Operadores de desplazamiento y espacios de productos directos

El único punto crucial es la degeneración de los espacios propios.

Considere el espacio de Hilbert de dimensión finita$\cal H$(la extensión al caso de dimensión infinita es más difícil también porque puede aparecer una parte del espectro continuo) y un par de operadores hermitianos conmutantes$A$y$B$en ese espacio tal que se cumpla el siguiente requisito.

R .: Hay una base de${\cal H}$hecho de vectores propios comunes con exactamente la forma

$$\{| a, b\rangle \:|\: a \in \sigma(A)\:, b\in \sigma(B)\}$$

dónde$A|a,b\rangle = a|a, b\rangle$y$B|a,b\rangle = b|a, b\rangle$para todos$a \in \sigma(a)$y$b \in \sigma(B)$.

Nótese que R. tiene que entenderse literalmente , es decir, el espacio propio de$A$con valor propio$a$es exactamente el lapso de los vectores$|a, b\rangle$dónde$b$rangos en total$\sigma(B)$y viceversa si se cambia$A$y$B$. En particular, la dimensión de cada espacio propio de$A$es el mismo y está dado por el número de elementos de$\sigma(B)$y viceversa.

Bajo estas hipótesis si$n(A)$y$n(B)$respectivamente son el número de elementos en$\sigma(A)$y$\sigma(B)$, construcción

$$A' : {\mathbb C}^{n(A)} \to {\mathbb C}^{n(A)}\:, \quad B' : {\mathbb C}^{n(B)} \to {\mathbb C}^{n(B)}$$ como los operadores hermitianos definidos por las matrices$diag(a_1,\ldots, a_{n(A)})$y$diag(b_1,\ldots, b_{n(B)})$respectivamente (el orden es arbitrario pero fijo). Finalmente, si$e_1,\ldots, e_{n(A)}$es la base canónica de${\mathbb C}^{n(A)}$, utiliza la notación$|a_j\rangle := e_{j}$y adoptar la convención análoga para${\mathbb C}^{n(B)}$.

Desde$dim {\cal H}= n(A)n(B) = dim({\mathbb C}^{n(A)}\otimes {\mathbb C}^{n(B)})$, es evidente que el mapa interpolando entre dos bases de los espacios relevantes,

$$U: {\mathbb C}^{n(A)} \otimes {\mathbb C}^{n(B)} \ni |a_i\rangle |b_j \rangle \mapsto |a_i b_j \rangle \in {\cal H} \quad (a_i,b_j) \in \sigma(A) \times \sigma(B) \tag{U1}$$

se extiende linealmente a un isomorfismo espacial de Hilbert tal que

$$U (A'\otimes I) U^{-1} =A \quad \mbox{and}\quad U (I\otimes B') U^{-1} =B \tag{U2}$$

Probé que R es una hipótesis suficiente que garantiza la existencia de la aplicación unitaria$U$como en (U1) verificando (U2). Lo contrario es trivialmente cierto. La extensión al caso de dimensión infinita es sencilla si los operadores tienen un espectro puntual puro. El caso de más de dos operadores conmutantes puede tratarse de manera análoga.

Al menos formalmente, puedes ver que la hipótesis R es válida para los operadores$X$y$Y$en tu pregunta, pero no es para$J^2$y$J_z$porque la degeneración de los espacios propios de$J^2$depende del valor propio. Sin embargo, en este caso, el espacio de Hilbert se puede descomponer como una suma directa de subespacios isomorfos a productos tensoriales adecuados...

Considere los operadores autoadjuntos$A$y$B$, en un espacio de Hilbert$\mathscr{H}$.

