¿Por qué los trastes se acercan a medida que las notas se elevan?

¿Por qué los espacios entre los trastes de la guitarra se hacen más pequeños a medida que las notas se vuelven más altas?

La regla general para el tamaño de los trastes es la Regla del 18 , que establece que un traste se coloca a 1/18 de la distancia desde la tuerca/traste anterior hasta el puente. En realidad, 1/17.817. Y eso no es del todo correcto en todos los casos, ya que la G en la E baja tenderá a ser aguda debido a la flexión de la cuerda implícita en el traste y el ancho de la cuerda. Realmente no puedes afinar una guitarra, pero puedes acercarte...
Este artículo responde a su pregunta : las matemáticas detrás de una guitarra . En resumen, es la regla del 18, cada traste acorta la longitud de la cuerda vibrante en 1/18. Entonces, al avanzar por el mástil, la cuerda que vibra se vuelve más pequeña y la parte que se 'corta' para el siguiente semitono más alto también se vuelve más pequeña ... pero siempre es 1/18 de la longitud de la cuerda que vibra. ¡Fascinante!

Respuestas (5)

Esto es más claro cuando lo piensas en términos de la longitud de la cuerda. Ignorando por un segundo que las cuerdas deben tener una longitud mínima para vibrar, podemos producir una octava completa en la primera mitad de cualquier longitud de cuerda. Abierto para la nota "base", punto medio para la octava, un tercio hacia arriba para la quinta, etc.

Entonces, en una guitarra, tienes la primera mitad de la cuerda para formar una octava. Luego, en la segunda mitad, tienes otra mitad de eso (un cuarto) para formar la siguiente octava. Luego otro medio de un medio de un medio (octavo) para hacer la siguiente octava. Cada vez, solo tienes la mitad del espacio para la octava. Por lo tanto, cada traste debe tener la mitad del tamaño del traste una octava más bajo.

Esto refleja mi comentario anterior: mientras se mantienen las relaciones de frecuencia, las diferencias de frecuencia absolutas cambian por un factor de 2, y eso también se representa en los trastes físicos.

La respuesta es totalmente errada. ¿No es el aumento exponencial lo que hace que los trastes de notas más altas se acerquen? Mira mi respuesta.
@BogdanAlexandru No veo cómo nuestras respuestas están en desacuerdo. Simplemente ha proporcionado el caso general.

Porque la frecuencia con respecto al tono es exponencial, no lineal.

Exponencial (la frecuencia se duplica para cada octava, cada octava superior encaja perfectamente en la inferior con la menor interferencia posible, relación 2:1):

A3: 220 Hz
A4: 440 Hz
A5: 880 Hz

Lineal (mismo valor agregado a cada frecuencia sucesiva, lo que hace que la nota superior tenga una relación de 3: 2 con la anterior, mucha más interferencia que una octava):

A3: 220 Hz
 A4: 440 Hz
'A5': 660 Hz -- **no**

En realidad, estos 660 Hz serían una quinta entonación justa por encima de A4 o E5.

En realidad, la frecuencia es exponencial con respecto al tono, no geométrica . Exponencial es P(n) = P(n-1)*K(que también es P(n) = P0 * K^n), por lo que " la frecuencia se duplica por cada octava " sería Freq(octave) = Freq(octave-1)*2. Geométrico está entre Lineal y Exponencial y se expresa como una potencia fija de un índice: P(n) = n^K.
Incluso si la frecuencia fuera lineal, los trastes aún se acercarían para las notas más altas. De hecho, la distancia entre los trastes disminuiría mucho más rápido en ese caso.
Esta respuesta habla de frecuencia. La razón por la que los trastes se acercan es porque la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de la cuerda que vibra, lo que se conoce como la Primera Ley de la Acústica de Mersenne o Ley de Pitágoras .
@RBaryYoung Las series geométricas son exponenciales. Si tomas un número y lo sigues multiplicando por el mismo factor, como 1,05, es una serie geométrica. También es una función exponencial en el número de pasos: la fórmula corta para encontrar cualquier valor consiste en elevar ese factor 1,05 al número de pasos, lo que condensa la multiplicación. Estas son solo dos formas de hablar de lo mismo.

Los trastes se acercan aritméticamente (su distancia absoluta disminuye). Pero no se están acercando geométricamente, en términos de su distancia al puente.

Si tomas la distancia desde el puente hasta cualquier traste (llámalo X) y también la distancia desde el puente hasta el siguiente traste más alto (llámalo Y), entonces la relación X/Y es la misma ya sea que X e Y sean o no trastes 2 o 1, o trastes 20 y 19.

