Tengo interés en las velas solares como método de propulsión. He pensado en la siguiente pregunta interesante sobre el funcionamiento de las velas solares, que simplemente no tengo la capacidad matemática para poder responder, pero espero que algunos de los miembros de este foro con un mejor conocimiento matemático puedan ayudar. a mí….
De https://en.wikipedia.org/wiki/Solar_sail , a la distancia media entre la Tierra y el Sol (1 AU), la presión de radiación del Sol en una vela solar con una eficiencia del 90 % genera un empuje de si la vela es perpendicular a la dirección del Sol. Supongamos que tenemos una nave espacial en órbita a una distancia de 1 UA del Sol y digamos que la nave espacial pesa 10 kg. Para simplificar, está orbitando alrededor del Sol en una órbita circular. Entonces, su velocidad orbital debe ser constante en ~29.8 km/s. Luego, la nave espacial despliega una vela solar, que tiene, digamos, 10 μ mm de espesor, 1000 metros cuadrados de área y está hecha de material de densidad . Entonces, la masa de la vela es de solo 0,03 kg, que es insignificante en comparación con la masa de la nave espacial.
Por lo tanto, la fuerza total hacia el exterior debida a la presión de la radiación solar sobre la vela (suponiendo que es normal a la dirección del Sol y tiene una eficiencia del 90 %) es X . Esto da una aceleración hacia afuera (fuerza/masa) en la nave espacial de X lejos del Sol. A una distancia de 1 UA del Sol, la aceleración centrípeta debida a la gravedad de este Sol X . Sin embargo, a pesar de que la fuerza neta sobre la nave espacial todavía está hacia adentro, hacia el Sol, mi intuición me dice que la nave espacial se desplazará gradualmente en espiral hacia afuera en su órbita alrededor del Sol.
También asumiría que la fuerza de la fuerza hacia afuera en la nave espacial debido a la presión de radiación en las velas (como la gravedad del Sol) caerá como el inverso del cuadrado de su distancia al Sol.
Pero las preguntas que no puedo responder son cómo calculo en función de un tiempo arbitrario t desde que se desplegó la vela.
Las matemáticas se vuelven muy complicadas muy rápidamente. Antes incluso de considerar el empuje, recuerde que la solución de la órbita de dos cuerpos de Kepler en sí misma no es una función explícita del tiempo: el radio se da como una función del ángulo (anomalía verdadera), pero el tiempo es proporcional a la anomalía media, que debe convertirse en excéntrica. anomalía y luego anomalía verdadera por solución numérica de la ecuación trascendental de Kepler .
Incluso para los casos más simples, estás hablando de series o expansiones en fracciones continuas de integrales elípticas. Sin embargo, si tiene el libro de Battin sobre astrodinámica, él muestra cómo hacerlo a mano, de la forma en que lo hicieron personas como Gauss y Legendre, y que se esperaba que todos sus estudiantes en el MIT lucharan, en las páginas 408 a 418. Dicho esto, comienza la sección con
Una de las posibles aceleraciones perturbadoras que afectan a una nave espacial es la aceleración de empuje producida por los motores del vehículo. La determinación de la trayectoria en estas circunstancias, como en casi todos los problemas de movimiento perturbado, generalmente requiere la aplicación de técnicas numéricas especiales. Sin embargo, hay varios ejemplos de algún interés práctico para los cuales se puede hacer un análisis considerable. Específicamente, si la aceleración del empuje es de magnitud constante y está dirigida radial, tangencial o circunferencialmente, entonces es posible obtener, al menos parcialmente, algunos resultados matemáticos bastante interesantes.
Una encuesta de algunos métodos más, que tienen en cuenta exactamente cómo planeas salir en espiral, que en general encuentro más accesible y útil en este caso, es Petropoulos y Sims 2002 , "A Review of Some Exact Solutions to the Planar Equations de movimiento de una nave espacial de empuje". Tenga en cuenta que están más interesados en el uso de paneles solares para alimentar un propulsor de iones, lo que le permite empujar en la dirección más ventajosa, ¡que está muy lejos de ser radial!
Solo respuesta parcial, no sé qué estoy haciendo exactamente, pero lo intentaré.
