¿Cómo demostrar que los electrones responsables de una corriente tienen una energía dentro de kBTkBTk_BT de la energía de Fermi?

Question

¿Cómo demostrar que los electrones responsables de una corriente tienen una energía dentro de kBTkBTk_BT de la energía de Fermi?

sin tratar_paramediensis_karnik

Comúnmente se escribe en los libros de texto que en los metales los electrones responsables de una corriente eléctrica son los que tienen una energía de aproximadamente $E_F$ y unos pocos $k_BT$ alrededor de esa energía. Consulte, por ejemplo, el libro de texto de Datta "Transporte electrónico en sistemas mesoscópicos" en la página 37 (libro disponible en formato PDF a partir de una búsqueda en Google):

Es fácil ver por qué la corriente fluye completamente dentro de unos pocos $k_BT$ de la energía cuasi-Fermi.

Pero entonces, ninguna prueba ni nada que involucre $k_BT$ se muestra más. Lo que es más, luego se muestra que la cantidad de electrones involucrados en la conducción eléctrica es proporcional a la magnitud del campo eléctrico aplicado, lo cual tiene mucho sentido para mí. Más precisamente, muestra que la diferencia de energía entre los electrones más energéticos que crean una corriente y los menos energéticos que también transportan una corriente vale la pena. $2eEL_m$ dónde $L_m$ es el camino libre medio, que vale aproximadamente $10$ Nuevo Méjico. En otras palabras, el ancho de energía alrededor $E_F$ que tienen los electrones que crean la corriente, no tiene nada que ver con $k_BT$ .

Puedo entender que con respecto a los cálculos para el calor específico, es cierto que solo los electrones que tienen una energía sobre $k_BT$ alrededor de la energía de Fermi (del orden de $1$ eV para metales) puede absorber energía térmica, que es en sí misma del orden de $k_BT$ (así que sobre $10^{-5}eV$ a $10^{-3}eV$ ). Es fácil darse cuenta cuando se utiliza el hecho de que los electrones son fermiones y que a temperatura ambiente un metal es similar a un gas de Fermi frío. Por lo tanto, los electrones forman aproximadamente una esfera (tomemos los metales alcalinos para simplificar las cosas) en el espacio k y todos los estados debajo de la superficie están ocupados. La superficie de la esfera está borrosa debido a la temperatura finita, en una cantidad de energía alrededor $k_BT$ . De modo que los electrones que están debajo de la superficie por más de $k_BT$ no pueden absorber energía térmica porque los estados por encima de ellos están todos ocupados. es solo en eso $k_BT$ rango de ventana en el que los electrones pueden absorber energía térmica.

Pero cuando aplico la misma lógica a una corriente eléctrica, es decir, aplicamos un campo eléctrico al metal en lugar de una temperatura, no obtengo nada relacionado con $k_BT$ ya no. Al considerar que aplicamos $1$ V en un $1$ cm de muestra, la magnitud del campo eléctrico es de aproximadamente $100$ V/m que se traduce como una energía de aproximadamente $10^{-6}$ eV. En otras palabras, el campo eléctrico es una perturbación muy pequeña para el sistema, es aproximadamente 40 veces más pequeño que aumentar la temperatura de un metal en 1 K. Entonces esperaría que solo los electrones tengan una energía alrededor de la energía de Fermi. $E_F$ con un margen igual a ese extremadamente pequeño $10^{-6}$ La cantidad de eV podría reaccionar al campo y producir una corriente. Esto no tiene absolutamente nada que ver con $k_BT$ y de hecho es proporcional a $|\vec E|$ , como intuitivamente (al menos para mí) debería. Es decir, obtengo algo lineal en la fuerza de la perturbación, como en el caso de la energía térmica con su perturbación térmica.

Entonces, no veo, por mi vida, cómo llegar a la conclusión de que solo los electrones que tienen una energía dentro $k_BT$ de $E_F$ son capaces de producir una corriente.

Conozco bien la distribución de Fermi-Dirac y cómo su derivada con respecto a la energía no es cero solo alrededor $E_F$ , también de la densidad de estados y cómo la temperatura la afecta, etc. Pero no veo cómo es relevante para responder a mi pregunta.

