa el giro de una partícula, con dos kets de base, |arriba> y |abajo>. La función de onda, psi(), solo se definiría para dos valores, +1 y -1, que son los valores propios correspondientes a |arriba> y |abajo>. psi(+1) * psi*(+1) le daría la probabilidad de que la partícula estuviera en el estado "arriba", y psi(-1) * psi*(-1) la probabilidad de que estuviera en el estado "abajo". " estado.

Si |psi> es el ket identificado con la función de onda psi(), entonces <up|psi> le da el mismo resultado y tiene la misma interpretación, ya que psi(+1) y <down|psi> corresponden a psi(- 1) de la misma manera.

psi (3) o psi (0.6) no tienen ningún sentido aquí porque no hay tales observables: solo hay dos estados observables en este sistema y, por lo tanto, una base propia en un espacio de Hilbert bidimensional con dos valores propios puede ser solía representarlo.

Pero una posición similar a la observable es continua: podemos preguntar cuál es la probabilidad de que la posición sea 0,6 o 0,601, etc. Por lo tanto, necesitamos una función de onda definida para cada número real, cada uno de los cuales debe ser el valor propio de un vector propio en una base en un espacio de Hilbert. Dado que hay infinitos valores posibles de posición, necesitamos infinitos vectores propios y un espacio de Hilbert de dimensión infinita.

Todo esto se explica en este excelente libro de Leonard Susskind.

Como señala Scott Aaronson aquí , la interpretación de de Broglie-Bohm de la mecánica cuántica solo puede formularse para un espacio de Hilbert de dimensión infinita. La interpretación de de Broglie-Bohm no es "necesaria", por supuesto, pero es una característica extra que obtienes cuando el espacio de Hilbert es de dimensión infinita.