¿Por qué μ0μ0\mu_0 y ϵ0ϵ0\epsilon_0, que aparecen en electrostática y magnetostática, están relacionadas con la velocidad de la luz que aparece en electrodinámica?

Question

¿Por qué μ0μ0\mu_0 y ϵ0ϵ0\epsilon_0, que aparecen en electrostática y magnetostática, están relacionadas con la velocidad de la luz que aparece en electrodinámica?

Revo

$\epsilon_0$ y $\mu_0$ aparecen en electrostática y magnetostática. Cuando incluimos campos variables en el tiempo, tenemos electrodinámica y la apariencia de c que resulta estar relacionada con $\epsilon_0$ y $\mu_0$ .

Mi pregunta es: ¿existe una manera intuitiva de entender por qué aunque $\epsilon_0$ y $\mu_0$ están asociados con fenómenos que no varían con el tiempo, pero están relacionados con c que aparecen cuando tenemos campos que varían con el tiempo.

qmecanico

posible duplicado de Deducir la velocidad de propagación de un cambio en el campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell

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¿Por qué μ0μ0\mu_0 y ϵ0ϵ0\epsilon_0, que aparecen en electrostática y magnetostática, están relacionadas con la velocidad de la luz que aparece en electrodinámica?

posible duplicado de Deducir la velocidad de propagación de un cambio en el campo electromagnético a partir de las ecuaciones de Maxwell

Ron Maimón · Answer 1

La mejor manera de entender esto es a través de la relatividad. Los campos magnéticos no son nada constante --- no son realmente estáticos. Aparecen cuando las cargas se están moviendo. Esto relaciona las dos constantes. $\epsilon_0$ y $\mu_0$ por el siguiente argumento:

Considere dos líneas paralelas cargadas. Se repelen electrostáticamente en una cantidad determinada por el campo de una línea cargada a una distancia r del centro: $\rho\over 2\pi \epsilon_0 r$ , entonces son separados por una fuerza f por unidad de longitud que es igual a:

F_{mi} = \frac{ρ^{2}}{2 π ϵ_{0} R}

$f_E = {\rho^2 \over 2\pi \epsilon_0 R}$

Donde R es su separación. Esta fuerza es repulsiva.

Si observa los mismos cables en un marco que se mueve en la dirección del cable, el campo eléctrico sigue siendo estático, $E={\rho'\over 2\pi \epsilon_0 r}$ , dónde $\rho'$ es la densidad de carga aumentada, mientras que ahora hay un campo magnético estático dado por la ley de Ampere $\mu_0 \rho' v \over 2\pi r$ , y esto crea una fuerza magnética por la fuerza de Lorentz:

F_{B} = \frac{m_{0} ρ^{' 2}}{2 π R} v^{2}

$f_B = {\mu_0 \rho'^2 \over 2\pi R} v^2$ .

Y esta fuerza es atractiva.

Las fuerzas eléctricas y magnéticas tienen que cancelarse a medida que la velocidad de su marco se aproxima a la velocidad de la luz, para que el movimiento total disminuya según lo requiere la dilatación del tiempo relativista. Esto significa que en v=c, las dos fuerzas deben ser iguales y opuestas, de modo que

m_{0} C^{2} - \frac{1}{ϵ_{0}} = 0

$\mu_0 c^2 - {1\over\epsilon_0} = 0$

De modo que la relación se sigue de la relatividad. Históricamente, por supuesto, la relatividad vino después.

Me gustaría darle las gracias a Ron. El experimento mental más simple, pero uno de los más difíciles, jamás soñado en la ciencia. Hoy simplemente lo damos por hecho y olvidamos su belleza. QFT en pocas palabras.
Hola Terry--- no hay necesidad de agradecerme, no descubrí la relación, se sabía en la época de Maxwell. El experimento mental es un poco original, pero no es tan profundo, es una herramienta de enseñanza. Puede simplemente votar la respuesta o dejar un comentario que diga "gracias". Es mejor dejar el espacio de respuesta para las cosas que responden a la pregunta. Pero aprecio los amables pensamientos, gracias. El mismo argumento funciona en GR para entender por qué los haces de luz paralelos no se atraen (ni se repelen), pero los rayos antiparalelos sí, o en la teoría de cuerdas para entender por qué las branas paralelas son estables, pero no las antiparalelas.

Adán Zalcman · Answer 2

Para responder a su pregunta, sigamos la derivación de las ecuaciones de ondas electromagnéticas a la inversa desde las ecuaciones de ondas finales que describen la propagación de las ondas electromagnéticas hasta las ecuaciones de Maxwell de las que se derivan.

Al final de la derivación, se ve cómo ϵ ₀ y μ ₀ terminan apareciendo donde normalmente se espera el cuadrado de la velocidad de la onda:

\nabla^{2} mi = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} B}{\partial^{2} t} = m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} B}{\partial^{2} t}

$\begin{equation} \nabla^2 {\bf E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 {\bf B}}{\partial^2 t} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 {\bf B}}{\partial^2 t} \end{equation}$

\nabla^{2} mi = \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} mi}{\partial^{2} t} = m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} mi}{\partial^{2} t}

$\begin{equation} \nabla^2 {\bf E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial^2 t} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 {\bf E}}{\partial^2 t} \end{equation}$

Esto muestra cómo la velocidad de la luz en el vacío está relacionada con ϵ ₀ y μ ₀ .