Editar con respecto al comentario de Jon Custer:

Ashcroft y Mermin discuten esto en su Capítulo 13, la Teoría semiclásica de la conducción en metales. Siguiendo un volumen de electrones a medida que se mueven a través del espacio de fase, termina siendo un factor de la derivada de la función de Fermi con energía que es distinta de cero solo dentro de unos pocos kT de la energía de Fermi.

Revisé ese capítulo y vi que la conductividad se puede escribir como una integral con un término que contiene $\partial f/\partial \varepsilon$ El cual involucra $k_BT$ (como escribí en el párrafo anterior), pero no veo cómo esto implica que los electrones responsables de la corriente en los que están dentro $k_BT$ de $E_F$ . Pero ese es probablemente el camino a seguir. Pero aún así, tendría que ver dónde me equivoco en mi razonamiento que expuse arriba.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JeffreyJWeimer Parece que toda la esfera de Fermi se desplaza un poco cuando aplicamos un campo E, pero no es así (como dice Ziman, es engañoso). Debido al principio de exclusión de Pauli, el campo E solo afecta a los electrones que van en la dirección del campo E y cambian la dirección de su momento en contra del campo E. Aproximadamente menos de 1 de cada diez mil millones de electrones libres pueden hacerlo. Puedo darte varias referencias si quieres.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JeffreyJWeimer Yo, como ya escribí en mi publicación, miraría

E_{F}

$E_F$ más y menos un rango de energía que es proporcional a

| \vec{E} |

$|\vec E|$ . Los cálculos se realizan en el libro de texto de Datta (disponible en Google como PDF navegable), página 39.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JeffreyJWeimer no está afectando la forma de la esfera. Nuevamente, esa es una pequeña perturbación increíble, el cambio es increíblemente pequeño (mira los números que escribí en mi publicación). Así que no estoy seguro de adónde me estás llevando. En un boceto, parece como si toda la esfera de Fermi se hubiera movido, pero físicamente esto no es lo que sucede. No veo cómo esto ayuda a responder la pregunta.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JeffreyJWeimer No veo cómo es posible, debido al principio de exclusión de Pauli. Cuando la energía de interacción no es lo suficientemente alta como para que los electrones de baja energía pasen a estados superiores no ocupados, no pueden interactuar. Así es como funciona la superconductividad, en cierto modo. Aquí, un campo aplicado es una perturbación muy pequeña que no puede excitar casi ninguno de los electrones libres. Y no hay 10 mil millones de ellos. Dije que el campo E puede cambiar el impulso de aproximadamente 1 por cada 10 mil millones de ellos, eso es bastante diferente... pero de todos modos, ¿cómo ayuda esto a responder la pregunta?

jon custer

Ashcroft y Mermin discuten esto en su Capítulo 13, la Teoría semiclásica de la conducción en metales. Siguiendo un volumen de electrones a medida que se mueven a través del espacio de fase, termina siendo un factor de la derivada de la función de Fermi con energía que es distinta de cero solo dentro de unos pocos kT de la energía de Fermi.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JonCuster Gracias por la referencia. Ya había leído ese capítulo (¡varias veces! Y varios otros de ese libro también). Todavía no lo veo... Ver mi edición de mi publicación.

jon custer

Supongo que la forma en que lo internalicé fue que para un electrón/volumen de electrones lejos de la energía de Fermi, a medida que evoluciona bajo el campo, su entorno se ve básicamente como una banda completa. Es decir, todos los niveles cercanos están llenos y el volumen se mueve en

k

$k$ , golpea el borde de la zona y termina de nuevo en el otro lado, sin haber realizado ninguna conducción neta.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JonCuster Entiendo esa parte y gracias por los detalles en los que no había pensado. Pero como escribí en mi publicación, para mí la ventana de energía alrededor

E_{F}

$E_F$ debe ser del orden de

e | E | l

$e|E|l$ , que es en muchos casos, mucho más pequeño que

k_{B} T

$k_BT$ . Si miras el libro de texto de Datta, está claro que los electrones más energéticos tienen una energía de

E_{F} + e | E | l

$E_F+e|E|l$ mientras que los menos energéticos (que aún producen corriente) tienen una energía de

