Significado físico de los electrones con masa efectiva negativa. ¿Son agujeros o qué?

¿Qué es realmente la masa efectiva?
La masa efectiva surge como resultado de expandir la dispersión de energía cerca de su mínimo/máximo, donde es correspondientemente positiva/negativa.

El espectro de energía de un sólido cristalino consta de bandas de energía de ancho finito, descritas por una relación de dispersión de energía$\epsilon_n(\mathbf{k})$, dónde$n$es el índice de banda y$\hbar\mathbf{k}$es cuasi-momentum : este no es el momento real de un electrón, sino un número cuántico que entra en el teorema de Bloch.

Tomemos por simplicidad una banda unidimensional con dispersión

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(ka).$$ Esta banda tiene mínimos en$k=\pm\pi/a$y máximo en$k=0$, y su ancho es$2\Delta$. Si expandimos esta relación energía-cuasi-momento en$k=0$, obtenemos $$\epsilon(k)\approx\Delta -\frac{\Delta a^2 k^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2k^2}{2m^*},$$ donde la masa efectiva se define como $$m^*=-\frac{\hbar^2}{\Delta a^2}.$$ La masa efectiva se introduce por analogía con la relación de dispersión de electrones libres $$\epsilon(k) = \frac{p^2}{2m*} = \frac{\hbar^2k^2}{2m},$$ y simplifica los cálculos, cuando los electrones están realmente cerca de los extremos de la banda.

Si en cambio quisiéramos expandir la relación de dispersión cerca de su mínimo, podríamos escribir$k=\pm\pi/a + q$, y obtener

$$\epsilon(k) = \Delta\cos(\pm\pi + qa) = -\Delta\cos(qa) \approx\Delta +\frac{\Delta a^2 q^2}{2} = \Delta + \frac{\hbar^2q^2}{2m^*}.$$

Para un semiconductor real, generalmente nos interesan los fenómenos que ocurren cerca del máximo de la banda de valencia, que está llena de electrones hasta la parte superior, y la parte inferior de la banda de conducción, que está vacía. Por tanto, la masa efectiva en la banda de conducción es positiva, mientras que en la banda de valencia es negativa. Dado que en los materiales reales las bandas de energía tienen una forma complicada, a menudo tenemos que lidiar con el tensor de masa efectivo , que resulta de la expansión de la relación energía-cantidad tridimensional:

$$\epsilon(\mathbf{k}) \approx \epsilon(0) + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}k_i k_j = \epsilon(0) + \sum_{i,j}\frac{\hbar^2k_ik_j}{2m_{ij}^*},\\ \frac{1}{m_{ij}^*} = \frac{1}{\hbar^2}\frac{\partial^2\epsilon(\mathbf{k})}{\partial k_i\partial k_j}|_{\mathbf{k}=0}$$ (más precisamente, es la masa efectiva inversa la que tiene propiedades de tensor). Además, en un material real, la parte inferior de la banda de conducción y la parte superior de la banda de valencia no se encuentran necesariamente en el mismo punto en el espacio k.

Masa efectiva cerca de los bordes de la zona de Brillouin
Finalmente, cuando nos alejamos del extremo de la banda, la expansión ya no es válida. Sin embargo, la masa efectiva no diverge en$k=\pm\frac{\pi}{2a}$, ya que no es una función de$k$, pero el valor de la derivada en un punto particular (es decir, un extremo de la banda):

$$m^*=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right)|_{k=0},$$ No lo es $$m^*(k)=\hbar^2\left(\frac{d^2E(k)}{dk^2}\right).$$

Huecos vs. electrones con masa efectiva negativa
Los huecos son vacantes en la banda de valencia, que se obtienen quitando unos pocos electrones en su parte superior. Todos los electrones en la parte superior de la banda de valencia tienen una masa efectiva negativa, por lo que los huecos son más que simples electrones con una masa efectiva negativa. De hecho, los agujeros son excitaciones bastante complejas de muchas partículas.