Adjunto de Dirac de una matriz

El adjunto de Dirac para los espinores de Dirac se define como,

$$\bar{u} = u^{\dagger} \gamma^{0} \, .$$ Sin embargo, me he encontrado con esto, $$\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu} \, , \tag{1}$$ (dónde $\gamma^{\mu}$son los $4\times4$matrices gamma). Aplicar ingenuamente las mismas reglas que para el espinor de Dirac claramente no nos lleva a ninguna parte, $$\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu \dagger} \gamma^{0} = \gamma^{0} \gamma^{\mu} \gamma^{0} \gamma^{0} = \gamma^{0} \gamma^{\mu} \neq \gamma^{\mu} \, .$$ Entonces parece que el adjunto de Dirac para una matriz se define de manera diferente, así que al tratar de resolver esto, hago el siguiente razonamiento, sea $A$ser un $4 \times 4$matriz y $u$un espinor de Dirac tal que $Au$es de nuevo un espinor de Dirac. Tomando el conjugado de Dirac (que se define) da, $$\overline{A u} = (A u)^{\dagger} \gamma^{0} = u^{\dagger} A^{\dagger} \gamma^{0} = u^{\dagger} \gamma^{0} \gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0} = \bar{u} \;\underbrace{\gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0}}_{ = \bar{A} ? } \, .$$ Así que mi conjetura es que $\bar{A} = \gamma^{0} A^{\dagger} \gamma^{0}$. Si este es el caso, es sencillo demostrar que $\overline{\gamma^{\mu}} = \gamma^{\mu}$.

Mi pregunta es la siguiente, ¿es correcta la afirmación anterior? ¿Es así que el adjunto de Dirac en realidad solo está definido para los espinores de Dirac, pero puede extenderse a$4 \times 4$matrices como arriba (permitiendo escribir$\overline{A u} = \bar{u} \bar{A}$)?

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Enlace donde encontré eq. (1) (página 93, ecuación 3.249)

Enlace donde encontré eq. (1) y la demanda$\overline{X} = \gamma^{0} X \gamma^{0}$al que parece que le falta un "$^{\dagger}$"? (página 9, ecuación 5.54)