E_{F} - e | E | l

$E_F-e|E|l$ . No hay

k_{B} T

$k_BT$ involucrado.

jon custer

No, la 'ventana' de energía son las regiones en

k

$k$ espacio donde la densidad de electrones puede evolucionar bajo la influencia externa. El hecho de que la energía obtenida del campo durante tal evolución sea mucho menor que

k T

$kT$ solo sirve para mostrar que está justificado tratar el campo aplicado como una perturbación.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JonCuster Ya veo, esto es confuso (para mí). Creo que no importa. Por ejemplo, una perturbación térmica de

k_{B} T

$k_BT$ hace que los electrones en el espacio k ganen una energía de aproximadamente

k_{B} T

$k_BT$ , también. Para la corriente eléctrica, si aplico la misma lógica, aplico una pequeña perturbación y los electrones ganan una energía proporcional a

| \vec{E} |

$|\vec E|$ , No

k_{B} T

$k_BT$ involucrado. Entiendo que en el espacio k, el FS es solo una superficie de equi-energía donde, en el modelo de electrones libres, E es como

k^{2}

$k^2$ .

sin tratar_paramediensis_karnik

@JeffreyJWeimer Me temo que su declaración es incorrecta. La esfera de Fermi describe los estados k de los electrones libres, no hay un solo electrón unido (a los núcleos) representado.

sin tratar_paramediensis_karnik

@JonCuster ¡Creo que lo descubrí! Publiqué una respuesta ... hombre, estoy tan feliz, ¡creo que finalmente entendí lo que está pasando!

Respuestas (3)

¿Cómo demostrar que los electrones responsables de una corriente tienen una energía dentro de kBTkBTk_BT de la energía de Fermi?

@JeffreyJWeimer Parece que toda la esfera de Fermi se desplaza un poco cuando aplicamos un campo E, pero no es así (como dice Ziman, es engañoso). Debido al principio de exclusión de Pauli, el campo E solo afecta a los electrones que van en la dirección del campo E y cambian la dirección de su momento en contra del campo E. Aproximadamente menos de 1 de cada diez mil millones de electrones libres pueden hacerlo. Puedo darte varias referencias si quieres.
@JeffreyJWeimer Yo, como ya escribí en mi publicación, miraría $E_F$ más y menos un rango de energía que es proporcional a $|\vec E|$ . Los cálculos se realizan en el libro de texto de Datta (disponible en Google como PDF navegable), página 39.
@JeffreyJWeimer no está afectando la forma de la esfera. Nuevamente, esa es una pequeña perturbación increíble, el cambio es increíblemente pequeño (mira los números que escribí en mi publicación). Así que no estoy seguro de adónde me estás llevando. En un boceto, parece como si toda la esfera de Fermi se hubiera movido, pero físicamente esto no es lo que sucede. No veo cómo esto ayuda a responder la pregunta.
@JeffreyJWeimer No veo cómo es posible, debido al principio de exclusión de Pauli. Cuando la energía de interacción no es lo suficientemente alta como para que los electrones de baja energía pasen a estados superiores no ocupados, no pueden interactuar. Así es como funciona la superconductividad, en cierto modo. Aquí, un campo aplicado es una perturbación muy pequeña que no puede excitar casi ninguno de los electrones libres. Y no hay 10 mil millones de ellos. Dije que el campo E puede cambiar el impulso de aproximadamente 1 por cada 10 mil millones de ellos, eso es bastante diferente... pero de todos modos, ¿cómo ayuda esto a responder la pregunta?
Ashcroft y Mermin discuten esto en su Capítulo 13, la Teoría semiclásica de la conducción en metales. Siguiendo un volumen de electrones a medida que se mueven a través del espacio de fase, termina siendo un factor de la derivada de la función de Fermi con energía que es distinta de cero solo dentro de unos pocos kT de la energía de Fermi.
@JonCuster Gracias por la referencia. Ya había leído ese capítulo (¡varias veces! Y varios otros de ese libro también). Todavía no lo veo... Ver mi edición de mi publicación.
Supongo que la forma en que lo internalicé fue que para un electrón/volumen de electrones lejos de la energía de Fermi, a medida que evoluciona bajo el campo, su entorno se ve básicamente como una banda completa. Es decir, todos los niveles cercanos están llenos y el volumen se mueve en $k$ , golpea el borde de la zona y termina de nuevo en el otro lado, sin haber realizado ninguna conducción neta.
@JonCuster Entiendo esa parte y gracias por los detalles en los que no había pensado. Pero como escribí en mi publicación, para mí la ventana de energía alrededor $E_F$ debe ser del orden de $e|E|l$ , que es en muchos casos, mucho más pequeño que $k_BT$ . Si miras el libro de texto de Datta, está claro que los electrones más energéticos tienen una energía de $E_F+e|E|l$ mientras que los menos energéticos (que aún producen corriente) tienen una energía de $E_F-e|E|l$ . No hay $k_BT$ involucrado.
No, la 'ventana' de energía son las regiones en $k$ espacio donde la densidad de electrones puede evolucionar bajo la influencia externa. El hecho de que la energía obtenida del campo durante tal evolución sea mucho menor que $kT$ solo sirve para mostrar que está justificado tratar el campo aplicado como una perturbación.
@JonCuster Ya veo, esto es confuso (para mí). Creo que no importa. Por ejemplo, una perturbación térmica de $k_BT$ hace que los electrones en el espacio k ganen una energía de aproximadamente $k_BT$ , también. Para la corriente eléctrica, si aplico la misma lógica, aplico una pequeña perturbación y los electrones ganan una energía proporcional a $|\vec E|$ , No $k_BT$ involucrado. Entiendo que en el espacio k, el FS es solo una superficie de equi-energía donde, en el modelo de electrones libres, E es como $k^2$ .
@JeffreyJWeimer Me temo que su declaración es incorrecta. La esfera de Fermi describe los estados k de los electrones libres, no hay un solo electrón unido (a los núcleos) representado.
@JonCuster ¡Creo que lo descubrí! Publiqué una respuesta ... hombre, estoy tan feliz, ¡creo que finalmente entendí lo que está pasando!

