También sabemos que en realidad una pluma de plomo cae mucho más rápido que una pluma de pato con exactamente las mismas dimensiones/estructura, etc.

No, no en la realidad, en el aire . En el vacío, digamos, en la superficie de la luna ( como se demuestra aquí ), caen a la misma velocidad.

¿Existe una explicación matemática más formal de por qué uno cae más rápido que el otro?

Si los dos objetos tienen la misma forma, la fuerza de arrastre sobre cada objeto, en función de la velocidad$v$, es el mismo.

La fuerza total que acelera el objeto hacia abajo es la diferencia entre la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre:

$$F_{net} = mg - f_d(v)$$

La aceleración de cada objeto es entonces

$$a = \frac{F_{net}}{m} = g - \frac{f_d(v)}{m}$$

Tenga en cuenta que en ausencia de arrastre, la aceleración es$g$. Con arrastre, sin embargo, la aceleración, a una velocidad dada, se reduce en

$$\frac{f_d(v)}{m}$$

Para la pluma de plomo mucho más masiva, este término es mucho más pequeño que para la pluma de pato.

Una buena aproximación de la fuerza de arrastre de un objeto que cae a través de la atmósfera es$-cv^2$, con$c$una constante independiente de la masa. De este modo,

$$m \dot{v} = mg - cv^2$$ es la ecuación de movimiento con condición inicial $v(0)=0$. Nosotros escribimos $$t = m \int_0 ^{v(t)} \frac{d v}{mg -cv^2}$$ y el resultado final es $$v (t) = \sqrt{\frac{mg}{c}} \tanh \left( t \sqrt{ \frac{gc}{m}} \right),$$ que es una función creciente a medida que $m$aumenta por $t$constante, por lo tanto, los objetos más pesados ​​caen más rápido que los más livianos en presencia de la resistencia del aire. La velocidad máxima es $$\lim_{t\to \infty} v(t) = \sqrt{\frac{mg}{c}}.$$ Para una persona en caída libre con arrastre, la velocidad terminal es de unos 50 m/s.

El análisis anterior depende de que la sección transversal del objeto que cae permanece constante, lo que muchas veces dista mucho de ser cierto y altera significativamente el resultado, ya que, por ejemplo, una pluma se curva al caer mientras que una pluma de la misma forma hecha de el metal no se curvará y será más pesado, lo que hará que la diferencia en la velocidad de caída sea más pronunciada. De hecho, una parcela con diferentes$c$, cual es$\propto A^{-1}$con$A$la sección transversal, indica que el efecto de la sección transversal sobre la velocidad es mucho más importante que el de las diferentes masas. Además, asumimos que las corrientes de viento y la turbulencia son insignificantes, otra suposición que puede cambiar significativamente el resultado en condiciones reales.

Editar:

Este análisis, como se anticipó, puede fracasar estrepitosamente si se tiene en cuenta que un objeto asimétrico en general gira de forma caótica si supera cierto ángulo umbral, del que se puede decir que depende de la densidad, cf. Este artículo

Respuesta corta: ¡resistencia al aire!

La gravedad está actuando en ambas plumas, la más masiva recibe un tirón más fuerte hacia abajo. La resistencia del aire contrarresta ese movimiento y es proporcional a la velocidad (de una manera muy compleja, referencias aquí y aquí )

Ese tirón más fuerte ayuda a superar la creciente fuerza de oposición de arrastre. Es por eso que la pluma de plomo acelerará más rápido y alcanzará una velocidad terminal mayor.

El mismo principio se aplica a los coches de carreras. Dos coches, de la misma forma, el que tenga el motor más potente puede acelerar más y alcanzar una mayor velocidad máxima.

Otro ejemplo: los paracaidistas generalmente visten algo para aumentar la resistencia del aire y se paran en una posición para ayudar a que la resistencia reduzca la velocidad terminal y aumente el tiempo de caída. Un saltador de pie caerá mucho más rápido.

Editar

Después de una discusión sobre el efecto de flotabilidad, busqué un rato sobre la densidad de las plumas de un pájaro, un valor que no es fácil de obtener. Encontré esta referencia (es un documento .pdf) sobre la pluma de pollo y contiene muchas consideraciones sobre la densidad. Después de la lectura podemos usar un valor de 0,89g/cm3 y que es casi tan denso como el agua. Entonces cualquier efecto de flotabilidad es insignificante. Si todavía queremos hablar de fuerzas insignificantes, podemos elegir también la variación de la gravedad en la altitud o el efecto de la física relativista sobre la aceleración de un cuerpo.

¡Momento lineal!

Creo que la forma más fácil de dejar sin aliento el concepto es pensar a nivel atómico sobre el momento de los objetos y los átomos del aire que causan la fricción.

El momento lineal es igual a$m\times v$por lo tanto, el objeto más pesado tiene un mayor impulso. Imagine un átomo que viene de la dirección opuesta del objeto que cae y choca con el objeto.

Para facilitar las cosas supongamos una colisión unidimensional inelástica. Básicamente, cuando los átomos chocan con el objeto, el objeto pierde parte de su impulso, la masa es constante, por lo que el objeto se ralentiza.

Imagine dos objetos con diferente masa pero la misma velocidad, el objeto con mayor masa (por ejemplo, una esfera de metal) perderá solo un poco de su momento lineal, por lo tanto, seguirá avanzando con una velocidad cercana a la inicial, por otro lado el Un objeto con una masa más pequeña (por ejemplo, un globo) y un momento elevado perderá una gran parte de su momento lineal y, por lo tanto, ¡disminuirá considerablemente su velocidad!

Si la pluma de plomo cae más rápido o la pluma de pato cae más rápido, depende de la dirección de la fuerza externa por unidad de área que actúa sobre ellos, la masa por unidad de área de cada uno de ellos.

La probabilidad de que la pluma de plomo caiga más rápido es mayor que la de la pluma de pato, debido a la mayor probabilidad de que haya menos fuerza externa hacia abajo en ambas.

La fuerza hacia abajo no debe despreciarse teniendo en cuenta la presión atmosférica, la presión del aire puede soportar un$10m$alta columna de agua (ley de Torricelli). ¡Un vaso bastante alto! Haga clic aquí para ver el video.$_1$

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Créditos:$_1$ABC de la Física de Modern-Edición 2012-Página No.695.