¿Por qué los fermiones tienen una ecuación de primer orden (Dirac) y los bosones una de segundo orden?

Spin-1/2 admite ecuaciones de primer orden simplemente porque$(\mathbf{1/2,1/2})\otimes (\mathbf{0,1/2})$contiene la representación$(\mathbf{1/2,0})$de modo que se pueda escribir una ecuación lineal para partículas libres (es decir, que contenga una derivada que actúe sobre un campo y devuelva un campo). El primer término del producto es la derivada que se transforma como un vector de Lorentz$(\mathbf{1/2,1/2})$, mientras$(\mathbf{0,1/2})$y$(\mathbf{1/2,0})$son espinores diestros y zurdos respectivamente. Los coeficientes de Clebsch-Gordan no son más que las matrices gamma.

Claramente, lo mismo está prohibido para los giros enteros. Porque un escalar es trivial. Para un campo spin-1$(\mathbf{1/2,1/2})$uno tiene eso$( \mathbf{ 1/2, 1/2}) \otimes ( \mathbf{1/2,1/2})$no contiene$(\mathbf{1/2,1/2})$, y así sucesivamente para giros enteros más altos. Es básicamente la estructura de grupo de la simetría de Lorentz la que prohíbe la ecuación de primer orden. para giros enteros.

Has dado con la superficialidad exacta que lleva a la gente a las teorías de la supersimetría. No hay nada fundamentalmente absoluto en una 2-ODE que gobierne la evolución dinámica de una "partícula". Eleva al cuadrado tu ecuación de Dirac y obtienes una 2-ODE (KG), pero la primera es aún más esclarecedora y contiene tanta información como la última. De hecho, el requisito de espín y dimensionalidad (N=4, el caso realizable más simple) se sigue naturalmente cuando adopta una perspectiva crítica hacia una 2-ODE (le dio a Dirac, densidades de probabilidad que no eran definidas positivas y que no tenían sentido físico , a menos que comience a inventar nuevas conjeturas (por ejemplo, teoría de agujeros)). (Conoces estas historias, ¿verdad? De lo contrario, lee Bjorken, Drell; no serán demasiados detalles, pero sí suficientes).

tomemos el caso N=4 más simple (esa es la dimensión más baja en la que puede darse cuenta de esa estructura de grupo. Pero, por supuesto, son posibles las más altas). Podemos dar sentido 'físico' a esta dimensionalidad reconociendo que los cuatro componentes de el bi-spinor lleva información sobre (girar hacia arriba, girar hacia abajo) * (energía positiva, energía negativa) partes. Pero nuevamente, esa dimensionalidad fue forzada por la estructura del grupo y NO es una cuestión de distinción fundamental entre una partícula con espín y una partícula sin espín. Eleve al cuadrado la parte del operador de la ecuación de Dirac y obtendrá una 2-ODE para cada uno de estos componentes.

Entonces, toda esta formulación crea esta impresión engañosa de que la dimensionalidad del espacio crea una distinción fundamental entre fermiones y bosones. Cómo se trata esto en SUSY es un poco demasiado detallado para mencionarlo aquí (además, acabará con la diversión, cuando finalmente lo aprenda leyendo un libro de texto). Recomiendo genuinamente el libro SUSY de W. Seigel y solo los dejaría con un adelanto: no solo que no hay una distinción absoluta entre fermiones y bosones, el espectro es mucho más rico; ¿Alguna vez has oído hablar de `anyons'? Eso está bien, lo descubrirás a su debido tiempo. Feliz inclinación :)

PD: como todo físico concienzudo, los dejo con una palabra de ADVERTENCIA. SUSY es una hermosa teoría, podría ser un gran paso en la dirección correcta si se demuestra que es correcta. PERO NO LO TRATÉIS COMO UNA BIBLIA, HASTA QUE HAYA ALGUNA EVIDENCIA EXPERIMENTAL A FAVOR DE ÉL, por muy bonito que sea.

Permítanme señalar que la ecuación de Dirac es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (EDP) de primer orden para 4 componentes del espinor. Puede presentar la ecuación de Klein-Gordon como un sistema de PDE de primer orden para 5 incógnitas ($\psi$y sus derivadas parciales con respecto a$t,x,y,z$:$u=\psi_{,t}$,$v=\psi_{,x}$,$w=\psi_{,y}$,$r=\psi_{,z}$. Por otro lado, la ecuación de Dirac es generalmente equivalente a una ecuación de cuarto orden para una incógnita (ver mi artículo http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (JOURNAL OF MATEMÁTICA FÍSICA 52 , 082303 (2011))

Permítanme dar una respuesta que encuentro muy buena y basada en un pequeño libro de texto sobre mecánica cuántica relativista ( Mecánica cuántica relativista , S Trahanas, en griego)

Primero, se puede comenzar con los datos conocidos de partículas con espín integral (denominadas bosones, que obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein) y partículas con espín semiintegral (denominadas fermiones que obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac, o el principio de exclusión de Pauli)

Entonces se puede intentar encontrar una ecuación cuántica relativista (efectivamente, una ecuación de Schrödinger compatible con la relatividad especial). Se puede notar que la ecuación ordinaria de Schrödinger (libre)

con un hamiltoniano de la forma$H=\hat{p}^2/2m$reproduce la clásica relación energía-momento$E=p^2/2m$que no es relativista .