Esta relación produce la relación de frecuencia que corresponde al semitono (temperamento igual). Es 2 1/12 , o alrededor de 1,0595. (El dos denota que la frecuencia se duplica por octava, y el 1/12 indica un medio paso de un potencial doce en una octava).

El traste 19 está 1,0595 veces más lejos del puente que el traste 20.

El traste 1 está 1,0595 veces más lejos del puente que el traste 2.

Esta relación de 1,0595 es también la relación de frecuencia. Si conoce la frecuencia de alguna nota dada, como A = 440 Hz, puede averiguar cuál es la frecuencia de A#, un semitono más alto. Simplemente multiplique 440 x 1.0595 = 466.18. El A# por encima del 440A tiene una frecuencia de alrededor de 466,2.

Hay 12 semitonos en una octava. Si multiplicamos un número por 1,0595 y lo hacemos 11 veces más, obtendremos aproximadamente el doble del número original. Puedes probar esto en tu calculadora. Tipo 1 X 1.0595. Luego presione la tecla = 12 veces. Debería obtener un número muy cercano a 2.

Para quien le interese la razón común entre los trastes sería la raíz doceava de 2.

Solo para un traste bien templado y sin compensación :-). No recuerdo quién, pero alguien fabrica guitarras con trastes que se parecen un poco a relámpagos, supuestamente para mejorar las resonancias entre las cuerdas.
Si el traste no está compensado, entonces no puede estar bien templado. Esos trastes a los que te refieres en realidad se llaman trastes de "temperamento verdadero".
Y en concreto la palabra que buscas es equal-tempered , para fretting tradicional.
@CarlWitthoft, probablemente se esté refiriendo al sistema "Verdadero temperamento" ( truetemperament.com/site/index.php ). Hacen diapasones con (más) variantes de temperamento igual y bien templado. No hay entonación pura / justa por lo que sé, eso probablemente sería poco práctico.

Curiosamente, todas las respuestas pierden por completo el punto. Todos mencionan el aumento exponencial de la frecuencia como la razón ("duplicas la frecuencia por cada octava"), pero eso es una pista falsa.

Incluso si las frecuencias de los tonos consecutivos aumentaran linealmente, los trastes de las notas más altas aún estarían más juntos.

La verdadera razón por la que esto sucede es que la longitud de la cuerda que vibra es inversamente proporcional a la frecuencia del sonido que produce . Esta explicación física muy simple es la respuesta a la pregunta.

Dadas dos frecuencias "consecutivas" f1 y f2, la distancia entre los dos trastes es proporcional a (1/f1-1/f2) o (f2-f1)/ (f1*f2) .

Entonces, incluso si (f2-f1) fuera constante (es decir, las frecuencias aumentaran linealmente) o aumentaran directamente , el denominador (f1*f2) aún aumenta muy rápido a medida que f1 y f2 aumentan, lo que significa que no importa qué fórmula elija para el frecuencias, la distancia entre trastes se hará más pequeña.

Obviamente, podría elegir una fórmula que dé como resultado trastes equiespaciados; esa fórmula para las frecuencias coincidiría con las frecuencias encontradas en una guitarra construida con trastes equiespaciados. No diría que "duplicas la frecuencia por cada octava" es una pista falsa; ciertamente es el resultado de la relación entre la frecuencia y la longitud de la cuerda, pero ilustra muy bien por qué los trastes deben estar más cerca cuando las octavas corresponden a la duplicación de la frecuencia .
Si bien esto es cierto, la misma fórmula se aplica ya sea que los tonos aumenten lineal o exponencialmente. Dado que los instrumentos con trastes tienen sus trastes colocados para producir nuestros tonos 12TET, ambas explicaciones son correctas: cada octava duplica la frecuencia, lo que reduce a la mitad la longitud restante de la cuerda. Los lauderos piensan en términos de la relación exponencial porque eso nos dice dónde debe ir el siguiente traste, y en la música esa relación es exponencial.
Su observación es fácil de pensar de esta manera: suponga que las ranuras de los trastes se cortaron a la misma distancia. Entonces tendríamos intervalos de tono crecientes entre las sucesivas notas trasteadas. Por lo tanto, incluso los intervalos de tono significan que los trastes deben estar más juntos para que no tengamos una "escala fuera de control" descabellada.
¿Por qué los trastes se acercan a medida que las notas se elevan?
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