De acuerdo con la teoría de la relatividad, ¿cuál es la fuerza que ejercen dos electrones que se separan radialmente?

La fuerza entre las cargas tiende a cero.

Para ver esto, trabaje en el marco de una de las cargas. Desde su perspectiva, la otra carga puntual se está alejando rápidamente y el campo de una carga en movimiento es más débil a lo largo de la dirección del movimiento, como se muestra a continuación.

Una forma barata de ver esto es pretender que las líneas de campo se han "contraído en longitud". Para velocidades arbitrariamente altas, el campo paralelo a la velocidad se vuelve arbitrariamente pequeño, por lo que la fuerza desaparece.

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También podemos ser un poco más cuantitativos. En el marco del laboratorio, deje que las partículas tengan velocidad$v$y factor de Lorentz$\gamma$. El campo que una partícula ejerce sobre la otra es

$$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (1+\gamma^2 v^2/c^2)^{3/2}} \hat{r}.$$ Tomando el $v \to c$límite, $\gamma \gg 1$y tenemos $$\mathbf{E} \propto \frac{\gamma}{r^2 (\gamma^2)^{3/2}} \hat{r} \propto \frac{1}{\gamma^2} = 1-v^2/c^2 \propto 1-v/c.$$ donde usamos los límites varias veces. Entonces, si comienzas con velocidades enormes y las acercas un 50% a la velocidad de la luz, la fuerza se reduce a la mitad.

La solución a esta interesante pregunta tiene que involucrar tanto (a) la distorsión del campo eléctrico de las cargas puntuales cuando se mueven cerca de la velocidad de la luz como (b) el tiempo (ya que cuanto más esperamos, más separados se vuelven los electrones, por lo que su fuerza mutua se vuelve más pequeña).

Dado que los electrones se mueven a lo largo de la misma línea recta, podemos reducir este problema a encontrar el campo eléctrico a lo largo de un solo eje (el eje x). Además, dado que su pregunta solo pregunta si la fuerza tiende a cero, no necesitamos incluir el movimiento de ambos electrones; podemos calcular la fuerza en la posición central debido a uno de los electrones y si eso tiende a cero, entonces la fuerza en el otro electrón también tenderá hacia cero (ya que está más lejos que la posición central).

Según la ecuación 11.152 del libro de Jackson Electrodinámica clásica , el campo eléctrico en x=0 debido a una partícula con carga$q$moviéndose en la dirección x alejándose de x=0 con velocidad$v_x$es:

$E_x=-\frac{q}{\gamma^2 (v_xt)^2}$

A medida que la partícula se acerca a la velocidad de la luz,$\gamma$tiende a infinito y por tanto el campo eléctrico tiende a cero. El otro electrón se está alejando del origen, por lo que el campo en su ubicación también se aproximará a cero. Obviamente, a medida que aumenta el tiempo, hay un factor adicional que reduce el campo eléctrico en el origen (ya que el electrón se aleja del origen) y esto debería ser cierto incluso en el caso no relativista.$\gamma \approx1$.

Segunda edición para tener en cuenta la nueva pregunta del OP:

Obtener el campo en la ubicación del otro electrón es un poco más complicado. Usamos "primos" para indicar variables en un sistema de coordenadas que se mueve con la carga que se mueve hacia la derecha, y las coordenadas no primarias se refieren al marco de laboratorio (en el que los electrones se alejan a la misma velocidad en cualquier dirección). En el marco que se mueve con el electrón que se mueve hacia la derecha, el campo eléctrico se puede encontrar a partir del gradiente de potencial, que es:

$\phi'=q/r'$

y como ya mencionamos solo necesitamos el eje x, podemos tomar$r'=x'$. Entonces$\phi'=q/x'$. El campo eléctrico es entonces (en el marco cebado):

$E_x'=-\partial/\partial x'(\phi') =-\frac{q x'}{(x'^2)^{3/2}}$

utilizando la transformada de Lorentz$x'=\gamma (x-vct/c)$en lo anterior da:

$E_x'=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

Como el campo eléctrico en la dirección del movimiento no se transforma,$E_x'=E_x$, entonces

$E_x=\frac{q \gamma (x-vct/c)}{(\gamma (x-vct/c))^{3}}$

tenga en cuenta que esta expresión se reduce a la anterior cuando tomamos$x=0$como hicimos arriba. Sin embargo, queremos que el campo esté en la ubicación del otro electrón, que, en el marco del laboratorio, tiene posición$x=-vt$. Insertar esto en la expresión anterior para el campo da:

$E_x=\frac{q }{4\gamma^2 (vt)^2}$

El factor 4 viene de$(2vt)^2$y refleja el hecho de que la velocidad relativa de los dos electrones es$2v$.

Tercera edición para dar cuenta de la nueva pregunta del OP:

Si las cargas se aceleran, como la fuerza se dirige a lo largo de un solo eje, no necesitamos incluir el término de aceleración en la expresión del campo (ver el tercer término en la ecuación 28.3 de Feynman Vol II). La velocidad del sistema de referencia instantáneo en reposo de la partícula que se mueve hacia la derecha es$v=v_0+at$, dónde$v_0$es la velocidad en$t=0$y$a$es su aceleración. Tomamos el resultado derivado anteriormente:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) (x-vt))^{2}}$

y tenga en cuenta que$\gamma=\gamma (v)$. Ahora, la partícula que se mueve hacia la izquierda tiene ubicación$x=-at^2/2-v_0 t$. Insertando estas nuevas expresiones para$v$y$x$en la ecuación anterior da:

$E_x=\frac{q }{(\gamma(v) ((-at^2/2-v_0 t)-(v_0+at)t))^{2}}$

que se reduce al caso de no aceleración cuando$a=0$.