Velocidad de los electrones en un cable metálico que transporta corriente: ¿tiene sentido?

¿Tiene sentido hablar de la velocidad de los electrones en un cable portador de corriente (no conductor perfecto)? Si es así, ¿cuál es su velocidad?

Aquí están mis pensamientos:

En Internet ( Wikipedia , foros de física, aquí en PSE , etc., y muchos otros sitios web ), se puede leer que los electrones se mueven aleatoriamente a altas velocidades pero que su velocidad promedio, llamada velocidad de deriva, es 0 → cuando no se aplica corriente y muy pequeña (unos pocos cm/s como máximo) cuando se aplica corriente. Sin embargo, como escribió Ron Maimon , esta suposición se basa en el modelo de director de orquesta de Drude, que se sabe que es incorrecto en muchos aspectos. En ese modelo, los electrones son como partículas de un gas ideal clásico, con una posición y velocidad bien definidas en todo momento. Sin embargo, han pasado muchas décadas desde que ese modelo fue reemplazado por modelos QM que invocan una función de onda para describir los electrones en el material. No sé qué modelos exactamente (¿encuadernación ajustada, por ejemplo?).

Ron Maimón escribió:

las funciones de onda electrónicas están repartidas en un metal. La noción correcta de la velocidad del electrón es la velocidad de Fermi, que suele ser enorme, porque la longitud de onda es de aproximadamente 1 radio atómico. Si bien no es lo mismo que la velocidad de la electricidad que pasa por el cable (que es la velocidad de las perturbaciones del campo, una fracción significativa de la velocidad de la luz), es enormemente alta.

Entonces habla de una velocidad de Fermi, como si una velocidad tuviera sentido. También he leído (de él y creo que Ashcroft y el libro de Mermin "Física del estado sólido") que solo los electrones cerca de la energía de Fermi contribuyen a la conductividad eléctrica. Si eso es correcto, entonces puedo entender por qué la velocidad de Fermi tiene algún sentido, porque esa es la velocidad que tendría un electrón en el vacío si tuviera una energía igual a la energía de Fermi. Involucré el vacío porque creo que el electrón puede tener un momento bien definido (y por lo tanto una velocidad), a diferencia de un metal conductor sólido. ¿Me equivoco?

Entonces, la respuesta correcta sería que, en realidad, ni siquiera tiene sentido hablar de la velocidad de los electrones en un cable metálico que transporta corriente. Si los electrones conductores (los responsables de la conductividad eléctrica) se colocaran instantáneamente en el vacío sin cambiar su energía, podrían tener un bien definido (suponiendo que se realiza una medición, ¿supongo? Es decir, una función de onda colapsa en un estado propio de el operador de cantidad de movimiento.) velocidad/velocidad igual a la velocidad de Fermi. Por lo tanto, no existe tal cosa como una velocidad de deriva, y la afirmación común de que una CA casi impide el movimiento de los electrones también es falsa. De hecho, he visto la afirmación de que los electrones se mueven a la velocidad de deriva de un lado a otro y que los electrones son casi estáticos (ver aquípor ejemplo). Esta visión es completamente errónea. ¿Me equivoco aquí también?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/17741/2451 y enlaces allí.

Respuestas (6)

Como todo lo demás en física, tiene sentido hablar de una cantidad como esa en el contexto de un modelo. Y nos molestamos porque el modelo es (al menos ocasionalmente) útil. Considere la pregunta

"¿Por qué la corriente en un circuito doméstico con una curva en el cable no irradia a alta potencia?"

Claramente, la carga se acelera al dar la vuelta a la curva, y la aceleración implica radiación. Pero cuánta carga y sujeto a cuánta aceleración hace la diferencia.

Una noción factible de la velocidad de los electrones es una forma de abordar el problema (y una que es accesible para los estudiantes en la clase introductoria).