sin tratar_paramediensis_karnik · Answer 1

finalmente me di cuenta. La afirmación de que sólo los electrones dentro de unos pocos $k_BT$ alrededor $E_F$ contribuye a una corriente cuando se aplica un campo eléctrico a un metal no es universalmente cierto. Esto se mantiene aproximadamente cuando $k_BT >> e|\vec E|L_m$ dónde $L_m$ es el camino libre medio. Para una corriente razonable, la declaración es válida para casi todas las temperaturas, es decir, por encima de $1$ k

La razón puede entenderse considerando 2 casos.

Primer caso: T= cero absoluto . A esa temperatura, la superficie de Fermi es perfectamente nítida y, si la afirmación fuera cierta, solo los electrones exactamente en la superficie de Fermi contribuirían a una corriente, pero esto es incorrecto, como se puede ver en las innumerables imágenes de la esfera de Fermi desplazadas que se encuentran en libros de texto (y se muestra aquí en la respuesta de Pieter). Incluso a $0$ K, como muestra matemáticamente Datta, los electrones que tienen una energía superior $E_F - e|\vec E|L_m$ todos contribuyen a la corriente. En ese caso, la ventana de energía alrededor $E_F$ es de hecho de ancho $2e|\vec E|L_m$ . En la figura de Pieter de la esfera de Fermi, solo la media luna entre las esferas desplazadas y no desplazadas contribuye a la corriente. La energía máxima de estos electrones es proporcional a la aplicada $\vec E$ campo de fuerza ( $v_d$ es proporcional a ella).

