Si lanzáramos una pelota de béisbol desde la ISS, ¿podríamos desorbitar la pelota?

¡No necesitas lanzar la pelota!

A la altitud de la ISS, la atmósfera es lo suficientemente espesa como para perder entre 50 y 100 m de altitud todos los días debido a la resistencia. A ese ritmo, durante su escala de tiempo de diez años, la ISS perdería de 180 a 360 km. Cuando se tiene en cuenta el aumento de la resistencia a altitudes más bajas, diez años son suficientes para que la ISS se estrelle con fuerza.

Así que pon la pelota en tu bolsillo y espera.

En realidad, esto es bueno porque la velocidad orbital de la ISS es un poco más de 17000 millas por hora y la velocidad récord para lanzar una pelota de béisbol (¡no en un traje espacial!) es solo un poco más de 100 mph.

John Rennie ya dio la respuesta práctica teniendo en cuenta la atmósfera, señalando que, sin hacer nada, los objetos cerca de la ISS se desorbitarán rápidamente debido a la resistencia. Pero eso es dejar que la realidad se interponga en el camino de un buen problema de física. Mostraré que, si bien un humano no puede enviar una pelota que se estrella contra la superficie en una órbita, puede acercarse.

La ISS aparece con una velocidad orbital típica de$v = 7.66\times10^3\ \mathrm{m/s}$. Para una partícula de prueba en órbita alrededor de la Tierra, parámetro gravitacional $GM_\oplus = 3.98\times10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$, una órbita circular (que asumiremos por concreción y simplicidad) tendrá un semieje mayor (es decir, radio) de

$$a_0 = \frac{GM_\oplus}{v^2} = 6.79\times10^6\ \mathrm{m}.$$ Tendrá una energía específica de $\epsilon_0 = -GM_\oplus/2a_0 = -v^2/2$, y un momento angular específico de $h_0 = a_0v$.

Su primer instinto ¹ podría ser lanzar la pelota con velocidad$\Delta v$. Esto agregará velocidad perpendicular a su velocidad actual, por lo que el cambio de energía es simple:$\epsilon_\mathrm{down} = \epsilon_0 + \Delta\epsilon_\mathrm{down}$,$\Delta\epsilon_\mathrm{down} = (\Delta v)^2/2$. Debido a que la velocidad agregada es a lo largo de la dirección radial, el momento angular no cambia:$h_\mathrm{down} = h_0$.

Dado$\epsilon$y$h$, podemos calcular el correspondiente$a$y$e$(excentricidad) según

$$a = -\frac{GM_\oplus}{2\epsilon}, \qquad e = \sqrt{1-\frac{h^2}{GM_\oplus a}}.$$ A partir de ahí es muy sencillo encontrar el perigeo según $$r_\mathrm{per} = (1-e) a.$$ Conectar números para $\Delta v = 100\ \mathrm{mph} = 44.7\ \mathrm{m/s}$, esto nos lleva $$r_\mathrm{per,down} = 6.75\times10^{6}\ \mathrm{m}.$$

Sin embargo, puedes hacerlo mejor lanzando directamente hacia atrás. Esta es la forma más eficiente de bajar el perigeo. En este caso, la nueva energía cinética específica es$k_\mathrm{back} = (v-\Delta v)^2/2$, lo que significa que la energía cambia por$\Delta\epsilon_\mathrm{back} = k_\mathrm{back} - v^2/2$. El momento angular también cambia en este caso:$h_\mathrm{back} = a_0 (v-\Delta v)$. Conectar números nos da

$$r_\mathrm{per,back} = 6.64\times10^6\ \mathrm{m}.$$

Ahora resulta que el punto más alto de la Tierra es Chimborazo , con una elevación sobre el centro de la Tierra de$r = 6.38\times10^6\ \mathrm{m}$. Por lo tanto, no podría forzar a la pelota a golpear cualquier parte de la Tierra con velocidad. Sin embargo, el efecto no es despreciable. Si miramos los valores de$r_\mathrm{per}/r$, empezamos en$1.064$y llegué a cualquiera$1.059$(arrojar) o$1.040$(lanzar hacia atrás).

¿Qué tan lejos en la atmósfera te lleva lanzar hacia atrás? Según esta herramienta para el modelo de atmósfera NRLSISE-00, la densidad de la atmósfera a partir de una altitud de$415\ \mathrm{km}$a$259\ \mathrm{km}$aumenta en un factor de aproximadamente$30$. Por lo tanto, cualquier arrastre que experimente la ISS se puede aumentar bastante con solo un pequeño cambio en la órbita.

¿Qué tan rápido necesitarías lanzar la pelota para desorbitarla en ausencia de una atmósfera? Si tiramos hacia atrás, nuestro viejo$a = a_0$será nuestro nuevo apogeo. Queremos que nuestro nuevo perigeo sea la altitud$r$. Resolviendo$r_\mathrm{apo,per} = (1 \pm e) a$por$a$nos dice que queremos un nuevo semieje mayor de$a = (a_0+r)/2$. Retrocediendo a través de$\epsilon = -GM_\oplus/2a$esto nos dice cuál es la nueva energía y, por lo tanto, cuál debe ser el cambio de velocidad (ya que solo podemos cambiar la energía cinética con un impulso instantáneo). La respuesta es$120.\ \mathrm{m/s} = 268\ \mathrm{mph}$. Este número relativamente pequeño en comparación con la velocidad orbital es un reflejo de cuán cerca está la órbita terrestre baja de la superficie en comparación con el radio de la Tierra.

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_{¹ A menos que hayas jugado Kerbal Space Program.}

En una nota práctica, hubo una caminata espacial hace unos años cuando reemplazaron una bomba de amoníaco defectuosa que era del tamaño de un refrigerador. El astronauta simplemente le dio un rápido empujón para alejarlo de la estación sabiendo que pronto saldría de órbita lo suficientemente rápido como para que no hubiera peligro de colisión.

PD: si tiene Kerbal Space Program, sería divertido probarlo.