Estoy de acuerdo contigo en que a veces tiene sentido hablar de alguna cantidad que resulta útil en un modelo que da "valores correctos" de algunas otras cantidades, pero cuando el modelo está desactualizado, se equivoca y ha sido suplantado por otros , cabe mencionar que es así. Todavía no sé si existe o no una velocidad/velocidad bien definida para los electrones en un conductor metálico, y no es el modelo de Drude el que nos dará la respuesta.
Además, utilizando el ingenuo modelo de Drude, cada vez que los electrones chocan contra los núcleos, y por lo tanto aleatorizan "mágicamente" su velocidad, deberían radiar. No habría necesidad de invocar un cable doblado (para justificar la radiación).
@ no_choice99 ingenuamente, todos los electrones están radiando, pero dado que todas sus aceleraciones también son aleatorias, esta radiación, en promedio, (en su mayoría) se cancela. El resto que no se cancela debe estar en el nivel de radiación de cuerpo negro.
En cuanto a la radiación, las corrientes CA típicas oscilan a 50 o 60 Hz, según el lugar donde viva. Por lo tanto, la radiación emitida por estas corrientes es más fuerte alrededor de 50 o 60 Hz, que es mucho más baja en frecuencia que incluso las ondas de radio más útiles (que generalmente tienen al menos decenas de kHz). Dado que la potencia radiada suele ser proporcional a la frecuencia a la cuarta potencia, la radiación de 50 a 60 Hz no emitirá mucha potencia. Dicho esto, todavía se puede detectar y debe tenerse en cuenta en algunos experimentos de precisión.
@probably_someone Ha analizado la radiación debido al cambio de sentido del flujo debido a la naturaleza de CA del suministro; y no_choice & LLlAMnYP hablaron sobre la radiación incoherente que debería surgir de la dispersión de electrones en el modelo; la contribución de las "curvas de corriente" es diferente de ambas y es mucho menor en el modelo Drude que en el modelo aún más ingenuo donde los electrones están libres dentro del conductor además de estar sujetos a un suministro de CA (trabajan a la velocidad RMS en ese caso y de ahí la aceleración centrípeta en las curvas...).
@LLlAMnYP Pensé que la radiación del cuerpo negro se debía al movimiento de los iones de la red que oscilaban alrededor de su posición de equilibrio, no al movimiento de los electrones.
No hay una fuente canónica de radiación de cuerpo negro. Todos los sistemas termalizados con componentes cargados son cuerpos negros y los electrones de conducción forman un gas que puede o no tener la misma temperatura que la masa subyacente (en el modelo de Drude deberían tener temperaturas similares debido al constante intercambio de energía). Ambas partes del sistema pueden (y deben) radiar.
@ no_choice99 dmckee se me adelantó en la explicación, pero... los electrones son responsables de algo así como la mitad de la capacidad calorífica de un metal, así que no me sorprendería que irradien tanto.

Voy a apoyar la noción de dmckee de que conceptos como la velocidad necesitan contexto. Cada variable en cada teoría necesita interpretación para conectarla con nuestra intuición cotidiana. Por ejemplo, aquí hay una teoría: F = metro a . Esta teoría no tiene significado más allá de las matemáticas de una ecuación diferencial si no interpretamos F ser algo que tenga sentido a la luz de nuestra intuición de lo que es una “fuerza”.

Entonces, ¿qué entendemos por velocidad de un electrón? Depende del contexto teórico. Si tiene un contexto clásico, por ejemplo, Drude, entonces sí, los electrones son solo bolas de carga que rebotan como bolas de billar. Y la velocidad que calcularía en este contexto es la velocidad real tanto como una velocidad clásica que calcularía a través de F = metro a . El hecho de que su teoría no sea la "más profunda" no significa que no sea real (siempre que sea consistente con el experimento). Si ese fuera el caso, entonces nada de la física sería "real" porque nadie ha descubierto la teoría definitiva de todo.

Como nota al margen, ¿por qué todas las modelos Drude odian? Teniendo en cuenta lo simple que es, es notablemente preciso, especialmente para la conducción de metal simple que está describiendo. Echa un vistazo, por ejemplo, a este documento . La conductividad del oro está extraordinariamente bien descrita por el modelo Drude desde CC hasta frecuencias ópticas. El modelo Drude no es más anticuado e incorrecto que F = metro a . Cuando es relevante, funciona (y lo mismo puede decirse de cualquier teoría establecida). En realidad, es una característica notable de la física del estado sólido que los medios tan complejos como los cristales de átomos con miles de millones de partículas cargadas que interactúan generalmente actúan de acuerdo con Drude.

Entonces, volviendo a su pregunta, inferiría que está buscando una respuesta al nivel de abstracción de los electrones de Bloch y la teoría de bandas. Entonces, supongamos que los electrones se mueven a la velocidad de Fermi hasta que chocan contra algo, lo que sucede en promedio tan a menudo como sea consistente con el tiempo de dispersión fenomenológico de Drude (décenas de femtosegundos para los metales). Pero recuerda que cuando hablamos de electrones de Bloch, ya no estamos hablando de pequeñas bolas de cosas que vuelan ; los electrones ahora son ondas, con fase y grupovelocidades Las peculiaridades de la física ondulatoria están ahora sobre la mesa. Por ejemplo, en la parte superior de la banda de valencia de un semiconductor, la masa efectiva del electrón es negativa. Entonces, ¿qué significa eso para nuestra intuición clásica de observables como la velocidad?

