¿Por qué mi solución matemática vis-viva se acercó tanto a pesar de estar equivocada? ¿Bajo qué condiciones habría sido una buena aproximación?

Traté de responder a la Ecuación para la velocidad y la distancia desde el Sol de una nave espacial impulsada por una vela solar, pero me falta algo.

Configuré una solución matemática y obtuve alrededor de 0,4 años para alcanzar la velocidad cero según la ecuación vis-viva. Obviamente cometí un error en las suposiciones porque significa que está en una órbita circular con velocidad cero, lo que significa una distancia infinita, y una distancia infinita en un tiempo finito es mala.

Cuando resuelvo numéricamente, obtengo un número similar de aproximadamente 0,5 años para alcanzar una energía positiva, C3 heliocéntrico, velocidad de escape, etc., y creo que esta simulación.

Pregunta: ¿Por qué mi solución matemática vis-viva se acercó tanto a pesar de estar equivocada? ¿Bajo qué condiciones habría sido una buena aproximación?

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Esta respuesta dice:

Matemáticas

Dada la aceleración inicial a 1 AU es$8.17 \times 10^{-4} m/s^2$.

Inclínelo a 45 grados para que el empuje sea tangencial, divídalo por$\sqrt{2}$ya que ahora es oblicuo al Sol, y tenga en cuenta la caída con la distancia desde el Sol:

$$a_0 = 5.78 \times 10^{-4} m/s^2$$

$$a(r) = a_0 \frac{AU^2}{r^2}$$

en la dirección progresiva (la misma dirección que la velocidad actual).

ecuación vis-viva :

$$v^2 = \frac{GM}{r}$$

Ahora

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{a_0 AU^2}{GM^2} v^4$$

dónde$GM$es el parámetro gravitatorio estándar del Sol $1.327 \times 10^{20} m^3/s^2$. El signo menos aparece porque sabemos que, contrariamente al primer instinto, cuando tenemos una fuerza de aceleración en la dirección prograda, desaceleramos de manera contraria a la intuición en la misma cantidad. Esto también se cita en varias otras publicaciones aquí, buscaré otras respuestas para citar ...

Reescribe y resuelve:

$$\frac{dt}{dv} = -\frac{GM^2}{a_0 AU^2} v^{-4}$$

$$t(v) = t_0 - \frac{GM^2}{4 a_0 AU^2} v^{-3}$$

si establecemos$t(v_0) = 0$en otras palabras, en el tiempo cero nos estamos moviendo a velocidad orbital$v_0 = \sqrt{GM/AU}$ obtenemos 0.408 años.

Numéricamente

Curiosamente, cuando intento simular lo mismo numéricamente, ¡ obtengo un tiempo de escape de 0,515 años! Esto me sorprende por dos razones:

1. La velocidad nunca llega a cero, lo que significa que las matemáticas anteriores son incorrectas.
2. ¡Y sin embargo está bastante cerca!

Conclusión

Tardará aproximadamente medio año en escapar, pero aún no tengo la ecuación completa.

Otras lecturas:

• ¿Es posible llegar al Sol sin gastar combustible/masa de reacción?
• ¿Cuál es el ángulo óptimo para una vela solar desorbitada hacia el Sol cuando se incluye el empuje radial? (actualmente sin respuesta)

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

AU = 150E+06 * 1000   # meters
GM = 1.327E+20   # m^3/s^2
a0 = 8.17E-04 / np.sqrt(2)  # dv/dt at 1 AU
year = 365.2564 * 24 * 3600 

coef = ( GM**2 / (4 * a0 * AU**2) )

v0 = np.sqrt(GM/AU)
print('v0: ', v0)
print('coef: ', coef)

t0 = coef / v0**3
print('t0 / year: ', t0 / year)

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    vhat = v / np.sqrt((v**2).sum())
    rsq = (x**2).sum()
    acc_thrust = vhat * a0 * rsq / AU**2
    acc = acc_thrust - GM * x * rsq**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

X0 = np.array([AU, 0, 0, v0])

time = np.linspace(0, 0.6, 10001) * year  # half year

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

print(answer.shape)

x, y, vx, vy = answer.T
r, speed = [np.sqrt((thing**2).sum(axis=0))
            for thing in answer.T.reshape(2, 2, -1)]

E = 0.5 * speed**2 - GM/r
E_norm = np.abs(E[0])

i_esc = np.argmax(E>=0)
things = time, r, x, y, speed, E
t_esc, r_esc, x_esc, y_esc, s_esc, E_esc = [thing[i_esc]
                                            for thing in things]

print('t_esc / year: ', t_esc / year)

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(2, 2, 1)
    plt.plot(time/year, r/AU)
    plt.plot([t_esc/year], [r_esc/AU], 'ok')
    plt.ylabel('r/AU')
    plt.xlabel('time (years)')
    
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.plot(time/year, speed/1000)
    plt.plot([t_esc/year], [s_esc/1000], 'ok')
    plt.ylabel('speed (km/s)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 3)
    plt.plot(time/year, E/E_norm)
    plt.plot([t_esc/year], [E_esc/E_norm], 'ok')
    plt.plot(time/year, np.zeros_like(time), '-k')
    plt.ylabel('Energy (norm)')
    plt.xlabel('time (years)')

    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.plot(x/AU, y/AU)
    plt.plot([x_esc/AU], [y_esc/AU], 'ok')
    plt.plot([0], [0], 'oy')
    th = np.linspace(0, 2*np.pi, 201)
    plt.plot(np.cos(th), np.sin(th), '-r', linewidth=0.5)
    plt.ylim(-1, 1.5)
    plt.gca().set_aspect('equal')
    plt.xlabel('AU')
    plt.ylabel('AU')
    plt.show()