Lo que entiendo es lo siguiente.
1) Hay un ket abstracto (vector) que contiene toda la información sobre el sistema y vive en un espacio vectorial abstracto, el Espacio de Hilbert que puede o no ser de dimensión infinita. La base de posición/base de momento/base de energía/base de momento angular es la base del operador de posición/momento/energía/momento angular en este espacio de Hilbert (por favor, no vaya a espacios de Hilbert amañados y en este momento acepte vagamente que un ket propio de posición puede expresarse como una combinación lineal de kets propios de energía o impulso de alguna manera, sin entrar en los detalles de cómo). Proyecte el ket sobre los kets base y, a partir del producto escalar, construya los espacios de posición, momento, energía, momento angular, etc. El espacio de posición y el espacio de momento comparten la estructura de un espacio de función y, por lo tanto, redefinen el producto interno en ellos ( #Shankar). El producto interno en el Hilbert Space original se define sin referencia a ninguna base. Aquí el producto interno se define con el espacio de posición t, por lo que su definición cambia (se convierte en una integral). La base energía/momento angular puede tener la misma definición de producto interior que el Espacio de Hilbert original. Los operadores en el espacio abstracto de Hilbert son en sí mismos abstractos y necesitan que se les dé una estructura, que son en estos espacios. La función de onda tiene una correspondencia uno a uno con el sistema ket, por lo que la mecánica cuántica procede de la misma manera en este espacio funcional que en el espacio abstracto de Hilbert. Los operadores se escriben en base a la posición (sus elementos de matriz se escriben en base a la posición, etc.). t posiciona el espacio para que su definición cambie (se convierte en una integral). La base energía/momento angular puede tener la misma definición de producto interior que el Espacio de Hilbert original. Los operadores en el espacio abstracto de Hilbert son en sí mismos abstractos y necesitan que se les dé una estructura, que son en estos espacios. La función de onda tiene una correspondencia uno a uno con el sistema ket, por lo que la mecánica cuántica procede de la misma manera en este espacio funcional que en el espacio abstracto de Hilbert. Los operadores se escriben en base a la posición (sus elementos de matriz se escriben en base a la posición, etc.). t posiciona el espacio para que su definición cambie (se convierte en una integral). La base energía/momento angular puede tener la misma definición de producto interior que el Espacio de Hilbert original. Los operadores en el espacio abstracto de Hilbert son en sí mismos abstractos y necesitan que se les dé una estructura, que son en estos espacios. La función de onda tiene una correspondencia uno a uno con el sistema ket, por lo que la mecánica cuántica procede de la misma manera en este espacio funcional que en el espacio abstracto de Hilbert. Los operadores se escriben en base a la posición (sus elementos de matriz se escriben en base a la posición, etc.). que se encuentran en estos espacios. La función de onda tiene una correspondencia uno a uno con el sistema ket, por lo que la mecánica cuántica procede de la misma manera en este espacio funcional que en el espacio abstracto de Hilbert. Los operadores se escriben en base a la posición (sus elementos de matriz se escriben en base a la posición, etc.). que se encuentran en estos espacios. La función de onda tiene una correspondencia uno a uno con el sistema ket, por lo que la mecánica cuántica procede de la misma manera en este espacio funcional que en el espacio abstracto de Hilbert. Los operadores se escriben en base a la posición (sus elementos de matriz se escriben en base a la posición, etc.).
Mis preguntas son (por favor aborde cada una de las siguientes en su respuesta) -
1) El operador de momento se puede escribir en función de la posición. ¿Cómo se escribe el operador de energía o el operador de momento angular en base a la posición? ¿Escribir el operador de energía en base a la posición significa escribir sus elementos de matriz en base a la posición o algo más?
2) Por qué no hacemos mecánica cuántica en el espacio de energía en lugar del espacio de posición.
3) ¿Se puede considerar el Espacio de Hilbert completo como la suma (no la suma directa ya que el espacio de vectores propios de energía no se cerrará bajo la suma, por lo que no será un subespacio del espacio completo original) de intervalos de posición, momento, energía, momento angular? espacios, etc. o no. Pregunto esto porque para incorporar Spin necesitamos tomar el producto tensorial de dos espacios, pero aquí los operadores de posición e impulso no conmutan, por lo que no puedes tomar un producto tensorial de sus espacios.
4) ¿En qué se diferencia ese espacio de posición de nuestro espacio 3D real?
No pude obtener la respuesta hasta ahora. La respuesta ya dada no responde a mis dudas. Si alguien pudiera ayudar, sería genial.
A las relaciones de Weyl se les puede dar una representación irreducible a través de la representación de Schrödinger, que von Neumann demostró que es única. De hecho, esta es una representación de los operadores de posición y momento en con la medida de Lebesgue en el caso de un sistema con grados de libertad. En esta representación, el operador de posición actúa como operador de multiplicación, mientras que el operador de momento actúa como operador de diferenciación.
1) Cualquier otra cantidad observable es, como en el caso clásico, una expresión que involucra cantidad de movimiento y posición. Por ejemplo, la energía de una partícula libre es proporcional al cuadrado del operador de cantidad de movimiento. Toda la Física que uno necesita entonces ya está "codificada" en el espacio de Hilbert de la representación, es decir .
2) El QHO normalmente se resuelve en el espacio de "energía". Más correctamente, se determina una base para el operador numérico , pero de nuevo, el operador de energía es una función de entonces modulo un poco de calculo funcional podemos considerar que el espacio de energia.
3) ver 1)
4) Estrictamente hablando, el espacio de posición es un espacio de Hilbert, mientras que nuestro espacio se cree que es euclidiano, con una estructura subyacente de . Sin embargo, eso es inferible de la de . En este sentido, entonces, los dos espacios son lo mismo.
Shashank
Shashank
fénix87
Shashank