Lo que significa es que cada cantidad medida y calculada debe interpretarse en el contexto del modelo relevante.

Siento que esta respuesta pierde el punto de la pregunta y no la responde. Además, no estoy de acuerdo con varias cosas: 1) Es menos incorrecto que F → = metro a → , 2) Los cristales complejos por lo general solo actúan de acuerdo con el modelo de Drude. 3) Los electrones chocan contra algo en promedio a una velocidad predicha por el tiempo de dispersión fenomenológico de Drude. Me dirijo a 1): está comparando una ley física (llámela teoría, está bien) con un modelo teórico, que se basa en suposiciones y leyes. En particular, el modelo de Drude se basa en las leyes de Newton con algo de magia (como que los electrones no interactúan entre sí a pesar de tener
un cargo) entre otros. Una ley puede tener un rango de validez, mientras que si las suposiciones de un modelo son incorrectas (como es el caso del modelo de Drude), en el mejor de los casos puede ser útil calcular cantidades que coincidan con los valores del experimento. No niego que efectivamente es el caso del modelo Drude. Pero a veces falla, y siempre falla en todas partes para muchas propiedades. Me dirijo a 2): el modelo Drude no tiene en cuenta (a veces al arrojar valores de varios órdenes de magnitud y con el signo incorrecto) para al menos 10 propiedades físicas (consulte el capítulo 3 de Ashcroft y Mermin). también está incompleto en
que no puede predecir el comportamiento de algunas propiedades, pero eso no viene al caso. Simplemente no es una descripción correcta de los electrones en un sólido. Dirijo 3): El tiempo de relajación depende de la banda, posición y vector de onda de los electrones.
@no_choice99 ¡Me encanta el capítulo 3 de A&M! Pero hay que leerlo como una recitación de las fallas de la física clásica que impulsaron la revolución cuántica. Todo es cierto... y aún así enseñamos y usamos la mecánica clásica y E&M porque son las teorías más relevantes que describen la vida cotidiana. Del mismo modo, estoy de acuerdo con su explicación de las fallas de Drude. Pero preguntaste sobre la conducción y la velocidad simples, que es un concepto clásico. ¡Estas son las fortalezas de Drude! No use un modelo complejo cuando uno simple es suficiente. ¡Todos son solo modelos de una realidad subyacente posiblemente incognoscible de todos modos!

El efecto Hall mide la velocidad de deriva, esencialmente al equilibrar la fuerza de Lorentz q   v → d r i F t × B → . Esa velocidad suele ser tan grande como cabría esperar al medir la corriente y conocer la densidad y el signo de los portadores de carga, por ejemplo, en semiconductores dopados.

En metales simples, es consistente con el número de electrones de valencia por átomo. Es consistente con la interpretación de que todos los electrones de valencia participan en la conducción.

Pero ya estás asumiendo que los electrones son "partículas clásicas" con una posición y velocidad bien definidas, para empezar. No sorprende que haya una velocidad de deriva involucrada en ese caso. No estás comenzando con el hamiltoniano del conductor y la función de onda correspondiente Ψ ( r → , t ) . ¿Habría una velocidad de deriva si lo hubiera hecho?
@ no_choice99 ¿Es posible calcular el voltaje Hall a partir de Ψ ? ¿O para calcular el pico de Drude en la conductividad óptica? El gas cuántico de electrones libres da una velocidad de Fermi. Junto con el tiempo de relajación Drude τ esto da un camino libre medio λ = v F τ eso tiene sentido con las medidas. Puede estar mezclando cuántica con imágenes clásicas, pero funciona.
No sé la respuesta a tus 2 primeras preguntas y estoy de acuerdo contigo en todo lo demás. Ese es un ejemplo de por qué los modelos obsoletos y suplantados a veces son útiles. No pretendo lo contrario.

En un sólido, la estructura electrónica está descrita por bandas de energía de energía. mi norte k , donde n es un número cuántico que etiqueta la banda, y k es el valor propio del impulso. Para un electrón que reside en esa banda de energía, la velocidad sería v k = 1 ℏ ∂ mi norte k ∂ k . Dependiendo del tipo de estructura de banda, la forma funcional de esta velocidad puede decirnos cómo se comportaría el sólido. Por ejemplo, un conductor con una dispersión de banda cuadrática mi k ∼ k 2 sería descrito bastante bien por el modelo de Drude. Por otro lado, si el conductor es como el grafeno y tiene una dispersión de Dirac, mi k ∼ k , entonces se debe aplicar un modelo diferente para comprender su comportamiento bajo el potencial aplicado.