Segundo caso: Temperatura finita . En ese caso, antes de aplicar el campo eléctrico, la superficie de Fermi no es nítida, está borrosa. Esto significa que hay estados desocupados debajo $E_F$ y estados ocupados arriba $E_F$ , todo dentro de unos pocos $k_BT$ (debido al principio de exclusión de Pauli, como ya ha señalado). Sin embargo, es muy importante darse cuenta de que hay estados desocupados dentro de unos pocos $k_BT$ alrededor $E_F$ . De modo que cuando se aplica otra perturbación, como un campo eléctrico, todos estos electrones alrededor $E_F$ por unos pocos $k_BT$ puede interactuar con el $\vec E$ campo y aumentan su energía (porque tienen estados desocupados por encima de ellos). Aquí se supone que el campo eléctrico es una perturbación más pequeña que $k_BT$ . Porque si la magnitud del campo eléctrico fuera gigantesca, entonces incluso los electrones con una energía mucho menor que $E_F-k_BT$ sería capaz de interactuar con el campo y contribuir a la corriente. Puede imaginar esto en la figura habitual de la esfera de Fermi como un gran desplazamiento en comparación con el radio de la esfera, en lugar de un desplazamiento muy pequeño (para la corriente ordinaria, el "desplazamiento" real es tan pequeño que no sería distinguible a simple vista). ojo con estas cifras).

usuario137289 · Answer 2

usuario137289

En el modelo de electrones libres, prefiero decir que todos los electrones de valencia contribuyen a la corriente. Esto da el valor correcto de la velocidad de deriva medida por el efecto Hall. También deja claro que la velocidad de deriva no depende de la temperatura.

La imagen para visualizar esto es el desplazamiento de la esfera de Fermi por la velocidad de deriva en el espacio de velocidades:

La declaración que sólo establece dentro de $kT$ del nivel de Fermi contribuyen a la corriente puede llevar a los estudiantes a concluir que la resistividad de los metales debería aumentar a baja temperatura. No estoy argumentando que la afirmación sea incorrecta, pero no la encuentro muy útil para explicar los fenómenos. Necesita mucha más explicación que decir que el número de electrones de conducción es constante.

Jeffrey J. Weimer

Las afirmaciones de que solo contribuyen los electrones por encima de E_F y que hay más electrones libres a medida que T aumenta no son incorrectas. Sin embargo, la movilidad de los electrones disminuye más rápido de lo que aumenta la densidad numérica. Ambos factores son necesarios. De lo contrario, me preguntaría por qué no dar la explicación correcta en lugar de lavar a mano la integridad del sistema.

sin tratar_paramediensis_karnik

Estas declaraciones están mal @JeffreJWeimer. Por favor, eche un vistazo a la figura 1.7.2 de la referencia de Datta.

sin tratar_paramediensis_karnik

Gracias por la imagen, Pieter, pero esto no responde a la pregunta. En su imagen, cuando calcula F+-F- donde F+ es la energía asociada a los electrones con el vector de onda kf+kd (los electrones más energéticos crean la corriente) y F- es la energía asociada a los electrones menos energéticos que crean la corriente (el vector de onda es kf -kd), obtienes una ventana de energía alrededor de E_F de magnitud proporcional a la intensidad del campo eléctrico y kBT no aparece. Por favor vea la referencia de Datta...

usuario137289

@thermomagneticcondensedboson Estaba al tanto de que la cifra no es directamente pertinente a la pregunta. Esta sería una cifra para

T = 0

$T=0$ . A mayor temperatura hubo una simulación de Silsbee. Hice una película de eso (texto en sueco), y en los cuadros vinculados muestra conducción a temperatura finita: youtu.be/Y9Q2vgch490?t=158

sin tratar_paramediensis_karnik

Gracias por el video Pieter, le echaré un vistazo. ¡Mientras tanto, finalmente me he dado cuenta, creo! Publiqué una respuesta... ¡Estoy tan feliz! ¡Y tu foto fue realmente muy útil! Lo consideré en mi respuesta.

usuario137289

@JeffreyJWeimer "¿La densidad numérica aumenta exponencialmente con la temperatura?" Parece que estás confundiendo metales y semiconductores.

Jeffrey J. Weimer

@Pieter Lo tengo. La densidad numérica de electrones libres en los metales aumenta casi linealmente con la temperatura. La movilidad decrece linealmente (o débilmente con una raíz cuadrada de T) 1 . La disminución de la movilidad es mayor que el aumento de la densidad numérica. Por lo tanto, alrededor de la temperatura ambiente en los metales, la conductividad disminuye linealmente a medida que aumenta la temperatura.