Volviendo atrás, la derivación parte de las ecuaciones de Maxwell, tomadas aquí en ausencia de cargas libres y corrientes eléctricas:

\nabla \cdot mi = 0

$\begin{equation} \nabla \cdot {\bf E} = 0 \end{equation}$

\nabla \cdot B = 0

$\begin{equation} \nabla \cdot {\bf B} = 0 \end{equation}$

\nabla \times mi = - \frac{\partial B}{\partial t}

$\begin{equation} \nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \end{equation}$

\nabla \times B = m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}

$\begin{equation} \nabla \times {\bf B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \end{equation}$

(Tenga en cuenta que al pasar del campo magnético B al campo H puede hacer que μ ₀ desaparezca de la cuarta y aparezca en la tercera ecuación).

Esto muestra que no es del todo correcto decir que ϵ ₀ y μ ₀ están asociados solo con fenómenos que no varían con el tiempo: ϵ ₀ y μ ₀ sí participan en la descripción de un fenómeno que varía con el tiempo, es decir, cómo el rotacional de un campo depende de la tasa de cambio del otro campo .

Si escribe las ecuaciones de Maxwell en su forma completa sin excluir cargas ni corrientes gratuitas, se verán así:

\nabla \cdot mi = \frac{ρ}{ϵ_{0}}

$\begin{equation} \nabla \cdot {\bf E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}$

\nabla \cdot B = 0

$\begin{equation} \nabla \cdot {\bf B} = 0 \end{equation}$

\nabla \times mi = - \frac{\partial B}{\partial t}

$\begin{equation} \nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \end{equation}$

\nabla \times B = m_{0} j + m_{0} ϵ_{0} \frac{\partial mi}{\partial t}

$\begin{equation} \nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \end{equation}$

Las dos apariciones adicionales de ϵ ₀ y μ ₀ no están relacionadas con las ondas electromagnéticas (ya que la derivación de las ecuaciones de onda supone que están puestas a cero) y en realidad son a lo que ha aludido en su pregunta, es decir, que las constantes se conocen principalmente de la electrostática y el magnetismo. Como puede ver, están involucrados en más que eso, incluidos los fenómenos que varían en el tiempo relacionados con cómo la variación del tiempo en uno de los dos campos genera el otro.

Esta derivación asume que sabes que el coeficiente del término de Maxwell es $\mu_0\epsilon_0$ . Pero este coeficiente no contribuye en situaciones estáticas. La pregunta es por qué las constantes estáticas están relacionadas por la velocidad de la luz. Esto se deriva del argumento actual de desplazamiento de Maxwell, que da el coeficiente del término de Maxwell.

misha · Answer 3

Además de la respuesta de Ron Maimon, vale la pena mencionar que si considera las ecuaciones de Maxwell en el sistema CGS , $\varepsilon_0$ y $\mu_0$ no entres en esas ecuaciones en absoluto. Sólo la velocidad de la luz lo hace. Técnicamente, estos valores son constantes para describir la relación entre las unidades introducidas históricamente de campo magnético y eléctrico (en ese momento no conectado). No hay física en estos valores mismos, sólo su producto que es igual a $1/c^2$ es significativo

¿Cómo es que dos cantidades por separado no son físicas mientras que si se multiplican la multiplicación se vuelve física? Nunca entendí lo que significa cada vez que la gente dice $\epsilon_0$ y $\mu_0$ no son físicos (y qué hay de $\epsilon$ y $\mu$ ¿Son no físicos también?)
@Revo Significa que puede deshacerse de uno de ellos por completo si elige las unidades correctamente.
¿Cómo tomaríamos en cuenta la diferencia entre el material dieléctrico y el aire si estamos calculando la capacitancia de un capacitor que está lleno hasta la mitad con un material dieléctrico con permitividad? $\epsilon$ ?
fuiste tú quien mencionó $\varepsilon$ , yo no. estaba hablando acerca de $\varepsilon_0$ solo. Si ve un significado físico en la permitividad dieléctrica de un vacío (tal vez pueda elegir otro vacío a voluntad), ¿probablemente podría explicármelo?

Florín Andrei · Answer 4

Sí, pero ¿qué es un campo magnético? Es un campo eléctrico que está cambiando. ¿Qué es un campo eléctrico? Es un campo magnético que está cambiando. Ya están vinculados entre sí dinámicamente. La existencia de uno es equivalente a una variación en el otro.

El magnetismo ya es un efecto relativista de la electricidad, nada más. Los dos ya están interrelacionados y vinculados con la velocidad de la luz y con la relatividad, incluso sin mencionar a Einstein.

http://van.physics.illinois.edu/qa/listing.php?id=2358

Es incorrecto decir que un campo eléctrico es un campo magnético que está cambiando o viceversa. si tiene un campo magnético constante que disminuye, siempre hay un punto central donde el campo eléctrico es cero, y el campo magnético todavía está cambiando allí.

¿Por qué μ0μ0\mu_0 y ϵ0ϵ0\epsilon_0, que aparecen en electrostática y magnetostática, están relacionadas con la velocidad de la luz que aparece en electrodinámica?

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