Clasificación de subespacios irreducibles para el momento angular según la simetrización

Entonces, el objetivo es tomar un espacio de producto tensorial y descubrir sus subespacios cerrados rotacionalmente, que también se denominan representaciones irreducibles (irreps). Cuando se aplica a los momentos angulares cuánticos, el subespacio cerrado rotacionalmente son las combinaciones que son estados propios del momento angular total.

Existe una teoría matemática profunda (dualidad de Schur-Weyl) que relaciona estos subespacios con las representaciones del grupo simétrico (también conocido como el grupo de permutación). Además, estas representaciones están relacionadas con los cuadros de Young a través de la correspondencia Robinson-Schensted. Las representaciones del grupo simétrico están relacionadas en última instancia con las particiones de un número entero, es decir, de cuántas maneras se puede expresar el número entero como una suma de números enteros positivos más pequeños (o iguales).

Una búsqueda bibliográfica sobre los términos antes mencionados lo llevará a matemáticas de nivel de posgrado que son difíciles de penetrar. Aquí, intentaré presentar un enfoque orientado a la física que, con suerte, hará que algunos de los conceptos abstractos sean un poco más concretos.

Comienza con la representación fundamental, como un solo cuadro en un diagrama de Young:

╭──┐
│  │
└──┘

Esto representa la rotación bidimensional arriba/abajo irrep.

Ahora toma el producto tensorial consigo mismo:

╭──┐   ╭──┐   ╭──┬──┐   ╭──┐
│  │ X │  │ = │  │  │ + │  │
└──┘   └──┘   └──┴──┘   ├──┼
                        │  │
                        └──┘ 

El producto tensorial se forma combinando los dos diagramas de la izquierda de todas las formas posibles para formar un diagrama de Young legítimo.

Cada diagrama de la derecha representa un irrep del momento angular total. Puede encontrar la dimensión de la representación utilizando la notable fórmula de longitud de gancho:

$${\rm dim}\,W(n, r) = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{r+j-i}{{\rm hook}(i, j)}$$

$n$es el número de cajas en el diagrama y$r$es la dimensión de la irrep fundamental ($r=2$). Aquí$(i, j)$es un número entero que etiqueta el número de fila y columna, el producto se ejecuta en todas las casillas del diagrama.${\rm hook}(i, j)$es la longitud del gancho de la caja dada por:

$${\rm hook}(i,j)=1+{\rm arm}(i,j)+{\rm leg}(i,j)$$

La longitud del brazo (pierna) de una caja es el número de cajas a la derecha (debajo) de la caja.

Aplicando la fórmula de la longitud del anzuelo a la ecuación anterior se obtiene:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 3}_S\oplus{\bf 1}_A$$

lo que significa que la combinación de dos dobletes produce un triplete y un singlete, que es lo que aprendimos en mecánica cuántica elemental.

(Nota al margen del tensor: si hubiéramos estado usando 3 vectores como nuestro irrep fundamental, la fórmula de la longitud del gancho produce:

$${\bf 3}\otimes{\bf 3}={\bf 6}_S\oplus{\bf 3}_A$$

lo que nos dice que un tensor cartesiano tiene una parte de seis dimensiones y una parte de tres dimensiones (que se transforma como un vector, también conocido como el producto cruz).

En el espacio de Minkowski, nos dice que los 4 tensores se ven así:

$${\bf 4}\otimes{\bf 4}={\bf 10}_S\oplus{\bf 6}_A$$

donde reconocemos las 10 dimensiones del tensor de energía de tensión$T_{\mu\nu}$, y los seis del electromagnetismo$F_{\mu\nu}$).)

Fórmula de longitud de gancho notable, de hecho.

Una consideración más detallada mostrará que los subespacios en este caso son simétricos o antisimétricos.

Nota: combinamos 2 irreps fundamentales. Las particiones de 2 son:

$$2 = 2$$ $$2 = 1 + 1$$

Cada partición corresponde a un diagrama de Young. Cada diagrama tiene una cantidad de cuadros estándar de Young (es decir, cada cuadro se llena con un número del 1 al n, de modo que los números aumentan de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo). Otra fórmula de longitud de gancho nos dice cuántos cuadros estándar existen para cada diagrama:

$${\rm dim}\pi_n = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{n!}{{\rm hook}(i, j)}$$

Este es el número de irreps de esa dimensión (y el número de irreps del grupo simétrico de esa dimensión). Aquí están ambos 1:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
└──┴──┘
╭──┐
│1 │
├──┼
│2 │
└──┘ 

Quedará claro por qué las cajas horizontales (verticales) son (anti)simétricas.

Para mostrar el poder de los cuadros de Young, necesitamos combinar 3 irreps. Si es giro 1/2, entonces la fórmula de la longitud del anzuelo nos dice:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}_S\oplus{\bf 2}_M\oplus {\bf 2}_M$$

La dimensión de la combinación simétrica es 4:

$$|\frac 3 2,+\frac 3 2\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$$ $$|\frac 3 2,+\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3$$ $$|\frac 3 2,-\frac 3 2\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$$

mientras que la combinación antisimétrica tiene dimensión 0: no hay estado singlete. (Nota al margen del tensor: si hubiéramos usado$r=3$y no$r=2$en la fórmula de la longitud del gancho, tendríamos un espacio antisimétrico unidimensional, que está atravesado por$\epsilon_{ijk}$...notable...¿cómo funciona?).

La pregunta sigue siendo: ¿cómo nos dicen los diagramas cómo combinar la permutación de índices o estados de espín? Para eso, vamos a ver otro$n=3$diagrama, con dos rellenos estándar:

╭──┬──┐ 
│1 │2 │
├──┼──┘
│3 │
└──┘ 

╭──┬──┐ 
│1 │3 │
├──┼──┘
│2 │
└──┘ 

Para detalles, nos centraremos en el de arriba. Desde aquí calculamos el simetrizador de Young y lo aplicamos a las etiquetas de partículas (o índices si estamos haciendo tensores de rango 3).

Primero necesitamos el grupo simétrico en 3 letras$(1,2,3)$:

$$S_3 =\{e,e_{23},e_{12},e_{123},e_{132},e_{13}\}$$

donde la permutación, por ejemplo$e_{123}$medio$(1,2,3)\rightarrow (2,3,1)$. Esos son los seis elementos, con$e$siendo la identidad.

Primero: encuentre todas las permutaciones que dejen el cuadro "equivalente de fila". Los cuadros son equivalentes a las filas si cada fila tiene los mismos números:

$R=\{e,e_{12}\}$

y de manera similar para la equivalencia de columna, con el agregado de que incluimos la paridad de la permutación:

$C=\{e,-e_{13}\}$

El simetrizador de Young es entonces el producto de estos dos, como sigue:

$$S =R*C = \{e+e_{12}-e_{13}-e_{132} \}$$

A continuación, aplica estas permutaciones a$|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle$, y normalizar, para obtener:

$$|\frac 1 2, +\frac 1 2\rangle= (|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2$$

Pan comido.