Jeffrey J. Weimer · Answer 3

La esfera de Fermi es la $E(k)$ límite entre los estados ocupado (enlace) y desocupado (sin enlace) en un metal a cero Kelvin 1 . En un metal, la conducción se debe principalmente, si no exclusivamente, al movimiento de los electrones libres. Los electrones libres son aquellos que no están en estados ocupados (enlace). A 0 K sin campo eléctrico, todos los electrones están en estados ocupados. Por lo tanto, el metal no transporta corriente eléctrica.

Perturbemos el metal de una de dos maneras.

Pon un campo eléctrico sobre el metal. Esto puede distorsionar la superficie de Fermi. Tal distorsión NO es la causa de la conducción de corriente. La distorsión es análoga a cómo la forma de la superficie de Fermi es diferente a lo largo de diferentes orientaciones cristalográficas. Todo lo que está cambiando es la posición de la energía de Fermi. No se dice nada sobre el movimiento de los electrones libres.
Pon un campo eléctrico sobre el metal. Esto promueve electrones de estados de banda ocupados a no enlazantes (inicialmente desocupados). Esta acción es independiente del cambio anterior en la forma de la superficie. Esta promoción NO es la causa raíz de la conducción de corriente. Sin embargo, es un paso hacia ese resultado.
Ponga un campo eléctrico en el material. Esto aplica una fuerza a los electrones libres (aquellos en estados no enlazantes). Los electrones libres se mueven (aceleran). Esta es la corriente eléctrica.
Ponga el material a una temperatura superior a 0 K. Esto promueve electrones de estados de banda ocupados a no enlazantes (inicialmente desocupados). Esos electrones libres son tan libres de moverse como los electrones que fueron promovidos por el campo eléctrico.

En conclusión, la forma inicial de la superficie de Fermi no tiene nada que decir por sí misma sobre la conducción eléctrica. La perturbación que se produce en la forma por el campo eléctrico no tiene nada que decir por sí sola sobre la conducción eléctrica. Finalmente, la promoción de electrones por encima de la energía de Fermi, ya sea por un campo aplicado o por medios térmicos, es solo un primer (y necesario) paso para determinar la conducción eléctrica.

La preocupación más importante que tenemos para determinar la conductividad no es ninguno de estos pasos por sí mismos. Es la combinación de cuántos electrones están libres para transportar corriente (debido a la promoción del campo y la temperatura) y qué tan rápido se mueven. En resumen, para determinar la conductividad eléctrica de un metal, debemos determinar la densidad numérica de los electrones libres y la velocidad de los electrones libres bajo el campo eléctrico aplicado. En un metal, la densidad numérica de estados depende de $\sqrt{E}$ . A 0 K, llenamos esto con la densidad numérica apropiada de electrones de enlace siguiendo los principios de exclusión de Pauli. Luego, promovemos electrones usando estadísticas de Fermi-Dirac porque los electrones son fermiones. Esto sucede independientemente de si se aplica un campo o no. Usando una integral de convolución, obtenemos una imagen de la densidad de electrones en función de la energía y la temperatura. $\rho_E(E,T)$ como se muestra aquí . Esos electrones por encima de la energía de Fermi son libres de transportar corriente.

La energía térmica que se aplica para promover los electrones desde los estados ocupados es del orden de $k_BT$ (esta es la línea discontinua en la imagen). Cuando la energía de un campo eléctrico que se aplica en un metal está por debajo $k_BT$ , hay más electrones libres debido a la promoción térmica que libres debido a la promoción por el campo eléctrico.

También se pueden obtener conocimientos alternativos utilizando un sistema potencial básico de muffin-tin . Los electrones que están enlazados se localizan en los potenciales de muffin. Los electrones que están libres están deslocalizados en todo el conjunto de potenciales por encima de la energía de Fermi. Los electrones son libres principalmente porque se promueven térmicamente por encima de la energía de Fermi.

En resumen, la superficie de Fermi es el límite entre los electrones ocupados y libres. La densidad numérica de electrones libres se obtiene mediante una integral sobre la convolución de la densidad de estados y la función de Fermi-Dirac. El campo eléctrico perturba los electrones libres (los que están por encima de la energía de Fermi, ya sea por medios térmicos o eléctricos) al hacer que se muevan por la red. Esta perturbación ocurre independientemente de si el electrón libre tiene solo una energía infinitesimal por encima de la energía de Fermi o si está en el límite de $k_B T$ o por encima de la energía de Fermi.