Actualización: los cohetes funcionan porque sus fallas espectaculares se analizaron a la luz del día en lugar de ocultarse. Si bien este comentario expresa la preocupación de que las matemáticas a continuación puedan confundir negativamente a los lectores, confío en que para los lectores aquí quedará claro que no da la respuesta correcta y que la técnica de comparar una solución matemática con una solución numérica sirve como un buen ejemplo de cómo se puede verificar una respuesta.
Dada la aceleración inicial a 1 AU es .
Inclínelo a 45 grados para que el empuje sea tangencial, divídalo por ya que ahora es oblicuo al Sol, y tenga en cuenta la caída con la distancia desde el Sol:
en la dirección progresiva (la misma dirección que la velocidad actual).
Ahora
dónde es el parámetro gravitatorio estándar del Sol . El signo menos aparece porque sabemos que, contrariamente al primer instinto, cuando tenemos una fuerza de aceleración en la dirección prograda, desaceleramos de manera contraria a la intuición en la misma cantidad. Esto también se cita en varias otras publicaciones aquí, buscaré otras respuestas para citar ...
Reescribe y resuelve:
si establecemos en otras palabras, en el tiempo cero nos estamos moviendo a velocidad orbital obtenemos 0.408 años.
Curiosamente, cuando intento simular lo mismo numéricamente, ¡ obtengo un tiempo de escape de 0,515 años! Esto me sorprende por dos razones:
Tardará aproximadamente medio año en escapar, pero aún no tengo la ecuación completa.
Otras lecturas:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint
AU = 150E+06 * 1000 # meters
GM = 1.327E+20 # m^3/s^2
a0 = 8.17E-04 / np.sqrt(2) # dv/dt at 1 AU
year = 365.2564 * 24 * 3600
coef = ( GM**2 / (4 * a0 * AU**2) )
v0 = np.sqrt(GM/AU)
print('v0: ', v0)
print('coef: ', coef)
t0 = coef / v0**3
print('t0 / year: ', t0 / year)
def deriv(X, t):
x, v = X.reshape(2, -1)
vhat = v / np.sqrt((v**2).sum())
rsq = (x**2).sum()
acc_thrust = vhat * a0 * rsq / AU**2
acc = acc_thrust - GM * x * rsq**-1.5
return np.hstack((v, acc))
X0 = np.array([AU, 0, 0, v0])
time = np.linspace(0, 0.6, 10001) * year # half year
answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)
print(answer.shape)
x, y, vx, vy = answer.T
r, speed = [np.sqrt((thing**2).sum(axis=0))
for thing in answer.T.reshape(2, 2, -1)]
E = 0.5 * speed**2 - GM/r
E_norm = np.abs(E[0])
i_esc = np.argmax(E>=0)
things = time, r, x, y, speed, E
t_esc, r_esc, x_esc, y_esc, s_esc, E_esc = [thing[i_esc]
for thing in things]
print('t_esc / year: ', t_esc / year)
if True:
plt.figure()
plt.subplot(2, 2, 1)
plt.plot(time/year, r/AU)
plt.plot([t_esc/year], [r_esc/AU], 'ok')
plt.ylabel('r/AU')
plt.xlabel('time (years)')
plt.subplot(2, 2, 2)
plt.plot(time/year, speed/1000)
plt.plot([t_esc/year], [s_esc/1000], 'ok')
plt.ylabel('speed (km/s)')
plt.xlabel('time (years)')
plt.subplot(2, 2, 3)
plt.plot(time/year, E/E_norm)
plt.plot([t_esc/year], [E_esc/E_norm], 'ok')
plt.plot(time/year, np.zeros_like(time), '-k')
plt.ylabel('Energy (norm)')
plt.xlabel('time (years)')
plt.subplot(2, 2, 4)
plt.plot(x/AU, y/AU)
plt.plot([x_esc/AU], [y_esc/AU], 'ok')
plt.plot([0], [0], 'oy')
th = np.linspace(0, 2*np.pi, 201)
plt.plot(np.cos(th), np.sin(th), '-r', linewidth=0.5)
plt.ylim(-1, 1.5)
plt.gca().set_aspect('equal')
plt.xlabel('AU')
plt.ylabel('AU')
plt.show()
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