La velocidad de deriva tiene sentido como una cantidad estadística. Para calcularlo hay que sumar las velocidades v k para todos los estados de momento ocupados hasta el nivel de Fermi. Resulta que sólo los estados entre mi F y mi F + V donde V es el potencial aplicado, la corriente de transporte. Las contribuciones de los otros estados en el mar de Fermi se anulan.

La velocidad de Fermi es diferente para diferentes bandas que se cruzan con el nivel de Fermi. En el modelo Drude, donde está implícito que tiene una sola banda con una dispersión mi k = ℏ 2 k 2 2 metro ∗ , donde metro ∗ es la masa efectiva, la velocidad de Fermi es solo v F = 2 metro ∗ mi F , donde mi F es la energía de Fermi. La energía de Fermi se suele obtener conociendo la densidad electrónica, como se explica en el libro de Mermin y Ashcroft. Pero, en sólidos, puede haber más bandas ocupadas.

El ejemplo más simple es cuando el campo magnético está presente e induce la división del espín. Suponga que esta división de Zeeman es − B σ z , donde B es proporcional al campo magnético, y σ z es la matriz de Pauli. En ese caso, mi k = ℏ 2 k 2 2 metro ∗ ± B . La velocidad de Fermi es v F = 2 metro ∗ ( mi F ± B ) , donde el signo "+" es para el giro "hacia arriba" y el signo "-" para la banda de giro "hacia abajo".

Editar en respuesta al comentario. Para calcular la velocidad de cualquier partícula en mecánica cuántica, se parte de v = 1 i ℏ [ X , H ] , donde H es el hamiltoniano, y los corchetes denotan un conmutador. Si la partícula está en cierto estado, tal vez | Ψ ⟩ = | norte k ⟩ , debe tomar el valor esperado de ese operador y luego está todo listo.

La verdad es que tus electrones están en muchos estados corporales. | k 1 ⟩ | k 2 ⟩ … | k norte ⟩ , donde k i son todos los momentos posibles hasta el nivel de Fermi, y norte es el número de electrones en el sólido. El operador de velocidad es un operador de muchos cuerpos. Si su sólido se modela como un gas de electrones de cuasipartículas que no interactúan, este operador es diagonal en el espacio de partículas, por lo que cada partícula se encuentra en un estado | k i ⟩ tendrá una velocidad correspondiente v i = ℏ k i 2 metro .

Decir que los electrones en el sólido deberían tener estas velocidades no es del todo exacto. Si se inyecta en el sólido un electrón, este electrón no pertenecerá al mar de Fermi. Se puede inyectar una partícula que parece un paquete de ondas gaussianas | Ψ ⟩ y su energía será mi = ⟨ Ψ | H | Ψ ⟩ y la velocidad se calculará como arriba v = 1 i h ⟨ Ψ | [ X , H ] | Ψ ⟩ . Si estamos en la respuesta lineal, es decir, aplicamos un pequeño campo eléctrico sobre nuestro cristal que induce una corriente, este electrón se inyectará en uno de los estados por encima del nivel de Fermi, por lo que su velocidad será cercana a v F .

Esta es la respuesta que más me gusta hasta ahora. Hay, sin embargo, un paso gigantesco al pasar de mi norte , k → y afirmando que v k → = 1 ℏ ∇ k → mi norte , k → sería la velocidad de un electrón en la n-ésima banda. es asi porque ℏ k → no es el momento del electrón, sino el momento del cristal. Por lo tanto, no entiendo por qué los electrones tendrían tal velocidad (media). Revisé el libro de A&M p.141 así como el Apéndice E y todavía no entiendo el reclamo. (continuará en el próximo comentario)
¿Podría explicar por qué se mantiene la afirmación?
Respuesta a su edición: Ok, entonces la definición de la velocidad es equivalente a usar pag → ^ / metro . Pero para los electrones de Bloch (nuestro caso), pag → ^ ≠ constante ψ tiempo \hat H \psi _{n\vec k} = \varepsilon _\{n, \vec k} . En otras palabras, los electrones de Bloch tienen una energía bien definida pero no un momento bien definido. Así que no puedo simplemente asumir que los electrones están en algún | norte k → ⟩ Expresar. Los estados propios del hamiltoniano no son estados propios del momento, ambos operadores no son diagonalizables usando la misma base. (continuará)
Esto me da la impresión de que los electrones no tienen un momento bien definido (y, por lo tanto, velocidad). ¿Qué me estoy perdiendo?
En un sólido, tienes invariancia de traducción. Eso significa que el operador de traducción T = mi i pag R , donde R es un vector de celosía directo, conmuta con el hamiltoniano. El estado | norte k ⟩ es un estado propio de ese operador. También es un estado propio del operador de cantidad de movimiento.
Además, la definición de velocidad no es equivalente a usar pag / metro . Para ver esto, pruebe con un hamiltoniano acoplado de rotación-órbita, H = pag 2 2 metro + α ( pag X σ y − pag y σ y ) .
En un sólido, la simetría traslacional se rompe. Lo que escribiste es cierto solo para R → vector de celosía directa, no para ningún R → . Esta falta de simetría tiene la implicación de que el impulso no se conserva. El estado | k → norte > es de hecho un estado propio de ese operador, pero solo cuando k → es proporcional al momento del cristal, no al momento del electrón. Así que todavía me queda la impresión de que los electrones carecen de velocidad.
Tu último comentario es correcto.