Entonces se puede usar la misma asociación de variables canónicas en operadores pero en la relación energía-momento relativista$E^2=m^2 + p^2$(1) (tomando$c=1$), para derivar una versión relativista de la ecuación de Schrödinger.

Si se hace eso en la relación (1), se obtiene la ecuación de Klein-Gordon. Esta ecuación es buena para los bosones y la energía está limitada desde abajo cuando los bosones se describen mediante esta ecuación.

Sin embargo, si se intenta aplicar la ecuación de KG a los fermiones, surgen problemas. Para empezar, los fermiones que obedecen al principio de Pauli (por lo tanto deben ser cuantificados con anticonmutadores ), hacen que la ecuación de KG tenga energía ilimitada desde abajo (que es algo equivalente a un perpetuum mobile).

El problema es que la relación (1) es de segundo orden en la Energía (por lo tanto en forma de ecuación, es de segundo orden en la evolución del tiempo$\partial/\partial t$).

Dirac trató de resolver esto factorizando la relación (1) en esta forma (2):

pero para que la relación (2) sea igual a la relación (1) cuando se eleva al cuadrado,$\mathbf{\alpha}$y$\mathbf{\beta}$no son números ordinarios sino algún tipo de matrices (específicamente matrices de Pauli). Así entramos en lo que se denomina formalismo de espinores en la ecuación de Dirac, que es una ecuación cuántica derivada de la relación (2).

De hecho, la ecuación de Dirac puede describir fermiones (también conocido como principio de exclusión de Pauli, anticonmutadores) y, de hecho, la energía está limitada desde abajo.

Un artefacto es que la ecuación de Dirac describe 2 partículas y no una, ya que están involucradas matrices/espinores. Finalmente, esto condujo al descubrimiento del positrón (y antipartículas/antimateria).

Finalmente, la síntesis de la mecánica cuántica y la relatividad (junto con las antipartículas) condujo al formalismo de la Teoría Cuántica de Campos y al teorema Spin-Statistics, que relaciona teóricamente el spin de una partícula con el tipo de estadística que sigue (spin integral-> Estadísticas de Bose-Einstein, espín semiintegral->estadísticas de Fermi-Dirac)

Referencias:

1. PAM Dirac, La teoría cuántica del electrón
2. PAM Dirac, La teoría cuántica del electrón. Parte II
3. PAM Dirac, una ecuación de onda relativista de energía positiva
4. PAM Dirac, una ecuación de onda relativista de energía positiva. Yo

Los fermiones obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac, mientras que los bosones obedecen a las estadísticas de Bose-Einstein. Este es un hecho experimental y no podemos hacer nada al respecto. Encuentra su primera y más famosa evidencia en el principio de Pauli. Por mencionar algunos más, la condensación de Bose y el bloqueo de Fermi son un hecho de la ciencia cotidiana, e incluso tenemos la confirmación de que la función de onda de un fermión cambia de signo después de una rotación de 360 ​​grados. Estas cosas distinguen experimentalmente a los fermiones de los bosones.
La ecuación de Dirac trae todas las características fermiónicas del juego. Lo hace en una ecuación diferencial de primer orden. Por otro lado, la ecuación de Klein Gordon trae todas las características bosónicas del juego. Lo hace en segundo orden. No puede obtener características fermiónicas de la ecuación de Klein Gordon o viceversa. Sobre esto, hay un buen párrafo en el libro de Peskin & Schroeder en el capítulo 3.5: "Cómo no cuantizar el campo de Dirac: una lección de Spin y Estadística". Muestra que algo sale terriblemente mal si intenta cuantificar la ecuación de Dirac de la misma manera que cuantifica las partículas bosónicas.

La estadística es lo que observamos, la estadística es lo que tratamos de modelar.

Steven Weinberg comienza con las simetrías de la relatividad y el marco cuántico, y llega en el capítulo 5 del volumen uno a la ecuación de Dirac. Primero obtiene el campo cuántico para partículas de espín 1/2 (sin referencia a ningún Lagrangiano o ecuación de onda), luego construye el valor de expectativa de vacío del campo y su adjunto, esto lleva al propagador de Feynman-Dyson. Anteriormente en el análisis obtiene el operador de Dirac cuando calcula las sumas de espín. Al actuar el operador de Dirac en el propagador FD se obtiene, hasta un signo, la función delta de Dirac de cuatro dimensiones para xy. De aquí se sigue la densidad lagrangiana.

Matemáticamente, la linealidad depende del hecho de que (\vec matriz de Pauli . vector de momento unitario)^2 = matriz identidad.

Si necesita más detalles, consulte mi monografía (Mass Dimension One Fermions, Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, 2019). Y uno puede evadir la linealidad sobre la que escribes.

Espere una preimpresión pronto: en bosones de espín 1/2 con ecuación de onda lineal.

De hecho, la ecuación de Dirac se puede expresar como una ecuación diferencial de segundo orden de la forma