"TODOS los electrones libres pueden moverse, independientemente de su energía por encima de la energía de Fermi" ¿Quiere decir interactuar en lugar de moverse? ¿O "cambiar su energía"? Porque, por supuesto, todos menos 2 electrones se mueven constantemente si consideramos un gas de Fermi. (sí, hay 2 electrones con energía exactamente cero, aunque todavía están repartidos por toda la muestra).
Esencialmente, su respuesta es que la premisa de mi pregunta es incorrecta. Entonces me gustaría saber dónde salió mal Datta (y muchos, muchos otros).
Además, no estoy seguro de por qué complicas las cosas al mencionar los electrones enlazados. Mi pregunta seguiría en pie si reemplazara "metal" por "gas de electrones libres". Todavía sería completamente válido, y su punto con respecto a los potenciales de red, inútil ... Acabo de ver su edición que ahora dice que los electrones libres (no enlazados) no satisfacen el principio de exclusión de Pauli. Esto está mal. Un gas de electrones libres, por ejemplo, satisface el PEP, y los metales alcalinos están cerca de ese modelo ideal. La densidad de electrones en los metales es tan alta en comparación con un gas ordinario a presión atmosférica que el PEP tiene que ser
tenido en cuenta. Esto es solo a partir de semiconductores poco dopados que el PEP comienza a ser menos relevante. Pero en los metales, es de suma importancia comprender cualquier propiedad básica, como las conductividades eléctrica y térmica.
Siento que no publiqué ningún insulto a su contenido. Siéntase libre de reportar mis publicaciones si así lo cree, y los moderadores se harán cargo. El modelo de electrones libres ( en.wikipedia.org/wiki/Free_electron_model ) es un modelo idealizado de un metal que tiene en cuenta la PEP. Funciona bien para la mayoría de los metales alcalinos donde los efectos del potencial de red no son muy fuertes. Tiene sus limitaciones, pero se usa para comprender cómo calcular las conductividades y otras propiedades básicas de los metales. Es mucho mejor que el modelo original de Drude (que todavía se enseña).
Ahora veo tu punto de vista. La cuestión es que la respuesta puede salir dentro del modelo de electrones libres. Es como si te hubiera preguntado cómo resolver un problema simple de mecánica clásica y me ofrecieran una respuesta que trata sobre la relatividad general, la materia oscura y los agujeros negros. Pero también hiciste declaraciones equivocadas. Por ejemplo, con su última edición sobre los estados dentro de la esfera de Fermi, afirma que son electrones enlazados. Esto está mal, estos son electrones libres, los electrones enlazados no se muestran en absoluto en esa imagen.
El potencial de muffin-tin es tan clásico como parece. No son cosas esotéricas. Es una analogía para aprender sobre el movimiento de un automóvil cuesta abajo usando las leyes de Newton o usando la conservación de la energía.
He visto el enlace, y en ninguna parte se afirma que los electrones dentro de la esfera están unidos (a los núcleos como usted implica) electrones. Todos son electrones libres. El único lugar "atado" que aparece en la referencia que das es para afirmar que la energía de estos electrones libres es menor que la de los que están en la superficie. Nuevamente, esto no tiene nada que ver con "los electrones unidos a los núcleos".
Sobre el potencial de muffin-tin, es una complicación innecesaria para el problema. No hay necesidad de invocar el potencial de red en absoluto, podría repetir los mismos argumentos que ya escribí anteriormente.
Entonces, ¿su confusión es que cree que solo los electrones EXACTAMENTE en la superficie de la esfera pueden ser perturbados por el campo? ¿No permites una $k_BT$ perturbación ya?
No, no creo que solo los electrones en la superficie puedan ser perturbados por un campo E. Tengo un rango de ventana que calculé y es proporcional a la fuerza del campo eléctrico pero no contiene $k_BT$ (¡aunque aparentemente debería!).
Su falacia es creer que solo los electrones promovidos por el campo E son libres de transportar corriente y, de hecho, son los únicos electrones que transportan corriente. He reescrito mi respuesta para enmarcar esta falacia por lo que es.