En términos generales (olvidando los dominios de definición), solo es posible si su espacio de Hilbert se puede escribir como$\mathscr{H}=\mathscr{H}_1\otimes \mathscr{H}_2$; dónde$\mathscr{H}_1$y$\mathscr{H}_2$son espacios de Hilbert tales que:$A=A_1\otimes 1$y$B=1\otimes B_2$, con$A_1$un operador en$\mathscr{H}_1$,$B_2$en$\mathscr{H}_2$, y$1$el operador de identidad (en cualquiera de los dos espacios).

editar [ prueba rigurosa tentativa, utilizando familias espectrales ] . (Lo que sigue es bastante técnico, pero ofrece una reformulación rigurosa de lo que se explica heurísticamente más arriba)

Proposición : Sobre$\mathscr{H}=\mathscr{H}_1\otimes\mathscr{H}_2$Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) Hay dos operadores autoadjuntos tales que:$A=A_1\otimes 1$, con$A_1$definido en$D(A_1)\subseteq \mathscr{H}_1$; y$B=1\otimes B_2$con$B_2$definido en$D(B_2)\subseteq \mathscr{H}_2$.

2)$A$y$B$están conmutando operadores autoadjuntos en$D(A)\cap D(B)\subseteq \mathscr{H}$y la familia espectral común$\{\chi_{\Omega_1,\Omega_2}(A,B)\}$satisface la siguiente propiedad:

Existen dos familias espectrales$\{\chi_{\Omega}(A_1)\}$en$\mathscr{H}_1$y$\{\chi_{\Omega}(B_2)\}$en$\mathscr{H}_2$($\Omega$un subconjunto de Borel de$\mathbb{R}$) tal que

$$\chi_{\Omega_1,\Omega_2}(A,B)=\chi_{\Omega_1}(A_1)\otimes\chi_{\Omega_2}(B_2) \; .$$

prueba : 1)$\Rightarrow$2) es sencillo, y$\{\chi_\Omega(A_1)\}$es la familia espectral asociada a$A_1$,$\{\chi_\Omega(B_2)\}$el asociado con$B_2$.

2)$\Rightarrow$1): Deja$d\chi_{\lambda}(A)$ser la medida de valor de proyección asociada a$A$, y$d\chi_\lambda (B)$la medida de valor de proyección asociada a$B$. Desde$A$y$B$conmutan, tienen una familia espectral común, que es "más fina" que cada uno, en el sentido de que, denotando por$\mathscr{H}_\Omega(A)$el rango de$\chi_\Omega(A)$y por$\mathscr{H}_{\Omega,\Omega_2}(A,B)$el rango de la familia espectral común$\chi_{\Omega,\Omega_2}(A,B)$tenemos eso para cualquier$\Omega_2\subseteq \mathbb{R}$:

$$\mathscr{H}_{\Omega,\Omega_2}(A,B)\subseteq \mathscr{H}_\Omega(A)\; ,$$ la igualdad se cumple si y solo si $\Omega\supseteq \sigma(B)$(el espectro de $B$). Si denotamos por $d\chi_{\lambda_1,\lambda_2}(A,B)$la medida espectral correspondiente a la familia común, tenemos la siguiente representación de $A$: $$A=\iint\lambda_1 d\chi_{\lambda_1,\lambda_2}(A,B)\; .$$ Ahora usamos el hecho de que: $\chi_{\Omega_1,\Omega_2}(A,B)=\chi_{\Omega_1}(A_1)\otimes\chi_{\Omega_2}(B_2)$ $\Rightarrow$ $d\chi_{\lambda_1,\lambda_2}(A,B)=d\chi_{\lambda_1}(A_1)d\chi_{\lambda_2}(B_2)$: $$A=\iint\lambda_1 d\chi_{\lambda_1}(A_1)d\chi_{\lambda_2}(B_2)=\int\lambda_1 d\chi_{\lambda_1}(A_1)\otimes 1\; .$$ Eso define al operador. $A_1=\int\lambda_1 d\chi_{\lambda_1}(A_1)$, en $D(A_1)\subseteq\mathscr{H}_1$. La definición de $B_2$es perfectamente análoga.

Si no me equivoco, parece que la condición 1) es realmente necesaria y suficiente para tener lo que pide el OP (escrito aquí en una forma más general).

Nota : no hay suposiciones sobre la degeneración de los valores propios, o la discreción del espectro, etc. (esperando, obviamente, que la prueba sea correcta)