¿Cómo se mueve un electrón a través de un metal o un semiconductor?

No necesitas electrodinámica cuántica. La forma habitual de entender la conducción se conoce con el nombre de teoría de la respuesta lineal y, en contextos más específicos, se denomina fórmula de Kubo. Consulte la página wiki para la fórmula de Kubo . Hay formas más exóticas de calcular la conductividad, pero se usan en contextos específicos cuando falla la fórmula de Kubo.

La idea detrás de la fórmula de Kubo es sencilla, aunque las matemáticas que la rodean pueden volverse feas. Empiezas con un hamiltoniano.$H_0$para el sistema en cuestión. Tu puedes pensar en$H_0$como describir un metal. Quiere medir la corriente$j\sim\langle \hat{j}\rangle$dónde$\hat{j}$es el operador actual y los corchetes indican que se toma un valor de expectativa térmica. Si no conecto una batería a mi metal, no habrá corriente. En otras palabras, si tomo el valor esperado usando el sistema descrito$H_0$entonces no hay corriente.

Para obtener una corriente tengo que agregar un término$V$al hamiltoniano y tomar el valor esperado con respecto al hamiltoniano$H=H_0+V$. Este término agregado simplemente describe el acoplamiento del sistema original a un campo EM clásico. En algunos casos, es importante considerar el campo EM como un objeto cuántico, pero en muchos casos, la EM clásica es suficiente. Dado que es difícil diagonalizar el hamiltoniano combinado$H=H_0+V$lo que hace la gente es tratar$V$utilizando la teoría de la perturbación de primer orden, de ahí el nombre de respuesta lineal. Dado que la respuesta lineal es solo una teoría de perturbación de primer orden, la corriente que calcule dependerá de los estados propios de$H_0$. Conocer estos estados propios le da una idea de la conductividad de un sistema.

Para ampliar la respuesta anterior.

Puede modelar las propiedades de conducción con el formalismo de Kubo, pero también con el formalismo de Landauer-Büttiker. Básicamente establece que todo problema de conducción puede considerarse como un problema de dispersión. Una diferencia clave entre Kubo y Landauer es que el primero es un problema dependiente del tiempo, mientras que el segundo no lo es. Si quieres profundizar en algunos detalles, creo que los libros de Datta son más o menos estándar. Me gusta bastante la discusión de Di Ventra: Transporte eléctrico en sistemas a nanoescala , y cubre ambos formalismos.