Veo la mención de la velocidad de deriva con mayor frecuencia no en física, sino en un contexto de ingeniería donde los principiantes a menudo piensan en electrones disparados alrededor de cables a la velocidad de la luz como balas mágicas de energía eléctrica. Esto lleva a una gran intuición falsa sobre cómo funcionan los dispositivos eléctricos, nuevamente desde una perspectiva práctica de ingeniería.

Como ejemplo de ello, los principiantes a menudo se confunden acerca de la carga negativa de los electrones y se preguntan por qué los esquemas y las ecuaciones están todos "al revés", como si la dirección en la que se mueven los electrones fuera importante. En realidad, en la mayoría de los casos, un ingeniero encontrará que no es relevante en absoluto.

En este contexto, la velocidad de deriva tiene mucho sentido. Como muchos fenómenos, se puede invocar a la física avanzada para decir " realmente no es así como funciona". Para dar un ejemplo, vea esta pregunta sobre trabajos de difracción . La explicación de QED no está mal, pero también es demasiado complicada y no es de mucha utilidad para un ingeniero óptico. Pero la explicación clásica sigue siendo una teoría válida que predice correctamente cómo funciona la óptica en muchos casos.

Del mismo modo, la velocidad de deriva hace que los principiantes piensen en la dirección correcta, que los circuitos eléctricos no están alimentados por balas de energía, sino por fuerzas transmitidas a través de cables por un "fluido" de electrones que se mueve lentamente.

Puede que no tenga una relación elegante con la física avanzada tal como la entendemos, pero es un modelo que se ajusta a las observaciones y tiene un uso. La ley de Ohm está en un bote similar. ¿Diría que la ley de Ohm "no tiene sentido" solo porque su definición no tiene una relación directa con la física subyacente?

Entonces, ¿es la velocidad de deriva la teoría física más avanzada que explica todos los fenómenos que hemos observado? No. ¿Pero tiene sentido hablar de ello para algunas aplicaciones? Creo que sí.

Como no experto cuántico, puedo estar completamente equivocado (sucede), pero no veo ninguna razón para pensar que el concepto de velocidad del electrón no tiene ningún sentido. El momento es una cantidad de vector cuántico y, por supuesto, los electrones en un metal están deslocalizados, pero sigue siendo cierto que el momento promedio de los electrones debería estar sujeto a la aceleración de un campo eléctrico. Y si hay un vector de momento promedio, entonces hay un vector de velocidad promedio.

Además de lo cual, considere algo así como la emisión de cátodos en un tubo de vacío. Una vez que se emiten, tenemos prácticamente sus electrones independientes en el vacío. Pero tenemos que obedecer a la conservación (del momento, de la masa, de la carga) en el punto de emisión, ¿no? Entonces, si el momento, la velocidad y la tasa de flujo de masa promedio existen en un lado de la ecuación, deben corresponder a algo en el otro.

En un tubo de vacío, creo que el impulso en la emisión es insignificante. Probablemente pueda modelarlo (para fines eléctricos) como si los electrones salieran en reposo y luego fueran acelerados por el campo eléctrico.
Además, los electrones no simplemente "fluyen" hacia el vacío; Creo que se emiten con más impulso que la deriva promedio y, al hacerlo, ejercen un impulso en el átomo del que se emitieron. Pero sí, la velocidad de deriva promedio tiene cierto impulso.
Velocidad de los electrones en un cable metálico que transporta corriente: ¿tiene sentido?
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